考研数学一矩阵的特征值和特征向量历年真题试卷汇编1-真题-无答案

考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）历年真题试卷汇编1(总分150,考试时间180分钟)选择题1.1.设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是()．A.P-1αB.PTαC.PαD.(P-1)Tα2.2.[2016年]设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是()．A.AT与BT相似B.A-1与B-1相似C.A+AT与B+BT相似D.A+A-1与B+B-1相似3.3.[2017年]已知矩阵，则()．A.A与C相似，B与C相似B.A与C相似，B与C不相似C.A与C不相似，B与C相似D.A与C不相似，B与C相似4.4.[2018年]下列矩阵中，与矩阵相似的为()．A. B.C. D.5.5.[2013年]矩阵与相似的充分必要条件为()．A.a=0，b=2B.a=0，b为任意常数C.a=2，b=0D.a=2，b为任意常数6.6.[2010年]设A为四阶实对称矩阵，且A2+A=O，若A的秩为3，则A相似于()．A. B.C. D.填空题7.7.设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是______．8.8.[2009年]若三维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置，则矩阵βαT的非零特征值为______．9.9.[2008年]设A为二阶矩阵，α1，α2为线性无关的二维列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为______．10.10.[2018年]设二阶矩阵A有两个不同的特征值，α1，α2是A的线性无关的特征向量，且满足A2(α1+α2)=α1+α2，则｜A｜=______．解答题11.11.[2003年]设矩阵，B=P-1A*P．求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵．12.12.设矩阵，且｜A｜=一1，又设A的伴随矩阵A*有特征值λ0，属于λ0的特征向量为α=[一1，一1，1]T，求a，b，c和λ0的值．[2002年]设A，B为同阶矩阵．13.13.如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等；14.14.举一个二阶方阵的例子说明第一题的逆命题不成立；15.15.当A，B均为实对称矩阵时，试证第一题的逆命题成立．16.16.[2014年]证明n阶矩阵与相似．17.17.[2004年]设矩阵的特征方程有一个二重根，求A的值，并讨论A是否可相似对角化?设n阶矩阵18.18.求A的特征值和特征向量；19.19.求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．[2015年]设矩阵相似于矩阵20.20.求a，b的值；21.21.求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．[2011年]设A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且22.22.求A的所有特征值与特征向量；23.23.求矩阵A．[2001年]已知三阶矩阵A与三维向量X，使得向量组X，AX，A2X线性无关，且满足A3X=3AX一2A2X．24.24.记P=[X，AX，A2X]，求三阶矩阵B，使A=PBP-1；25.25.计算行列式｜A+E｜．[2007年]设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=—2，α1=[1，一1，1]T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5一4A3+E，其中E为三阶单位矩阵．26.26.验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；27.27.求矩阵B．[2006年]设三阶实对称矩阵A的各行元素之和为3，向量α1=[一1，2，一1]T，α2=[0，一1，1]T都是齐次方程组AX=0的解．28.28.求A的特征值和特征向量；29.29.求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ．30.30.[2006年]设三阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1=[一1，2，一1]T，α2=[0，一1，1]T都是齐次线性方程组AX=0的解．求A及[A一(3／2)E]6．某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将1／6熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐．新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有2／5成为熟练工．设第n年一月