一类幂函数的均值公式

一类幂函数的均值公式

1spn的解析确定指定的自然数n、smaradach功率sp（n）定义为。当n取遍自然数时,由SP(n)便得到了如下的一个数列:1,2,3,2,5,6,7,4,3,10,11,6,13,14,15,4,17,6,19,10,....在文中,Smarandache教授让我们研究数列{SP(n)}的性质,从SP(n)的定义很容易得到:如果n是一个素数的方幂即n=pα,则有如果,且对所有的αi(i=1,2,...,r),都有≤pi那么SP(n)=U(n),其中U(n)=∏p|np.令A表示所有具有这个性质的n的集合,则SP(n)在集合A上具有可乘性,即对任意的n1,n2∈A.如果(n1,n2)=1,则SP(n1n2=SP(n1)SP(n2).然而SP(n)却不是可乘函数,比如SP(8)=4,SP(3)=3,而SP(24)=6≠SP(3)×SP(8),因此对SP(n)的均值性质研究就显得十分困难.但是对于大部分的n,SP(n)的值等于函数U(n)的值,所以在SP(n)的许多均值问题研究中,我们可以用可乘函数U(n)代替非可乘函数SP(n).本文利用解析方法证明了这一点,并获得了SP(n)的几个有趣的渐近公式,即证明了:定理1对任意的实数x≥1,有渐近公式其中∏p表示对所有的素数求积,ε为任意给定的正数.定理2对任意的实数x≥1,有渐近公式其中Φ(n)为欧拉函数.定理3对任意的实数x≥1,有渐近公式其中d(n)表示Dirichlet除数函数,ζ(s)表示Riemann-zeta函数,γ为欧拉常数2p/p型为了完成定理的证明,我们需要如下的几个引理引理1对任意的实数x≥1,有渐近公式证明令从U(n)的定义知U(n)是一个可乘函数,那么由Eurler积公式,可得因为,其中σ>2为s的实部,则由Perron公式,有其中N为离x最近的整数,当x为半奇数时取N=x-1/2,||x||=|x-N|.在上式中取a(n)=U(n),s0=0,b=3,T=x3/2,H(x)=x,B(σ)=ζ(σ-1),则有其中现在来估计将积分线从3±iT移到±iT.此时函数处有一个一阶极点,留数为,即取,容易估计和由于,所以这样便证明了引理1.引理2对任意的实数x≥1,有估计式证明因为α>p,所以pp<pα≤x,那么又因为pα≤x,则结合(1)和(2),我们有注意到,其中π(x)表示小于或等于x的素数的个数,可以得到∑p<1nxp<<∑p<lnxlnx<<ln2x.结合(3)式,便有这样便证明了引理2.引理3对任意的实数x≥1,有估计式证明设则U(n)=p1p2…pr,且U(n)|SP(n)因为SP(n)>U(n),所以至少存在一个素数pi(1≤i≤r),它的次数αi满足αi>p1p2…pr.令α=max{αi,i=1,2,...,r},p表示α所对应的最大的素数,那么根据SP(n)的定义,易知由(4)式,便有从引理2知这样便证明了引理3.3un这节完成定理的证明.首先证明定理1.注意到SP(n)≥U(n),我们有此时由引理3,便