七年级数学竞赛专题训练试卷(四)直线、相交线、平行线

七年级数学竞赛专题训练试卷(四)一、选择题(每小题4分，共40分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在题后的括号内．)1．在一条直线上有5个不同的点，则以其中两点为端点的线段共有()条．(A)15(B)14(C)12(D)102．线段AB上有P，Q两点，AB=13，AP=6，PQ=5。那么BQ=()(A)2(B)12(C)2或12(D)1或123．如图，将两块直角三角板的直角顶点重合，已知∠AOD=1200，则∠BOC的度数为()(A)500(B)600(C)700(D)8004．已知∠a的补角是它余角的3倍，则∠a=()(A)300(B)450(C)600(D)9005．如图，直线a∥b，c与d不平行，∠1=1210，∠3=1200，则∠2=()(A)1210(B)1200(C)1190(D)不能确定6．下列判断中，正确的是()(A)永不相交的两条不同直线一定是平行线(B)在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行(C)在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交(D)在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交7．画一条直线，可将平面分成2部分，画2条直线，最多可将平面分成4部分，那么画5条直线最多可将平面分成()部分．(A)11(B)16(C)15(D)178．如图，直线上有三个不同的点A，B，C，且AB=10，BC=5，在直线上找一点D，使得AD+BD+CD最小，这个最小值是(A)15(B)14(C)10(D)7.59．如图，MON是一条直线，∠，∠，∠满足，，则∠=()(A)200(B)400(C)600(D)120010．如图，AB∥CD，∠EHC=1200，则∠BAC+∠ACE+∠CEH=()(A)3600(B)1800(C)2700(D)2400二、填空题(每小题4分，共40分)11．一个角的补角的是60，则这个角的度数为__________．12．如图，AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=200，则∠C的度数为__________。13．如图，将一张长方形纸条折叠，如果∠1=1000，则∠2=__________。14．如图，AB∥CD，则∠B，∠C，∠E三者之间的关系是__________。15．如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为26，则线段AC的长度为__________．16．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠AOD=900，∠BOC=100，则∠MON=__________。17．如图，AB┴BC，CD┴BC，BE∥CF，∠ABE=，∠DCF=，则__________(填“<”，“>”或“=”)．18．平面内两两相交的8条直线，其交点个数最少为__________个，最多为__________个．19．如图，AB∥CD，∠BED=∠DEF，∠EFD=400，则∠EDF=__________。20．已知x，y是正整数，∠1的度数等于3x+5，∠2的度数等于3y+1，且∠1和∠2互为补角，则x，y所能取的值的和是__________．三、解答题(本大题共3小题，共40分．要求：写出推算过程．)21．(本题满分10分)如图，∠AEM=∠DGN，∠AEF=∠CGH，求证：EF∥GH．22．(本题满分15分)已知，AB∥CD，(1)如图①，求∠1+∠2+∠3．(2)如图②，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．(3)如图③，求∠1+∠2+…+∠n．23。(本题满分15分)如图，直线l是一条公路，A，B是两个村庄，现要在公路上建一个加油站，设为P，使得两个村庄到加油站的距离之和最小，即PA+PB最小．(1)请在图上画出点P，并说明理由．(2)若A，B两点到直线l的距离分别为3和4，且A与B的距离为4，求PA+PB的最小值实数提高训练例1已知一个立方体盒子的容积为216cm3,问做这样的一个正方体盒子（无盖）需要多少平方厘米的纸板？例2若某数的立方根等于这个数的算术平方根，求这个数。例3下列说法中：①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的。正确的个数是（）A、1B、2C、3D、4例4（1）已知（2）设（3）若（4）设a、b是两个不相等的有理数，试判断实数是有理数还是无理数，并说明理由。例5（1）已知2m-3和m-12是数p的平方根，试求p的值。（2）已知m，n是有理数，且，求m，n的值。（3）△ABC的三边长为a、b、c，a和b满足，求c的取值范围。（4）已知，求x的个位数字。训练题：一、填空题1、的算术平方根是。2、已知一块长方形的地长与宽的比为3：2，面积为3174平方米，则这块地的长为米。3、已知。4、已知=。5、设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不相等的实数，则的值是。6、已知a、b为正数，则下列命题成立的：若根据以上3个命题所提供的规律，若a+6=9，则。7、已知实数a满足。8、已知实数。9、已知x、y是有理数，且x、y满足，则x+y=。10、由下列等式：……所揭示的规律，可得出一般的结论是。11、已知实数a满足。12、设则A、B中数值较小的是。13、在实数范围内解方程则x=,y=.14、使式子有意义的x的取值范围是。15、若的值为。16、一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3，则a=,x=.17、写出一个只含有字母的代数式，要求：（1）要使此代数式有意义，字母必须取全体实数；（2）此代数式的值恒为负数。。二、选择题：1、的平方根是()A、-6B、6C、±6D、±2、下列命题：①（-3）2的平方根是-3；②-8的立方根是-2；③的算术平方根是3；④平方根与立方根相等的数只有0；其中正确的命题的个数有（）A、1个B、2个C、3个D、4个3、若（）A、0B、1C、-1D、24、已知()A、B、C、D、5、使等式成立的x的值（）A、是正数B、是负数C、是0D、不能确定6、如果（）A、B、C、D、7、下面5个数：，其中是有理数的有（）A、0个B、1个C、2个D、3个8、已知9、已知：10、在实数范围内，设，求a的各位数字是什么？11、已知x、y是实数，且13先观察下列等式，再回答问题。=1\*GB3①1+112+122=1+=2\*GB3②1+122+132=1+12=3\*GB3③1+132+142=1+13=1\*GB2⑴请根据上面三个等式提供的信息，猜想1+142+=2\*GB2⑵请按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的字母表示的等式，并加以验证（n为正整数）14已知a=12+3,求a-15设39-432的整数部分为a小数部分为b求11a+b+16化简2x17已知方程｜x+3｜+｜x-2｜=a无实数解，求实数a的取值范围。提高测试（一）判断题（每题2分，共10分）1．过线段外一点画线段的中垂线……………………（）【提示】线段外一点不一定在线段的中垂线上，所以过线段外一点画线段的垂线，不一定平分这条线段如图PQ⊥AB，垂足为O．但PQ不平分AB．【答案】×．2．如果两个角互为补角，那么它们的角平分线一定互相垂直……（）【提示】两个角互为补角时，这两个角可以是邻补角，也可以不是邻补角．当两角互补但不是邻补角时，则它们的角平分线不互相垂直．如图：∠AOB与∠AOC互补，OM平分∠AOC、ON平分∠AOB．显然OM与ON不垂直．【答案】×．3．两条直线不平行，同旁内角不互补………………（）【提示】如图，AB与CD不平行，EF与AB交于点G．与CD交于点H．过点G作PQ∥CD．∴∠QGF＋∠GHD＝180°．∵∠BGF＜∠QGF，∴∠BGF＋∠GHD＜180°；又∠PGH＋∠GHC＝180°，∵∠AGH＞∠PGH，∴∠AGH＋∠GHC＞180°．即两直线不平行，同旁内角不互补．【答案】√．4．错误地判断一件事情的语句不叫命题……………（）【提示】判断一件事情的语句叫做命题．错误地判断得到的是假命题．假命题也是命题．【答案】×．5．如图，AB∥CD，那么∠B＋∠F＋∠D＝∠E＋∠G…………（）【提示】过点E、F、G分别画EP∥AB，PQ∥AB，GM∥AB．则AB∥EP∥FQ∥GM∥CD．∴∠B＝∠1，∠3＝∠2，∠4＝∠5，∠D＝∠6．∴∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6．即∠B＋∠EFG＋∠D＝∠BEF＋∠FG（D）【答案】√．（二）填空题（每小题2分，共18分）6．如图，当∠1＝∠时，AB∥DC；当∠D＋∠＝180°时，AB∥DC；当∠B＝∠时，AB∥CD．【提示】把题中的“AB∥CD”视作条件去找∠1的内错角、∠D的同旁内角和∠B的同位角．即得要填的角．【答案】4，DAB，5．7．如图，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝60°，∠EDA＝50°．则∠CDF＝．【提示】由AB∥CD，得∠DCF＝∠B＝60°，由AD∥BC得∠ADC＝∠DCF＝60°，∴∠ADE＋∠ADC＝50°＋60°＝110°，∴∠CDF＝180°－110°＝70°．【答案】70°．8．如图，O是△ABC内一点，OD∥AB，OE∥BC，OF∥AC，∠B＝45°，∠C＝75°，则∠DOE＝，∠EOF＝，∠FOD＝．【提示】由OD∥AB，∠B＝45°，得∠ODC＝∠B＝45°．由OE∥DC，∠DOE＋∠ODC＝180°，∴∠DOE＝180°－45°＝135°．同理可求∠EOF＝105°．由周角的定义可求∠FOD＝120°．【答案】135°，105°，120°．9．两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少20°．则这两个角的度数分别是．【提示】如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．设一个角为x度．则另一个角为（3x－20）度．依据上面的性质得，3x－20＝x，或3x－20＋x＝180°．∴x＝10，或x＝50．当x＝50时，3x－20＝3×50－20＝130．【答案】10°、10°或50°、130°．【点评】通过列方程（或方程组）解题是几何计算常用的方法．10．如图，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B＋∠BED＋∠D＝192°，∠B－∠D＝24°，则∠GEF＝．【提示】由AB∥EF∥CD，可知∠BED＝∠B＋∠D．已知∠B＋∠BED＋∠D＝192°．∴2∠B＋2∠D＝192°，∠B＋∠D＝96°．又∠B－∠D＝24°．于是可得关于∠B、∠D的方程组解得∠B＝60°．由AB∥EF知∠BEF＝∠B＝60°．因为EG平分∠BEF，所以∠GEF＝∠BEF＝30°．【答案】30°．11．如图，AD∥BC，点O在AD上，BO、CO分别平分∠ABC、∠DCB，若∠A＋∠D＝m°．则∠BOC＝______．【提示】由AD∥BC，BO平分∠ABC，可知∠AOB＝∠CBO＝∠ABC．同理∠DOC＝∠BCO＝∠DCB．∵AD∥BC，∴∠A＋∠ABC＝180°，∠D＋∠DCB＝180°，∴∠A＋∠D＋∠ABC＋∠DCB＝360°．∵∠A＋∠D＝m°，∴∠ABC＋∠DCB＝360°－m°．∴∠AOB＋∠DOC＝（∠ABC＋∠DCB）＝（360°－m°）＝180°－m°．∴∠BOC＝180°－（∠AOB＋∠DOC）＝180°－（180°－m°）＝m°．【答案】m°．12．有一条直的等宽纸带，按图（1）折叠时，纸带重叠部分中的∠＝度．图（1）【提示】裁一张等宽纸带按图示折叠，体会一下题目的含义．将等宽纸带展平，便得图（2）．由此图可知∠DAC＝30°．AB是∠C′AC的平分线．∴∠＝75°．图（2）【答案】75°．【点评】解类似具有操作性的实际问题时，不妨动手做一做，从中感受一下题目的意义，进而将实际问题转化成数学问题．用数学知识解决实际问题．这样做不仅能培养我们抽象思维和空间想象能力，而且能提高我们解决实际问题的能力．13．把命题“在同一平面内垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果…那么…”的形式是：如果______________，那么_____________．【答案】在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，这两条直线互相平行．14．如图，在长方体中，与面BCC′B′平行的面是面；与面BCC′B′垂直的面是，与棱A′A平行的面有，与棱A′A垂直的面有．【答案】面ADD′A；面ABB′A′，面ABCD，面A′B′C′D′，面DCC′D′；面DCC′D′，面BCC′B′；面ABCD，面A′B′C′D′．（三）选择题（每小题3分，共21分）15．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD．垂足为O，则图中∠AOE和∠DOB的关系是……………………（）（A）同位角（B）对顶角（C）互为补角（D）互为余角【提示】由OE⊥CD，知：∠AOE与∠AOC互余．∠AOC与∠BOD是对顶角．所以∠AOE与∠DOB互为余角．【答案】D．16．如图，CD⊥AB，垂足为D，AC⊥BC，垂足为C．图中线段的长能表示点到直线（或线段）距离的线段有…………（）（A）1条（B）3条（C）5条（D）7条【提示】CD的长表示点C到AB的距离；AC的长表示点A到BC的距离；BC的长表示点B到AC的距离；AD的长表示点A到CD的距离，BD的长表示点B到CD的距离．共5条．【答案】C．17．若AO⊥BO，垂足为O，∠AOC︰∠AOB＝2︰9，则∠BOC的度数等于……（）（A）20°（B）70°（C）110°（D）70°或110°【提示】OC可在∠AOB内部，也可在∠AOB外部，如图可示，故有两解．设∠AOC＝2x°，则∠AOB＝9x°．∵AO⊥BO，∴∠AOB＝90°．∵9x＝90°，x＝10°，∠AOC＝2x＝20°．（1）∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝90°－20°＝70°；（2）∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋20°＝110°．【答案】D．18．下列命题中，真命题是……………（）（A）同位角相等工（B）同旁内角相等，两直线平行（C）同旁内角互补（D）同一平面内，平行于同一直线的两直线平行【提示】两直线不平行，则同位角不相等，同旁内角不互补，所以A、C错误，B也不一定成立．如图所示直线a、b被直线c所截．∠1＝∠2，∠3＝∠4．显然a与b不平行．【答案】D．19．直线AB∥CD，且与EF、GH相交成如图可示的图形，则共得同旁内角…（）（A）4对（B）8对（C）12对（D）16对【提示】该图可分离出四个基本图形，如图所示．第三条直线截两平行线，此时图形呈“”型，有同旁内角两对；第三条直线截两相交线，此时图形呈“”型，有同旁内角六对．故图中共有同旁内角2×2＋6×2＝16（对）．【答案】D．20．如图，AD∥EF∥BC，且EG∥AC．那么图中与∠1相等的角（不包括∠1）的个数是………………（）（A）2（B）4（C）5（D）6【提示】由AD∥EF∥BC，且EG∥AC可得：∠1＝∠DAH＝∠FHC＝∠HCG＝∠EGB＝∠GEH除∠1共5个．【答案】C．21．某人从A点出发向北偏东60°方向速到B点，再从B点出发向南偏西15°方向速到C点，则∠ABC等于……………（）（A）75°（B）105°（C）45°（D）135°【提示】按要求画出图形再计算∵NA∥BS，∴∠NAB＝∠SBA＝60°．∵∠SBC＝15°，∴∠ABC＝∠SBA－∠SBC＝60°－15°＝45°．【答案】C．（四）解答题（本题5分）22．根据命题“角平分线上的点到角的两边距离相等”，画出图形，并结合图形写出已知、求证（不证明）.【答案】已知：OC平分∠AOB，P是OC上任意一点．PD⊥OB，PE⊥OA，垂足分别是D、E．求证：PE＝PD．五、计算题（第23、24题，每题5分．第25、26题每题6分，共22分）23．如图，AB∥CD∥PN，∠ABC＝50°，∠CPN＝150°．求∠BCP的度数．【提示】由AB∥CD，∠ABC＝50°可得∠BCD＝50°．由PN∥CD，∠CPN＝150°，可得∠PCD＝30°．∴∠BCP＝∠BCD－∠PCD＝50°－30°＝20°．【答案】20°．24．如图，∠CAB＝100°，∠ABF＝110°，AC∥PD，BF∥PE，求∠DPE的度数．【提示】由AC∥PD，∠CAB＝100°，可得∠APD＝80°．同理可求∠BPE＝70°．∴∠DPE＝180°－∠APD－∠BPE＝180°－80°－70°＝30°．【答案】30°．25．如图，DB∥FG∥EC，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC．求∠PAG的度数．【提示】由DB∥FG∥EC，可得∠BAC＝∠BAG＋∠CAG＝∠DBA＋∠ACE＝60°＋36°＝96°．由AP平分∠BAC得∠CAP＝∠BAC＝×96°＝48°．由FG∥EC得∠GAC＝ACE＝36°．∴∠PAG＝48°－36°＝12°．【答案】12°．26．如图，AB∥CD，∠1＝115°，∠2＝140°，求∠3的度数．【提示】过点E作EG∥AB．∵AB∥CD由平行公理推论可得EG∥CD．由此可求得∠AEC的度数．由平角定义可求得∠3的度数．【答案】75°．（五）证明题（每题6分，共24分）27．已知：如图．AB∥CD，∠B＝∠C．求证：∠E＝∠F．【提示】证明AC∥BD．【答案】证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B＝∠CDF（两直线平行，同位角相等）．∵∠B＝∠C（已知），∴∠CDF＝∠C（等量代换）．∴AC∥BD（内错角相等，两直线平行）．∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）．28．已知：如图，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCD．求证：EF平分∠BED．【提示】由AC∥DE．DC∥EF证∠1＝∠3．由DC∥EF证∠2＝∠4．再由CD平分∠BCA，即可证得∠3＝∠4．【答案】证明：∵AC∥DE（已知），∴∠1＝∠5（两直线平行，内错角相等）．同理∠5＝∠3．∴∠1＝∠3（等量代换）．∵DC∥EF（已知），∴∠2＝∠4（两直线平行，同位角相等）．∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2（角平分线定义），∴∠3＝∠4（等量代换），∴EF平分∠BED（角平分线定义）．29．已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D．求证：BE⊥DE．【提示】过点E作EF∥AB，证明∠BED＝90°．【答案】证明：过点E作E