l-fuzzy闭包空间的-1,0与次0分离性

l-fuzzy闭包空间的-1,0与次0分离性

近年来，l-flu兹探测空间的研究非常活跃，取得了丰富的研究成果。在文献中，l-flu兹探测空间的概念是在远距离l-flu兹三维空间的概念中提出的，并讨论了ti（i.0.1和2）的分离性，并讨论了特征的描述。在文献中，l-flauzj相对于ti（i.0.1和2），给出了特征的描述，讨论了它们之间的关系，并研究了它们的基本性质。l-flu兹封闭空间是l-flu兹封闭空间的推广。本文论述了l-flu兹封闭空间的t-1、t0和t0之间的分离。文中假设L是有最小元0和最大元1的完备格.X是非空集,LX是从X到L的映射(或叫L-子集)的全体.则LX依点式序也构成完备格.称α∈L-{0}为L中的余素元,是指对任意的b,c∈L,当a≤b∨c有a≤b或a≤c,L中余素元的全体记为Copr(L).用xα表示在x点处取值α,在其他处取值为0的L-集.易证LX中体余素元构成的集合Copr(LX)={xα|x∈X,α∈Copr(L)}.设A是X的子集,则Copr(A)={xα∈Copr(LX)|xα≤A}.其他符号见文献.每个映射f∶X→Y可诱导出一个映射(称为L-值Zadeh型函数)f→L∶LX→LY,具体定义为f→L(A)(y)=∨{A(x)|f(x)=y}(∀A∈LX,∀y∈Y).f→L的右伴随记为f←L.易证f→L保任意并,f←L保任意并和任意交,并且有f←L(B)=∨{A∈LX|f→L(A)≤B}=B。f(∀B∈LY).1ylyl的相关定义定义1如果映射τ∶LX→L满足条件1)τ(0X)=τ(1X)=1;2)对任意的{Ai}i∈I⊆LX,τ(∧i∈IAi)≥∧i∈Iτ(Ai),则称τ为X上的一个L-fuzzy闭包系统,称序对(X,τ)为L-fuzzy闭包空间.定义2设(X,τ)为L-fuzzy闭包空间,xλ∈Copr(LX),P∈LX且τ(P)>0,xλ≤/P,则称P为xλ的远域,记xλ的全体域构成的集合为τ(xλ).定义3设(X,τ1)和(Y,τ2)为L-fuzzy闭包空间,f∶X→Y为映射,若对任意的B∈LY,有τ1(f←L(B))≥τ2(B),则称f∶X→Y为从(X,τ1)到(Y,τ2)的连续映射.若f∶X→Y为一一映射,且f与f-1都连续,则称(X,τ1)与(Y,τ2)同胚.定义4设(X,τ1)和(Y,τ2)为L-fuzzy闭包空间,f∶X→Y为映射,若对任意的A∈LX,有τ2(f→L(A))≥τ1(A),则称f∶X→Y为从(X,τ1)到(Y,τ2)的闭映射.易得以下结论命题1设(X,τ1)和(Y,τ2)为L-fuzzy闭包空间,(X,τ1)和(Y,τ2)同胚当且仅当存在一一映射f∶X→Y为从(X,τ1)到(Y,τ2)的连续闭映射.注1设(X,τ)为L-fuzzy闭包空间,Y⊆X.定义τY∶LY→L如τY(B)=∨{τ(C)|C∈LX,C|Y=B}(∀B∈LY),则τY是Y上的一个L-fuzzy闭包系统,称为由τ诱导的Y上的L-fuzzy闭包系统,并称(Y,τY)为(X,τ)的子空间,有时也记τ|Y=τY.由τY的定义知,τY(0Y)=∨{τ(C)|C∈LX,C|Y=0Y}≥τ(0X)=1,τY(1Y)=∨{τ(C)|C∈LX,C|Y=1Y}≥τ(1X)=1,故τY(0Y)=τY(1Y)=1.对任意一族{Bi}i∈I⊆LY,∧i∈IτY(Bi)=∧i∈IV{τ(Ci)|Ci∈Lx,Ci|Y=Bi}≤∨{∧i∈Iτ(Ci)|Ci∈LX,Ci|Y=Bi}≤∨{τ(C)|C∈LX,C|Y=∧i∈IBi}=τY(∧i∈IBi).因此,τY∶LY→L是Y上的一个L-fuzzy闭包系统.注2设{(Xt,τt)}t∈T为一族L-fuzzy闭包空间,X=∏t∈ΤXt,pt∶Xt→X为第t个投影映射(∀t∈T).定义φ,τ∶LX→L如对任意的W∈LX,φ(W)=∨t∈Τ(pt)∨←L(U)=Wτt(U),τ(W)=∨∧λ∈ΛBλ=W∧λ∈Λφ(Bλ)则τ∶LX→L为X上的L-fuzzy闭包系统.由τ∶LX→L的定义知,对任意的W∈LX,τ(W)≥φ(W).又对任意的t∈Τ,(pt)←L(ΟXt)=0X,(pt)←L(1Xt)=1X,因此,任取t0∈Τ,φ(0X)=∨t∈Τ∨(pt)←L(U)=0X,τt(U)≥τt0(0Xt0)=1,φ(1X)=∨t∈Τ∨(pt)←L(U)=1X,τt(U)≥τt0(1Xt0)=1,因此τ(0X)≥φ(0X)≥1,τ(1X)≥φ(1X)≥1,所以τ(0X)=τ(1X)=1.对任意的一族{Wi}i∈I⊆LX,∧i∈Iτ(Wi)=∧i∈I∨∧λ∈ΛiBλi=Wi∧λ∈∧iϕ(Bλi≤∨∧λ∈∧iBλi=Wi∧i∈I∧λ∈∧iϕ(Bλi)≤∨∧λ∈∧Bλ=∧i∈IWi∧λ∈∧ϕ(Bλ)=τ(∧i∈IWi).因此,τ∶LX→L为X上的L-fuzzy闭包系统上述L-fuzzy闭包系统(X,τ)称为L-fuzzy闭包空间族{(Xt,τt)}t∈T的乘积空间,φ∶LX→L称为τ∶LX→L的基.易证,对任意的t∈T,pt∶X→Xt为从(X,τ)到(Xt,τt)的连续映射.定义5设(X,τ)为L-fuzzy闭包空间,A∈LX,定义A的闭包(记作ˉA为ˉA=∧{Κ∈LX|A≤Κ,τ(Κ)＞0}.2条件等价x的定义,二者都有一个条件1)如果对任意的x∈X,以及任意的λ,μ∈Copr(L),λ<μ,存在P∈τ(xμ),使得xλ≤P,则称(X,τ)为T-1空间.2)如果对任意的x,y∈X,以及任意的λ,μ∈Copr(L),xλ≠yμ,存在P∈τ(xλ),使得yμ≤P,或存在Q∈τ(yμ),使得xλ≤Q,则称(X,τ)为T0空间.3)如果对任意x,y∈X,x≠y,以及任意的λ∈Copr(L),存在P∈τ(xλ),使得yλ≤P,或存在Q∈τ(yλ),使得xλ≤Q,则称(X,τ)为次T0空间.由定义6可以直接得到T0空间是T-1空间,也是次T0空间.文中将给出T-1,T0与次T0空间的若干个等价刻画.定理1设(X,τ)为L-fuzzy闭包空间,则(X,τ)是T-1空间当且仅当对任意的xλ∈Copr(LX),xλ是Copr(x-λ)中的极大元.证明必要性.设xλ∈Copr(LX),但xλ不是Copr(x-λ)中的极大元.则存在xμ∈Copr(LX),使得xλ<xμ≤x-λ.则对任意的P∈τ(xμ),xλ≤P不成立.否则,假设xλ≤P,由P∈τ(xμ),从而τ(P)>0知,x-λ≤P,从而xμ≤P,矛盾.可见(X,τ)不是T-1空间.充分性.设(X,τ)不是T-1空间,则存在x∈X,以及λ,μ∈Copr(L),λ<μ,使得对任意的P∈τ(xμ),xλ≤/P.特别地,由x-λ的定义知,τ(x-λ)>0,又xλ≤x-λ,因此xμ≤x-λ,与xλ是Copr(x-λ)中的极大元矛盾.定理2设(X,τ)为L-fuzzy闭包空间,则下列条件等价①(X,τ)是次T0空间;②对任意的xλ,yμ∈Copr(LX),xλ≠yμ,有τ(xλ)≠τ(yμ);③对任意的xλ,yμ∈Copr(LX),xλ≠yμ,有xλ≤/y-μ或yμ≤/x-λ.证明①⇒②.设(X,τ)是T0空间,xλ,yμ∈Copr(LX),xλ≠yμ,则由T0空间的定义知,存在P∈τ(xλ),使得yμ≤P,或存在Q∈τ(yμ),使得xλ≤Q.不妨假设前者成立,则由yμ≤P知,P∉τ(yμ).故τ(xλ)≠τ(yμ).②⇒③.设xλ,yμ∈Copr(LX),xλ≠yμ,则τ(xλ)≠τ(yμ).因此存在P∈τ(xλ)-τ(yμ),或存在Q∈τ(yμ)-τ(xλ).不妨假设前者成立,则有xλ≤/P,yμ≤P,τ(P)>0,因此y-μ≤P,从而xλ≤/y-μ.③⇒①.假设(X,τ)不是次T0空间,则存在xλ,yμ∈Copr(LX),xλ≠yμ,但对任意的P∈τ(xλ),有yμ≤/P,即P∈τ(yμ);且对任意的Q∈τ(yμ),有xλ≤/Q,即Q∈τ(xλ),因此τ(xλ)=τ(yμ).所以xλ≤y-μ,且yμ≤x-λ.否则,假设xλ≤/y-μ,则y-μ∈τ(xλ)=τ(yμ),即有yμ≤/y-μ,矛盾.类似于定理2,可以证明如下结论.定理3设(X,τ)为L-fuzzy闭包空间,则下列条件等价1)(X,τ)是T0空间;2)对任意的x,y∈X,x≠y,以及任意的λ∈Copr(L),有τ(xλ)≠τ(yλ);3)对任意的x,y∈X,x≠y,以及任意的λ∈Copr(L),有xλ≤/y-λ或yλ≤/x-λ.文中将讨论L-fuzzy闭包空间中T-1,T0与次T0分离性的遗传性.定理4T-1,T0与次T0分离性都是遗传的.即,如果(X,τ)是T-1空间(resp.,T0空间,次T0空间),Y⊆X,则其子空间(Y,τY)也是T-1空间(resp.,T0空间,次T0空间).证明我们仅证明T-1分离性的遗传性,类似的方法可以证明T0与次T0分离性的遗传性。设(X,τ)是T-1空间,x∈Y,λ,μ∈Copr(L),且λ<μ.这时,x*λ,x*μ∈Copr(LX),这里x*λ,x*μ分别表示xλ,xμ在X上的扩张,xλ,xμ∈Copr(LY).由(X,τ)是T-1空间,存在P∈τ(x*μ),使得x*λ≤P.由P∈τ(x*μ)知,τ(P)>0,且x*μ≤/P.因此τY(P|Y)=∨{τ(C)|C∈LX,C|Y=P|Y}≥τ(P)>0.由x∈Y知,xμ≤/P|Y.所以P|Y∈τY(xμ),且xμ≤P|Y.从而(Y,τY)也是T-1空间.定理5设(X,τ1),(Y,τ2)为同胚的L-fuzzy闭包空间,且(X,τ1)是T-1空间(resp.,T0空间,次T0空间),则(Y,τ2)也是T-1空间(resp.,T0空间,次T0空间)。证明(X,τ1),(Y,τ2)为同胚的L-fuzzy闭包空间,(X,τ1)是T-1空间.则存在一一映射f∶X→Y为从(X,τ1)到(X,τ2)的连续闭映射.设y∈Y,λ,μ∈Copr(L),且λ<μ.令x=f-1(y),则xλ,xμ∈Copr(LX).由(X,τ1)是T-1空间知,存在P∈τ1(xμ),使得xλ≤P,即存在P∈LX,使得τ1(P)>0,xμ≤/P,xλ≤/P.由f∶X→Y为闭映射知,τ2(f→L(P))≥τ1(P)>0.由xμ≤/P知,f→L(P)(y)=P(x)≥/μ,故yμ≤/f→L(P).由xλ≤P知,f→L(P)(y)=P(x)≥λ,故yλ≤f→L(P).所以f→L(P)∈τ2(yμ),且yλ≤f→L(P),因此(Y,τ2)也是T-1空间.设(X,τ1)是T0空间或次T0空间,则用类似的方法可证(Y,τ2)也是T0空间或次T0空间.下面讨论T-1空间,T0空间与次T0空间的可乘性.定理6设{(Xt,τt)}t∈T为一族L-fuzzy闭包空间,T≠Ø,(X,τ)为它们的乘积空间.若对任意的t∈T,(Xt,τt)为T-1空间(resp.,T0空间,次T0空间),则(X,τ)也是T-1空间(resp.,T0空间,次T0空间).证明仅证明T-1分离性的可乘性,类似的方法可以证明T0与次T0分离性的可乘性.设对任意的t∈T,(Xt,τt)为T-1空间,x={xt}t∈T∈X,λ,μ∈Copr(L),且λ<μ.任取r∈T,由(Xr,τr)