第四章 晶体定向和晶面符号

第四章晶体的定向和晶面符号晶体定向的概念晶体定向的原则晶系的定向法则晶面符号晶棱符号晶带定律和晶带符号1一、为何要进行晶体定向晶体的具体形态取决于晶体的晶面在空间的方位，亦即晶面与对称要素之间的关系要了解晶体的具体形态，只知道对称型是不够的3L44L36L29PC3L44L36L29PC3L44L36L29PC2二、何谓晶体定向晶体定向：就是在晶体上建立坐标系统,即选定坐标轴（晶轴）和确定各晶轴上单位长（轴长）之比（轴率）晶轴交于晶体中心的三条直线分别表示为X

Y

Z轴角各晶轴正端之间的夹角

＝Y

Z；

＝Z

X；

＝X

Y轴率各晶轴上的轴单位之比a:b:c组成要素：晶轴行列，轴单位结点间距

高级晶轴a:b:c=1中级晶轴a:c

低级晶轴a/b:1:c/bwhy？三轴坐标系34三轴定向和四轴定向的比较

5在三个行列上有晶胞参数(a,b,c;α,β,γ),这些参数就构成了三个晶轴上的轴单位和晶轴之间的夹角.晶体外形不可能知道轴单位,但根据对称性可以知道轴单位之间的比值关系,即：a:b:c

例如,等轴晶系的a:b:c=?

四方晶系的a:b:c=?

我们将a:b:c

称为轴率,α,β,γ称轴角,轴率与轴角统称晶体常数.6各晶系的晶体几何常数特点等轴晶系：a=b=c，a=b=g=90

；四方晶系：a=b≠c，a=b=g=90

；三方和六方晶系：a=b≠c，a=b=90

，g=120

；三方晶系菱面体格子：a=b=c，a=b=g≠60

≠90

≠109

28’16’’斜方晶系：a≠b≠c，a=b=g=90

；单斜晶系：a≠b≠c，a=g=90

，b>90

；三斜晶系：a≠b≠c，a≠b≠g；7各晶系的晶体几何常数特点

8三、晶体定向的原则应当符合晶体所固有的对称性1、晶轴的选择对称轴对称面的法线平行晶棱尽可能使

=

=

=90

,a=b=c2、步骤高次轴L2P

法线显著晶棱9

a=b=c

=

=

=90

3L4或3Li4或3L2

abc轴c

直立，b

左右，a

前后等轴晶系3.各晶系晶体的定向方法10a=b

c

=

=

=90

1L4

c轴2L2

/2P

法线/2晶棱

ab轴c

直立，b

左右，a

前后四方晶系11a

b

c

=

=

=90

3L2abc轴或1L2c轴2P法线ab轴

c

直立，b

左右，a

前后斜方晶系12a

b

c

=

=90

>90

1L2/1P法线b轴,2晶棱ac轴

c

直立，b

左右a

前后但向前下方倾斜使

>90

单斜晶系13a

b

c

90

选择3个显著的、而且相互间较接近于90

的晶棱方向作为abc轴c

直立，b

左右并朝右下方倾斜a

大致前后方向并使之朝前下方倾斜使

>90

,

>90

，

则可为钝角，亦可为锐角使三斜晶系14晶体的四轴定向三方晶系和六方晶系对称特点：晶体中唯一的高次轴为L3

或L6c轴上下直立b轴左右水平，右正左负a轴左前—水平朝正前偏左30

u轴左后—水平朝正后偏左30

a=bc

=

=90

=120

选择1个直立结晶轴和3个水平结晶轴L3/L6c轴，3L2120

/3P120/3晶棱120

abu轴abu

轴正向之间的夹角为120

XYU120°120°120°XYZ15L44L25PC163L23PC17晶系选轴原则晶体常数特点等轴晶系以互相垂直的3L4或3Li4或3L2为X、Y、Z轴a=b=ca=b=g=90

四方晶系L4或Li4为Z轴,以垂直Z轴，并互相垂直的L2或P的法线为X、Y轴a=b≠ca=b=g=90

三方晶系及六方晶系以L3或L6或Li6

为Z轴，以垂直Z轴并彼此交角120°的L2或P法线为X、Y、Ua=b≠ca=b=90

g=120

斜方晶系以互相垂直的L2或P的法线为X、Y、Z轴a≠b≠ca=b=g=90

单斜晶系以L2或P的法线为Y轴，以垂直于Y轴的主要晶棱方向为X、Z轴a≠b≠ca=g=90

b>90

三斜晶系以三个主要的晶棱方向为X、Y、Z轴a≠b≠c

a≠b≠g书上表5-1要熟记18四、晶面符号

代表晶面空间方位的符号

只涉及晶面在空间的方位与晶体的大小无关是根据晶面(或晶体中平行于晶面的其他平面）与各结晶轴的交截关系，用简单的数字符号形式来表达它们在晶体上方位的一种晶体学符号。晶面的米氏符号

由英国人Miller（1839）创立用晶面在3个结晶轴上的截距系数的倒数比来表示晶面指数(hkl)(hkil)按x、y、z轴顺序，不得颠倒！晶轴有正负方向，指数的负号写在上面晶面可与晶轴垂直,平行或斜交19晶面符号的产生晶体上任意一个晶面，若它在三个结晶轴x轴、y轴、z轴上的截距依次为OA、OB、OC,已知轴率为a∶b∶c，则该晶面在晶轴上的截距系数p,q,r分别为:

p=OX/a,q=OY/b,r=OZ/c其倒数比1/p:1/q:1/r=h:k:l

晶面指数(米氏指数):取h:k:l的最简单整数比,此时的h,k,l就称为晶面指数;注意正负之分。(321)截距系数的倒数比20举例:

某晶面在X,Y,Z轴上的截距为2a,3b,6c,那么截距系数为2,3,6,其倒数比为1/2:1/3:1/6=3:2:1,去掉比例符合，写做(321),这就是该晶面的米氏符号.注意：三个晶轴上的轴单位不一定相等，所以，截距系数与截距不一定成正比。21单斜晶系的正长石晶体。其对称型为2/m(L2PC)，我们以L2方向作为结晶轴Y轴，以m、a、b等晶面的交棱方向为Z轴，而以c、n、b等晶面的交棱方向为X轴；正长石晶体结构中相应方向上行列的重复周期，亦即晶胞的三根棱长为a=0.860nm，b=1.306nm，c=0.719nm，此时晶面a在三个结晶轴上的截距(指截距，不是指截距系数)之比为2.270:1.148:∞，求a的晶面符号。

其他各晶面都可利用相同的关系式，根据各自的截距比，求出相应的晶面符号。轴率a:b:c=0.6585:1:0.5554截距系数之比2.270/0.6585:1.148/∞/1:0.5554h:k:l=0.6585/2.270:1/1.148:0.5554/∞=0.2904:0.8712:0=1:3:0思考22晶面符号的含义和规律晶面符号中不能同时出现数字和符号晶面指数有正负之分

(hkl)-晶面与结晶轴平行时，相应的晶面指数为0晶面指数的绝对值越大，表示晶面在相应结晶轴上的截距系数值（绝对值）越小两个晶面指数的绝对值相等，且相对应的两个结晶轴的轴单位也相等时，则晶面与此二结晶轴等角度相交同一晶体中，晶面指数的绝对值全部相等，而正、负号恰好全部相反的两晶面必相互平行23考察晶体模型晶面的晶面符号：CubeOctahedronDodecahedron110

101

011

011_110_101_(001)(100)(010)(111)(111)(111)(111)24Allthreecombined:25-用(hkil)的形式表达，指数的排列顺序依次为X、Y、U和Z轴，轴率为1:1:1:C，C=c/a从数学角度来看，3个水平结晶轴中必有1个是多余的，三者之间具有某种的关系，由其中的任意两者必能确定第三者。四轴定向的晶面符号（hkil)根据四轴定向时3个水平结晶轴的正端互成120

交角的关系，应当有：p1+p2p1

上式两端同除以p1

111即：3个水平结晶轴相应的晶面指数，它们的代数和永远为0

(1010)-(1121)(1011)X+Y+U+Z+－－－–––––=––

p2p3p2p1p3+=h+k+i=026应当说明，在实际晶体的晶面符号计算工作中，我们并不是真正去测量每一晶面在各个结晶轴上截距的具体长度，然后据以来求晶面符号的。在实际工作中，都是根据晶体测量所得出的各个晶面的极坐标值。计算出晶面法线与三个结晶轴间的夹角θx，θy，θz，由于角距与截距间有如下的关系:cosθx:cosθy:cosθz=1/OX:1/OY:1/OZ因而可由下式直接求出晶面指数：h:k:l=cosθx:cosθy:cosθz

27整数定律晶面在晶轴上的截距系数之比为简单的整数比yao(010)(110)(210)(310)b0b1b2b3a1晶面指数为简单整数.为什么?

因为指数越简单的晶面对应到内部结构是面网密度大的面网,而面网密度大的面网容易形成晶面,所以实际晶体上的晶面就是晶面指数简单的晶面。

28五、晶棱符号、晶带与晶带定律1、晶棱符号：表征晶棱方向的符号，所有平行的晶棱具有同一个晶棱符号。晶棱符号只涉及方向,不涉及具体位置。截距系数比：表达为[rst]

r:s:t=MR/a:MK/b:MF/c

[rst]=[rst]此例：[rst]=[123]29四轴定向时的晶棱符号以[uvmw]的形式表达也有三指数形式:[uvw]四指数和三指数之间的比较302、晶带:

(zone)彼此间的交棱均相互平行的一组晶面之组合。晶带轴(zoneaxis)用以表示晶带方向的一根直线，它平行于该晶带中的所有晶面，也就是平行于该晶带中各个晶面的公共交棱方向。晶带符号(zonesymbol)

在晶体上用相应的晶带轴(晶棱)符号来表示。一个晶体上有多少个方向的晶棱，就有多少个晶带，实际晶体上的晶带是为数不多的。31晶带符号例如(110),(100),(110),(010)…的交棱相互平行，组成一个晶带;直线CC’即可表达为此晶带的晶带轴此组晶棱的符号,即该晶带轴的符号，为[001]（或者[001]）晶带32晶带:交棱相互平行的一组晶面.晶带轴:移至过晶体中心的一条交棱。晶带符号：交棱的晶棱符号.举例:立方体,菱形十二面体晶体上的晶面是以晶带的形式发育的.晶带定律:晶体上任一晶面至少属于两个晶带。任两晶带(晶棱)相交可决定一可能晶面,任两晶面相交可决定一可能晶带(晶棱).333、晶带方程应用即：任一属于[uvw]晶带的晶面(hkl)，必定有： h

u+k

v+

lw=0晶带方程简单的证明：

三维空间的一般平面方程为Ax+By+Cz

+D=0 系数A、B、C决定该平面的方向，常数项D决定距原点的距离。那么过坐标原点且平行于(hkl)的平面方程则可以表达为

hx+ky+lz=0

因(hkl)晶面属于[uvw]晶带,故直线[uvw]上的任一点均满足平面方程,即用u,v,w替代x,y,z,便得到上述的晶带方程。341、已知两个晶面，求包含此二晶面的晶带之符号如二已知晶面(hkl)和(mnp)，其交棱（即晶带）的符号[rst]为：因为：hr+ks+lt=0，mr+ns+pt=0解联立式(1)和式(2)的方程组，可得

r:s:t=(kp-nl):(lm-ph):(hn-mk)上式右方可用行列式表示：或写作：此式较易记忆，即将每一晶面的指数依次写两次，将两晶面的指数写成上下两行，用竖线隔开，并删去左右两列，然后交叉相乘并依次取其乘积之差。现举例说明如下：例如，求晶面（100）和晶面（010）所决定的晶带。r=0×0-1×0=0，s=0×0-1×0=0，t=1×1-0×0=1，即此晶带的符号为(001)。35⒉求位于晶带[rst]和晶带[uvw]交点的晶面（hkl）。因为：hr+ks+lt=0hu+kv+lw=0则与例（1）类比，可用下列行列式计算：例如，求位于[010]和[001]两晶带交点的晶面的晶面符号（hkl）。h=1×1-0×0=1，k=0×0-1×0=0，l=0×0-0×1=0即该晶面的晶面符号为（100）。36⒊已知晶面（hkl）和（mnp）在同一晶带上。求位于此晶带上介于此两晶面之间的另一晶面的符号。因为hr+ks+lt=0，mr+ns+pt=0

则(h+m)r+(k+n)s+(l+p)t=0即此晶带上介