《数值分析》第3讲：函数逼近与计算

《数值分析》第三讲函数的逼近与计算函数的逼近与计算§1.1引言1、算例函数的逼近与计算2、逼近的思想目标函数集合简单函数集合何为”逼近”?如何逼近？无穷范数：平方范数：函数的逼近与计算函数的逼近与计算一致逼近平方逼近函数的逼近与计算§1.2逼近理论基础1、一致逼近函数的存在性Weierstrass定理p46定理3.1▲1834年入波恩大学学习法律和财政。▲

1842～1856年，中学教师。▲

1856年柏林科学院，1864年升为教授。▲

1854年解决了椭圆积分的逆转问题，引起数学界的重视。▲

1856年解决了椭圆积分的雅可比逆转问题，建立了椭圆函数新结构的定理，一致收敛的解析函数项级数的和函数的解析性的定理，圆环上解析函数的级数展开定理等。函数的逼近与计算2、Bernstein逼近函数p463.1.4且一致成立1912年构造优点：构造性证明，不仅解决了“有”还解决了如何“有”。缺点：收敛速度太慢，收敛依赖与多项式次数函数的逼近与计算3、最佳一致逼近多项式（Chebyshev)所谓最佳是指在中最佳（是一个在局部找最优的思想）令对找使得则函数的逼近与计算1、Chebyshev给出如下概念

设如果则称是偏差点。如果则称是正偏差点。如果则称是负偏差点。2、Chebyshev得到如下结论如果是的最佳一致逼近多项式，则在区间[a,b]存在个轮流为正、负的偏差点。函数的逼近与计算4、以最佳一次逼近多项式为例存在使得且不变号,设令即得由由Chebyshev定理函数的逼近与计算得即再由?令唯一所以由Chebyshev定理可知是的极值点令则单调增（减）不变号，又函数的逼近与计算求函数在区间[0,1]上的最佳一致逼近多项式。例3.1（p51）解由得因此即解得函数的逼近与计算所求一次最佳逼近多项式为函数的逼近与计算Matlab程序x=0:0.1:1;y1=sqrt(1+x.*x);y2=0.414*x+0.955;plot(x,y1);holdonplot(x,y2);函数的逼近与计算事实上在中找满足是十分困难的函数的逼近与计算5、最佳平方逼近定义内积设为区间[a,b]上的权函数记内积为函数的2范数或Euclid范数。则称关于内积、范数的详尽内容可参见《高等代数》或《线性代数》等相关书籍。函数的逼近与计算设令其中，称为简单基函数对可表示为即函数的逼近与计算使得如果存在则称是在中的最佳平方逼近函数。令函数的逼近与计算则即函数的逼近与计算即令得上述表达式为阶线性方程组，称为法方程。即函数的逼近与计算简记为则见P56容易证明满足解法方程得解如果函数的逼近与计算则例3.2(P56)已知则函数的逼近与计算由法方程解得

的最佳一次逼近函数为函数的逼近与计算x=0:0.1:1;y1=sqrt(1+x.*x);y2=0.426*x+0.934;plot(x,y1);holdonplot(x,y2);函数的逼近与计算函数的逼近与计算如果令即则解得从而函数的逼近与计算函数的逼近与计算思考：P78(17)已知解得所以解（1）由法方程函数的逼近与计算解得所以（2）函数的逼近与计算函数的逼近与计算思考：P78(18)已知解解得所以函数的逼近与计算Matlab程序x=-1:0.1:1;y1=abs(x);y2=0.1172+1.6406*x.^2-0.8203*x.^4;plot(x,y1);holdonplot(x,y2);函数的逼近与计算通过实验、统计、测量等得到的数据均为近似数据，如图1、拟合的思想§1.3曲线拟合的最小二乘法拟合曲线插值曲线问题：究竟哪一条曲线所代表的关系更能反映事物的本质规律？函数的逼近与计算（1）某些情况下，在近似值上做插值不合适，常常不能反映事物的规律，甚至产生较大偏差，如

Runge现象拟合曲线1插值曲线（2）哪条拟合曲线更好？拟合曲线2函数的逼近与计算2、最小二乘法定义误差最好的拟合曲线应使最小为便于处理，令最小函数的逼近与计算函数的2范数或Euclid范数。连续问题求积分离散问题Σ函数的2范数或Euclid范数。其中，为点上Σ的权重令函数的逼近与计算求