数值分析简明教程课后习题答案

-.z.比拟详细的数值分析课后习题答案0.1算法1、〔p.11，题1〕用二分法求方程在[1,2]的近似根，要求误差不超过10-3.【解】由二分法的误差估计式，得到.两端取自然对数得，因此取，即至少需二分9次.求解过程见下表。符号0121.5+1234567892、〔p.11，题2〕证明方程在区间[0,1]有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过。【解】由于，则在区间[0,1]上连续，且，，即，由连续函数的介值定理知，在区间[0,1]上至少有一个零点.又，即在区间[0,1]上是单调的，故在区间[0,1]有唯一实根.由二分法的误差估计式，得到.两端取自然对数得，因此取，即至少需二分7次.求解过程见下表。符号0010.512345670.2误差1．〔p.12，题8〕e=2.71828…，试问其近似值，，*2=2.71，各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。【解】有效数字： 因为，所以有两位有效数字； 因为，所以亦有两位有效数字； 因为，所以有四位有效数字；；；。评〔1〕经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；〔2〕近似数的所有数字并非都是有效数字.2．〔p.12，题9〕设，，均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。【解】，；，；，；评经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.3．〔p.12，题10〕，，的绝对误差限均为，问它们各有几位有效数字？【解】 由绝对误差限均为知有效数字应从小数点后两位算起，故，有三位；有一位；而，也是有一位。1.1泰勒插值和拉格朗日插值1、〔p.54，习题1〕求作在节点的5次泰勒插值多项式，并计算和估计插值误差，最后将有效数值与准确解进展比拟。【解】由，求得；；；；；，所以插值误差：，假设，则，而，精度到小数点后5位，故取，与准确值相比拟，在插值误差的精度完全吻合！2、〔p.55，题12〕给定节点，试分别对以下函数导出拉格朗日余项：〔1〕；〔2〕【解】依题意，，拉格朗日余项公式为〔1〕→；〔2〕因为，所以3、〔p.55，题13〕依据以下数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算的近似值并估计误差。0120.320.340.360.3145670.3334870.352274【解】依题意，，拉格朗日余项公式为线性插值因为在节点和之间，先估计误差；须保存到小数点后4为，计算过程多余两位。抛物线插值插值误差：抛物线插值公式为：经四舍五入后得：，与准确值相比拟，在插值误差围完全吻合！1.3分段插值与样条函数1、〔p.56，习题33〕设分段多项式是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b，c的值.【解】依题意，要求S(*)在*=1节点函数值连续： ，即：一阶导数连续： ，即： 解方程组〔1〕和〔2〕，得，即 由于，所以S(*)在*=1节点的二阶导数亦连续。2、函数的一组数据，和，〔1〕求其分段线性插值函数；〔2〕计算的近似值，并根据余项表达式估计误差。【解】〔1〕依题意，将*分为[0,1]和[1,2]两段，对应的插值函数为，利用拉格朗日线性插值公式，求得；〔2〕，而 ，实际误差为：。由,可知，则余项表达式1.4曲线拟合1、〔p.57，习题35〕用最小二乘法解以下超定方程组：【解】 构造残差平方和函数如下：， 分别就Q对*和y求偏导数，并令其为零：： ，： ， 解方程组〔1〕和〔2〕，得2、〔p.57，习题37〕用最小二乘法求形如的多项式，使之与以下数据相拟合。【解】令，则为线性拟合，根据公式(p.39,公式43)，取m=2，a1=0，N=5，求得； 依据上式中的求和项，列出下表*iyi*i(=*i2)*i2(=*i4)*iyi(=*i2yi)191936113032168592532.362539062520187.53149961923521470893873.314442085136105845.24497.819363748096189340.8∑157271.453277277699369321.5 将所求得的系数代入方程组〔1〕和〔2〕，得；；即：。2.1机械求积和插值求积1、〔p.94，习题3〕确定以下求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度：；；。【解】 〔1〕令时等式准确成立，可列出如下方程组： 解得：，即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式〔1〕具有3次代数精度。〔2〕令时等式准确成立，可列出如下方程组：解得：，即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式〔2〕具有3次代数精度。〔3〕令时等式准确成立，可解得：即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式〔3〕具有2次代数精度。2、〔p.95，习题6〕给定求积节点试构造计算积分的插值型求积公式，并指明该求积公式的代数精度。【解】依题意，先求插值求积系数：；；插值求积公式：=1\*GB3①当，左边=；右边=；左=右；=2\*GB3②当，左边=；右边=；左=右；=3\*GB3③当，左边=；右边=；左≠右； 故该插值求积公式具有一次代数精度。2.2梯形公式和Simpson公式1、〔p.95，习题9〕设已给出的数据表，*0.000.250.500.751.00f(*)1.000001.655341.551521.066660.72159分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分的近似值。【解】 〔1〕用复化梯形法： 〔2〕用复化辛普生法：2、〔p.95，习题10〕设用复化梯形法计算积分，为使截断误差不超过，问应当划分区间【0,1】为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？【解】〔1〕用复化梯形法，，设需划分n等分，则其截断误差表达式为：；依题意，要求，即，可取。〔2〕用复化辛普生法，，截断误差表达式为：；依题意，要求，即，可取，划分8等分。2.3数值微分1、〔p.96，习题24〕导出三点公式(51)、(52)和(53)的余项表达式【解】如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为由三点公式(51)、(52)和(53)可知，，则2、〔p.96，习题25〕设已给出的数据表，*1.01.11.2f(*)0.25000.22680.2066试用三点公式计算的值，并估计误差。【解】，用三点公式计算微商：，用余项表达式计算误差3、〔p.96，习题26〕设，分别取步长，用中点公式〔52〕计算的值，令中间数据保存小数点后第6位。【解】中心差商公式：，截断误差：。可见步长h越小，截断误差亦越小。(1),则；(2),则(3),则而准确值，可见当时得到的误差最小。在时反而误差增大的原因是与很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失。因此，从舍入误差的角度看，步长不宜太小。3.1Euler格式1、〔p.124，题1〕列出求解以下初值问题的欧拉格式，，取；，，取；【解】 〔1〕； 〔2〕。2、〔p.124，题2〕取，用欧拉方法求解初值问题，。【解】欧拉格式：；化简后，，计算结果见下表。n0123*n0.00.20.40.6yn1.00.80.61440.46133、〔p.124，题3〕取，用欧拉方法求解初值问题，。并与准确解比拟计算结果。【解】欧拉格式：；化简后，，计算结果见下表。1、〔p.124，题7〕用改良的欧拉方法求解上述题2，并比拟计算结果。【解】 因为，，且，则改良的欧拉公式：。计算结果见下表。n0123*n0.00.20.40.6yp1.00.67300.51470.3941yc0.760.70920.55640.4319yn0.880.69110.53560.413与原结果比拟见下表n0123*n0.00.20.40.6yn1.00.80.61440.4613yn(改良)0.880.69110.53560.4133.3龙格-库塔方法1、〔p.124，题11〕用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题，，试取步长计算的近似值，要求小数点后保存4位数字。【解】 四阶经典的龙格-库塔方法公式：；列表求得如下：n*nyn00.02.00010.22.300420.42.46544.1迭代法及收敛定理1、〔p.153，题1〕试取，用迭代公式，求方程的根，要求准确到。【解】 迭代计算结果列于下表k*k|*k-*k-1|<0.001k*k|*k-*k-1|<0.00111.538460.53846N61.365930.00937N21.295020.24344N71.370090.00416N31.401820.10680N81.368240.00185N41.354210.04761N91.369060.00082Y51.375300.02109N因为，所以。2、〔p.153，题2〕证明方程有且仅有一实根。试确定这样的区间，使迭代过程对均收敛。【证明】设：，则当时，，且一阶导数连续，，所以迭代过程对均收敛。〔压缩映像定理〕，方程有且仅有一实根。<证毕>3、〔p.153，题4〕证明迭代过程对任意初值均收敛于。【证明】设：，对于任意，因为，所以。一阶导数，根据压缩映像定理，迭代公式对任意初值均收敛。假设，对迭代式两边取极限，则有，则，解得，因不在围，须舍去。故。<证毕>4.2牛顿迭代法1、〔p.154，题17〕试用牛顿迭代法求以下方程的根，要求计算结果有4位有效数字：〔1〕，〔2〕，【解】 〔1〕设，则，牛顿迭代公式：，迭代计算过程见以下表。k*k|*k-*k-1|<0.0001k*k|*k-*k-1|<0.000111.888890.11111N31.879390.00006Y21.879450.00944N 因为，所以。〔2〕设，则，牛顿迭代公式：，迭代计算过程见以下表。k*k|*k-*k-1|<0.0001k*k|*k-*k-1|<0.00110.268940.73106N30.257530.00014N20.257390.01155N40.257530.00000Y 因为，所以。2、〔p.154，题18〕应用牛顿法于方程，导出求立方根的迭代公式，并证明该迭代公式具有二阶收敛性。【证明】〔1〕设：，则，对任意，牛顿迭代公式〔2〕由以上迭代公式，有：。设；；。，可见该迭代公式具有二阶收敛性。<证毕>5.1线性方程组迭代公式1、〔p.170，题1〕用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解方程组：，要求结果有3位有效数字。【解】 雅可比迭代公式：，迭代计算结果列于下表。"000--12/31/22/31/2N21/21/61/61/3N311/181/41/91/12N47/127/361/361/18N50.601850.208330.018520.01389N60.597220.199080.004630.00925N70.600310.201390.003090.00231N80.599540.199850.000770.00154N90.600050.200230.000510.00038N100.599920.199980.000030.00025Y；由上表可见，所求根皆为小数点后第1位不为零的小数，要取3位有效数，则误差限为。高斯-赛德尔迭代公式：，迭代计算结果列于下表。"000--12/31/62/31/6N20.61110.1944N30.60190.19910.00920.0047N40.60030.19990.00160.0008N50.60000.19990.00030.0000Y；2、〔p.171，题7〕取，用松弛法求解以下方程组，要求精度为。【解】欧先写出高斯-赛德尔迭代：引入松弛因子，得将方程组〔1〕代入〔2〕，并化简计算结果见下表。"0000----152.5-3.12552.53.125N21.406252.65625-2.14844N32.158203.03223-2.28882N41.611733.15872-2.19860N51.635773.24423-2.19187N61.549593.28508-2.17800N71.532843.30793-2.17320N81.515613.31978-2.17001N91.508803.32615-2.16847N01.504533.32951-2.16762N11.502453.33130-2.16717N21.501293.33225-2.16694N31.500693.33276-2.16672N41.500373.33306-2.16676N51.500163.33318-2.16670N61.500103.33325-2.16668N71.500053.33329-2.166680.000050.000040.00000Y迭代解：准确解：5.1线性方程组迭代公式1、〔p.170，题2〕试列出求解以下方程组的雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式，并考察迭代过程的收敛性。【解】〔1〕雅可比迭代公式：(1) ，，迭代收敛。〔2〕高斯-赛德尔迭代公式：(2)将方程组〔1〕带入〔2〕，经化简后，得：(3)，，迭代收敛。2、〔p.171，题5〕分别用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解以下方程组：〔1〕〔2〕【解】〔1〕雅可比迭代：，,不收敛。高斯-赛德尔迭代：或，,不收敛。〔2〕雅可比迭代：，,不收敛