r3空间上两个向量的刻画

r3空间上两个向量的刻画

1《类光向量》中的两个类光向量r3是一个三维向量空间，有a=（x1，y1，z1），b=（x1，y2，b2）。定义了r3中的两个向量a和b（数量积）之间的内积（数量积）。a⋅b=ab=x1x2+y1y2-z1z2(1)定义了这种内积的三维实向量空间R3称为三维Minkowski空间,记为M31.设a∈M31,a≠0,若a?a>0,称a为类空向量;若a?a<0,称a为类时向量;若a?a=0,称a为类光向量.规定零向量为类空向量.向量的模或长定义为∥a∥=√|a⋅a|.若有‖a‖=1,称a为单位向量.满足ab=1的两个类光向量a与b也称为(类光)单位向量.设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),定义a与b的外积为(矢性积)a×b=(|y1z1y2z2|‚|z1x1z2x2|‚|y1x1y2x2|.)(2)若ab=0,称a与b垂直;若a×b=0,称a与b平行.性质1:与类光向量平行的向量都与该类光向量垂直.由M31中向量内积与外积的定义,可以得到M31中三个向量混合积的意义(a,b,c)=(a×b)⋅c=|x1y1z1x2y2z2x3y3z3|.(3)若(a,b,c)>0,称a,b,c按此顺序构成右手系.性质2:设aa=1,bb=1,cc=-1,且它们互相垂直,按a,b,c构成右手系,则a=b×c,b=c×a,c=b×a.(4)性质3:设aa=1,bb=cc=0bc=1且a,b,c构成右手系,则a=b×c,b=a×b,c=c×a(5)例如1)a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(0,0,1)满足性质2.2)a=(1,0,0),b=(0,1√2,-1√2),c=(0,1√2,1√2),满足性质3.性质4:三个互相垂直的非零向量构成的向量组中,若有一个是类光向量,则该向量组至少包含二个类光向量.如设a=(1,0,0),b=(0,1,1),c=(a,b,c).由ac=0有a=0;又bc=0,有b=c.因此c=(0,b,b),它是类光向量.2“弧长”的定义设r(t)=(x(t),y(t),z(t)),t∈[a,b],x(t),y(t),z(t)有所需的连续导数.则r(t)的终点是一条曲线.若‖r(t)‖≠0,与三维欧氏空间中的情形一样,定义曲线的弧长为s=∫t0‖r′(t)‖dt.若‖r′(t)‖=0,定义曲线的“弧长”为s=∫t0√x2(t)ty2(t)+z2(t)dt(6)下面利用曲线的弧长为参数,讨论M31中的曲线.设曲线r(t)不是直线,以后不再特别加以说明.1第一种类空曲线的基本公式设r(s)=(x(s),y(s),z(s),若r′(s)r′(s)>0,称r(s)为M31中的类空曲线.它的切向量是类空向量.令α(s)=r′(s),则因α(s)α(s)=1,有α′α=0.令α′(s)=k(s)β(s),由假设,k(s)≠0,(a)若β(s)β(s)=1,则β′(s)β(s)=0.令β′(s)=aα+τγγ=β×α则a=αβ′=-α′β=-k而γ′=(β×α)′=τβ因此,得到第一种类空曲线的基本公式{α′(s)=k(s)β(s)β′(s)=-k(s)α(s)+τ(s)γ(s)γ(s)=τ(s)β(s)(7)(b)若ββ=-1令β′=aα+τγγ=α×β则a=αβ′=-α′β=-kββ=kγ′=(α×β)′=τβ因此,得到第二种类空曲线的基本公式{α′(s)=k(s)β(s)β′(s)=k(s)α(s)+τ(s)γ(s)γ′(s)=τ(s)β(s)(8)(c)若ββ=0令β′=aα+τβ+cγγβ=1,γγ=0则a=β′α=-βα′=-kββ=0c=β′β=0令γ′=aα+bβ+cγ则a=αγ′=-α′γ=-kβγ=-kb=γ′γ=0c=γ′β=-γβ′=-γ(τβ)=-τ因此,得到第三种类空曲线的基本公式{α′(s)=k(s)β(s)β′(s)=τ(s)β(s)γ′(s)=-k(s)α(s)-τ(s)γ(s)(9)2ss为,s为,s,有ss,有ssssssss,有ss,有ss,有sss,有sssssssssssssssssssssssssssssssss,有sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss设γ(s)为一曲线,若γ′(s)γ′(s)<0,称γ(s)为类时曲线.它的切向量是类时向量.令γ′(s)=α(s),因α(s)α(s)=1,则α′(s)α(s)=0令α′(s)=k(s)β(s)有β(s)β(s)=1β′(s)β(s)=0令β′(s)=aα+τγγ=α×β则-a=αβ′=-α′β=-kγ′=(α×β)′=τα×γ=-τβ{α′(s)=k(s)β(s)β′(s)=k(s)α(s)+τ(s)γ(s)γ′(s)=-τ(s)β(s)(10)3ss令r′(s)=α(s),则α(s)α(s)=1,α′α=0取α′(s)=k(s)β(s)则β(s)β(s)=1,β′(s)β(s)=0令β′=τα+bγγγ=0,αγ=1则b=αβ′=-α′β=-kββ=-k令γ′=aα+bβ+cγ则a=γγ′=0b=βγ′=-β′γ=-τc=αγ′=0.{α′(s)=k(s)β(s)β′(s)=τ(s)α(s)-k(s)γ(s)γ′(s)=-τ(s)β(s)(11)3为1,为1,为2,为1,为1,为1,为1,为1,2s1+2,2s1+2.,2s1+2s1+2s1+2s1+2s1+2s1+2s1+2s1+2s1+2s1+s1s1+2s1+2s1+s1s1+2s1+2s1+2s1+2s1+s1,2s1+2s1+2s1+2s1+2s1+2s1+2s1+2.2.,2s1+2s1+2s1+2s1+2.2.,2s1+2.,2s1+2.b,2s1+2s1+2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.例1则此例为(1)中(a)的情况.例2r(s)=(s2,shs2,chs2).则α(s)=(12,12,chs2,12,shs2)β(s)=(0,shS2‚chS2)γ(s)=(12,-12chs2,-12shs2)αα=1,ββ=-1‚γγ=1k(s)=12,τ(s)=-12此例为(1)中(b)的情况.例3则例4则此例为(2)的情况.例5则此例为(3)的情况.例6r(s)=(∫s2-12(1+s2)ds,∫2s1+s2ds,12s)则