一类特殊的fsmarnneche可乘函数

一类特殊的fsmarnneche可乘函数

1定义了一些特殊的f.smrandchi-p当m，n是满足条件（m，n）=1的任何正数，并将著名的f.sm拉量化乘数定义为g（mn）=max{g（m），g（n）}。在本文中，英国著名的数学专家t.sain介绍了该函数，并指出了一些著名的数论函数，如erdos函数和smaradace函数。此外，还设置了一个新的f.smaradace可乘数功能。f(1)=0,(m,n)=1⇒f(mn)=min{f(m),f(n)}不难知道,如果n的标准分解式为n=pα11pα22…pαrr,则有f(n)=min{f(pα11),…,f(pαrr)}.特别的我们取f(pα)=min(α,p}.本文的主要目的是利用解析方法研究这类函数的渐近性质,并得到了一个有趣的渐近公式,即就是证明了下面的定理对于任意实数x≥1,我们有渐近公式∑n≤xf(n)=x+12x12π2∏p(1+1(p+1)(p12-1))+18x13π2∏p(1+1(p+1)(p13-1))+Ο(x14+ε)其中∏p表示对所有素数求积,ε为任意给定的正数.2n1s1+1111111111111111111221212121212121212121212为了完成定理的证明,我们首先需要证明下面的一个简单引理.引理设Ak表示所有k-full数(若对于任意素数p|n都有pk|n,则称n为一个k-full数)组成的集合,则对于任意实数x≥1,我们有渐近公式∑n≤xn∈Ak1=6k⋅x1kπ2∏p(1+1(p+1)(p1k-1))+Ο(x12k+ε)证明为了方便起见,我们定义如下特征函数为a(n)={1,若n=1或者n为一个k-full数；0,其它.则不难有∑n∈Akn≤x1=∑n≤xa(n)令f(s)=∞∑n=1a(n)ns可知当s的实部较大时,级数f(s)绝对收敛.从而由Eurler积公式知f(s)=∏p(1+a(pk)pks+a(pk+1)p(k+1)s+⋯)=∏p(1+1pks×11-1ps)=∏p(1+1pks)∏p(1+1(pks+1)(ps-1))=ζ(ks)ζ(2ks)∏p(1+1(pks+1)(ps-1))其中ζ(s)为Riemann-zeta函数.很明显的,我们有不等式|a(n)|≤n,|∞∑n=1a(n)nσ|＜1σ-1k其中σ>3为s的实部,则由Perron公式,有∑n≤xa(n)ns0=12πi∫b+iΤb-iΤf(s+s0)xssds+Ο(xbB(b+σ0)Τ)+Ο(x1-σ0Η(2x)min(1,logxΤ))+Ο(x-σ0Η(Ν)min(1,xΤ∥x∥))其中N为离x最近的整数,当x为半奇数时取Ν=x-12,∥x∥=|x-Ν|.在上式中取s0=0,b=1+1k,Τ=1+x12k,Η(x)=x,B(σ)=1σ-1k,则有∑n≤xa(n)=12πi∫1+1k+iΤ1+1k-iΤζ(ks)ζ(2ks)R(s)xssds+Ο(x12k+ε)其中R(s)=∏p(1+1(pks+1)(ps-1))现在来估计主项12iπ∫1+1k-iΤ1+1k+iΤζ(ks)xsζ(2ks)sR(s)ds将积分线从s=1+1k±iΤ移到s=12k±iΤ.考虑到函数f(s)=ζ(ks)xsζ(2ks)sR(s)在s=1k处有一个一阶极点,留数为kx1kζ(2)R(1k).即12iπ(∫1+1k-iΤ1+1k+iΤ+∫1+1k+iΤ12k+iΤ+∫12k+iΤ12k-iΤ+∫12k-iΤ1+1k-iΤ)ζ(ks)xsζ(2ks)sR(s)ds=k⋅x1kζ(2)∏p(1+1(p+1)(p1k-1))容易估计|12πi(∫1+1k+iΤ12k+iΤ+∫12k-iΤ1+1k-iΤ)ζ(ks)xsζ(2ks)sR(s)ds|≪∫12k1+1k|ζ(k(σ-1+iΤ))ζ(2k(σ-1+iΤ))R(s)x1+1kΤ|dσ≪x1+1kΤ=x12k再利用分部积分法便可得到如下估计|12πi∫12k+iΤ12k-iΤζ(ks)xsζ(2ks)sR(s)ds|≪∫0Τ|ζ(1/2+ikt)ζ(1+2ikt)x12kt|dt≪x12k+ε注意到ζ(2)=π26,由上述估计可得∑n≤xn∈Ak1=6k⋅x1kπ2∏p(1+1(p+1)(p1k-1))+Ο(x12k+ε)这样就完成了引理的证明.3nxn3a1的启示这部分我们来完成定理的证明.设B表示所有形式如p1pα22…pαrr(αi≥2,2≤i≤r)的正整数n所组成的集合,则不难知道∑n≤xf(n)=∑n≤xn∈A2f(n)+∑n≤xn∈Bf(n)=∑n≤xn∈A2f(n)+∑n≤xn∈B1=2(∑n≤xn∈A21-∑n≤xn∈A31)+∑n≤xn∈A3f(n)+(∑n≤x1-∑n≤xn∈A21)=[x]+∑n≤xn∈A21-2∑n≤xn∈A31+2∑n≤xn∈A41+3(∑n≤xn∈A31-∑n≤xn∈A41)+∑n≤xn∈A4f(n)=[x]+∑n≤xn∈A21+∑n≤xn∈A31+∑n≤xn∈A4f(n)-∑n≤xn∈A41利用上述引理,我们有∑n≤xn∈A21=12x12π2∏p(1+1(p+1)(p12-1))+Ο(x14+ε)∑n≤xn∈A31=18x13π2∏p(1+1(p+1)(p13-1))+Ο(x16+ε)以及∑n≤xn∈A4f(n)-∑n≤xn∈A41=