数学教案 北师大版选修2-2 同步备课-第1章 推理与证明学案第1节归纳与类比

PAGE第1页共5页§1归纳与类比1.1归纳推理学习目标核心素养1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．(重点)2．了解归纳推理在数学发展中的作用．(难点)1．通过归纳推理概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过归纳推理的应用的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗？[提示]不一定正确．因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，其结论还需要证明其正确性．1．下列关于归纳推理的说法错误的是()①归纳推理是由一般到一般的推理过程；②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．A．①② B．②③C．①③ D．③④A[归纳推理是由特殊到一般的推理，故①②不正确，易知③④均正确，故选A.]2．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于5B[n＝2时，可以；n＝3时，为正三角形，可以；n＝4时，为正四面体，可以；n＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．]3．由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，……的子集个数归纳出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集个数为________．2n[集合{a1}有两个子集和{a1}，集合{a1，a2}的子集有，{a1}，{a2}，{a1，a2}共4个子集，集合{a1，a2，a3}有8个子集，由此可归纳出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集个数为2n个．]数式中的归纳推理【例1】(1)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，……，则a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199(2)已知f(x)＝eq\f(x,1－x)，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N＋)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为________．思路探究：(1)记an＋bn＝f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论．(2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果．(1)C(2)f3(x)＝eq\f(x,1－4x)fn(x)＝eq\f(x,1－2n－1x)[(1)记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11．通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.(2)f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,1－x)，f2(x)＝f1(f1(x))＝eq\f(\f(x,1－x),1－\f(x,1－x))＝eq\f(x,1－2x)，f3(x)＝f2(f2(x))＝eq\f(\f(x,1－2x),1－2·\f(x,1－2x))＝eq\f(x,1－4x)，由f1(x)，f2(x)，f3(x)的表达式，归纳fn(x)＝eq\f(x,1－2n－1x).]已知等式或不等式进行归纳推理的方法1．要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；2．要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；3．提炼出等式(或不等式)的综合特点；4．运用归纳推理得出一般结论．1．经计算发现下列不等式：eq\r(2)＋eq\r(18)<2eq\r(10)，eq\r(4.5)＋eq\r(15.5)<2eq\r(10)，eq\r(3＋\r(2))＋eq\r(17－\r(2))<2eq\r(10)，……根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：________.当a＋b＝20时，有eq\r(a)＋eq\r(b)<2eq\r(10)，a，b∈R＋[从上面几个不等式可知，左边被开方数的和均为20，故可以归纳为a＋b＝20时，eq\r(a)＋eq\r(b)<2eq\r(10).]数列中的归纳推理【例2】(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－eq\f(1,an＋1)，则a2019等于()A．2 B．－eq\f(1,2)C．－2 D．1(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n个三角形数的石子个数．思路探究：(1)写出数列的前几项，再利用数列的周期性解答．(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n的对应关系，进而归纳出第n个三角形数．C[(1)a1＝1，a2＝－eq\f(1,2)，a3＝－2，a4＝1，…，数列{an}是周期为3的数列，2019＝673×3，∴a2019＝a3＝－2．](2)[解]法一：由1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，可归纳出第n个三角形数为1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).法二：观察项数与对应项的关系特点如下：项数1234对应项eq\f(1×2,2)eq\f(2×3,2)eq\f(3×4,2)eq\f(4×5,2)分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积．归纳：第n个三角形数的石子数应为eq\f(nn＋1,2).数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．(1)通过已知条件求出数列的前几项或前几项和；(2)根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)．(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式an.[解](1)当n＝1时，知a1＝1，由an＋1＝2an＋1，得a2＝3，a3＝7，a4＝15，a5＝31．(2)由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N＋)．几何图形中的归纳推理[探究问题]1．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值．[提示]观察图形可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20.2．上述问题中，试用n表示出f(n)的表达式．[提示]由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n－1)＋eq\f(nn＋1,2).将以上(n－1)个式子相加可得f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)[(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)nn＋12n＋1＋\f(nn＋1,2)))＝eq\f(nn＋1n＋2,6).【例3】有两种花色的正六边形地面砖，按如图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26 B．31C．32 D．36思路探究：解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论．B[法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31．法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31．]在题干不变的条件下，第6个图案中周围的边有多少条？[解]各个图形周围的边的条数如下表：图案123…边条数182634…由表可知，周围边的条数依次组成一个以18为首项，8为公差的等差数列，解得第6个图形周围的边的条数为18＋8×(6－1)＝58条．归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：3．根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．509[分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想．图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.]1．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(1)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过理论证明或实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(2)一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真．(3)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2．归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理． ()(2)由个别到一般的推理称为归纳推理． ()(3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的． ()[答案](1)√(2)√(3)×2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2C[a1＝8，a2＝14，a3＝20，猜想an＝6n＋2．]3．已知12＝eq\f(1,6)×1×2×3,12＋22＝eq\f(1,6)×2×3×5,12＋22＋32＝eq\f(1,6)×3×4×7,12＋22＋34＋42＝eq\f(1,6)×4×5×9，则12＋22＋…＋n2＝________.(其中n∈N*)．eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)[根据题意归纳出12＋22＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)，下面给出证明：(k＋1)3－k3＝3k2＋3k＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，……，(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，累加得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n，整理得12＋22＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)．]4．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2，(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2，(202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2．请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论．[解]结论为：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2．证明：(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－(a2c2＋b2d2＋2abcd)＝a2d2＋b2c2－2abcd＝(ad－bc)2≥0.所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2．

1.2类比推理学习目标核心素养1．通过具体实例理解类比推理的意义．(重点)2．会用类比推理对具体问题作出判断．(难点)1．通过类比推理的意义的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过应用类比推理对具体问题判断的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理．2．合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．合情推理的结果不一定正确．思考：合情推理的结果为什么不一定正确？[提示]合情推理是由特殊到一般的推理，简单地说就是直接看出来的，没有通过证明，只归纳了一部分，属于不完全归纳，所以不一定正确．1．下面使用类比推理恰当的是()A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”C[由实数运算的知识易得C项正确．]2．下列推理是合情推理的是()(1)由圆的性质类比出球的有关性质；(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；(3)a≥b，b≥c，则a≥c；(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)×180°.A．(1)(2) B．(1)(3)(4)C．(1)(2)(4) D．(2)(4)C[(1)为类比推理，(2)(4)为归纳推理，(3)不是合情推理，故选C.]3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________．(填序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．①②③[正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．]类比推理在数列中的应用【例1】在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有eq\f(T20,T10)，eq\f(T30,T20)，eq\f(T40,T30)也成等比数列，且公比为4100.类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．试写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．思路探究：结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．[解]数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：∵等差数列{an}的公差d＝3，∴(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.1．本例是由等比类比等差，你能由等差类比出等比结论吗？完成下题：设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn(Tn≠0)，则T4，_______，_______，eq\f(T16,T12)成等比数列．eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)[等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比数列．]2．在本例条件不变的情况下，你能写出一个更为一般的结论吗？(不用论证)[解]对于任意k∈N＋，都有数列S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差数列，且公差为k2d.1．在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．2．类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处．1．在等差数列{an}中，如果m，n，p，r∈N＋，且m＋n＋p＝3r，那么必有am＋an＋ap＝3ar，类比该结论，写出在等比数列{bn}中类似的结论，并用数列知识加以证明．[解]类似结论如下：在等比数列{bn}中，如果m，n，p，r∈N＋，且m＋n＋p＝3r，那么必有bmbnbp＝beq\o\al(3,r).证明如下：设等比数列{bn}的公比为q，则bm＝b1qm－1，bn＝b1qn－1，bp＝b1qp－1，br＝b1qr－1，于是bmbnbp＝b1qm－1·b1qn－1·b1qp－1＝beq\o\al(3,1)qm＋n＋p－3＝beq\o\al(3,1)q3r－3＝(b1qr－1)3＝beq\o\al(3,r)，故结论成立．类比推理在几何中的应用【例2】如图所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，可以得到结论eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＝1．证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．思路探究：三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．[解]eq\f(pa,ha)＝eq\f(\f(1,2)BC·pa,\f(1,2)BC·ha)＝eq\f(S△PBC,S△ABC)，同理，eq\f(pb,hb)＝eq\f(S△PAC,S△ABC)，eq\f(pc,hc)＝eq\f(S△PAB,S△ABC).∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，∴eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＝eq\f(S△PBC＋S△PAC＋S△PAB,S△ABC)＝1．类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设ha，hb，hc，hd分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为pa，pb，pc，pd，可以得到结论eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＋eq\f(pd,hd)＝1．证明：eq\f(pa,ha)＝eq\f(\f(1,3)S△BCD·pa,\f(1,3)S△BCD·ha)＝eq\f(VP­BCD,VA­BCD)，同理，eq\f(pb,hb)＝eq\f(VP­ACD,VA­BCD)，eq\f(pc,hc)＝eq\f(VP­ABD,VA­BCD)，eq\f(pd,hd)＝eq\f(VP­ABC,VA­BCD).∵VP­BCD＋VP­ACD＋VP­ABD＋VP­ABC＝VA­BCD，∴eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＋eq\f(pd,hd)＝eq\f(VP­BCD＋VP­ACD＋VP­ABD＋VP­ABC,VA­BCD)＝1．1．在本例中，若△ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A，B，C，那么由a＝b·cosC＋c·cosB可类比四面体的什么性质？[解]在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．猜想S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.2．在本例中，若r为三角形的内切圆半径，则S△＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，请类比出四面体的有关相似性质．[解]四面体的体积为V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r(r为四面体内切球的半径，S1，S2，S3，S4为四面体的四个面的面积．1．平面图形与空间图形类比平面图形点线边长面积线线角三角形空间图形线面面积体积二面角四面体2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．类比推理在其他问题中的应用[探究问题]1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？[提示]类比推理．2．已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n的和．因为(n＋1)2－n2＝2n＋1，n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1，……22－12＝2×1＋1，有(n＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n，所以1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n2＋2n－n,2)＝eq\f(nn＋1,2).类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n2的和．[提示]因为(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，n3－(n－1)3＝3(n－1)2＋3(n－1)＋1，……23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，所以12＋22＋…＋n2＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n3＋3n2＋3n－\f(3n2＋5n,2)))＝eq\f(2n3＋3n2＋n,6)＝eq\f(nn＋12n＋1,6).【例3】已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明．思路探究：eq\x(双曲线与椭圆类比)→eq\x(椭圆中的结论)→eq\x(双曲线中的相应结论)→eq\x(理论证明)[解]类似性质：若M，N为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．证明如下：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则N(－m，－n)．因为点M(m，n)是双曲线上的点，所以n2＝eq\f(b2,a2)m2－b2．同理y2＝eq\f(b2,a2)x2－b2，则kPM·kPN＝eq\f(y－n,x－m)·eq\f(y＋n,x＋m)＝eq\f(y2－n2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x2－m2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)(定值)．1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征．然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．2．我们知道：12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，……n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，整理得n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n，所以1＋2＋3＋…＋(n－1)＝eq\f(nn－1,2).类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n2的表达式的过程．[解]已知：13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，……n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，得(13＋23＋…＋n3)＝[13＋23＋…＋(n－1)3]＋3[12＋22＋…＋(n－1)2]＋3[1＋2＋…＋(n－1)]＋n，整理得n3＝3(12＋22＋…＋n2)－3n2＋3[1＋2＋…＋(n－1)]＋n，将1＋2＋3＋…＋(n－1)＝eq\f(nn－1,2)代入整理可得12＋22＋…＋n2＝eq\f(2n3＋3n2＋n,6)，即12＋22＋…＋n2＝eq\f(n2n＋1n＋1,6).1．类