定向类时曲面的测地线

定向类时曲面的测地线

在具有riemann测量的曲线（m，ms2）中，局部等温坐标发挥着重要作用。不仅在理论证明和具体计算中可以简化公式,更重要的是可以将复变函数的知识应用到微分几何研究中。本文将经典Riemann曲面上的等温坐标工具运用到定向类时曲面上。在第一节中引入了(局部)伪正交等温坐标和正交等温坐标的概念,给出了在等温坐标下Levi-Civita联络和Gauss曲率K的计算公式,为后面两节的研究做准备。在第二节中研究定向类时曲面上的测地线。首先给出了非迷向曲线弧长的第一、第二变分公式,证明了类时曲面上的一条非迷向曲线是测地线,当且仅当它是弧长变分的临界点(定理2.1);证明了当Gauss曲率K≥0(或K≤0)时,类时(或类空)测地线是极大的。特别,平坦洛伦兹平面L2上任何非迷向测地线都是极大的(定理2.2)。还导出了在等温坐标下测地线的微分方程(见公式(2.8),(2.12))。由公式(2.8)可知,对于迷向曲线(即类光曲线)γ,它既是弧长变分的临界点,又是测地线(定理2.3)。通过引入双曲角,将Riemann曲面上测地线的Liouville公式推广到类时曲面上(见公式(2.10),(2.11),(2.13)和(2.14))。定理3.2设φ:M→是秩为2的光滑映射。则φ是保持定向的共形映射,当且仅当在正交等温坐标下,(x,y)和(x,y)是一对共轭的双曲调和函数.定理3.1和定理3.2推广了Riemann曲面间共形映射的有关结果.1相对于标架型的gauss曲线设(M,ds2)是定向类时曲面。众所周知,在每一点p∈M,存在局部坐标(u,v)使得其中λ>0。如果du∧dv与M的定向一致,这样的局部坐标称为M的伪正交等温坐标。设()是另一伪正交等温坐标,则由可得因此并且M上有两个迷向分布,它们与伪正交等温坐标的取法无关。记ds2(X,Y)为〈X,Y〉。令。则{X1,X2}是TM的局部伪幺正标架:〈X1,X2〉=〈X2,X2〉=0,〈X1,X2〉=-1令▽为Levi-Civita联络。则有相对于标架{X1,X2}的联络1-形式ρ=〈▽X1,X2〉=-〈▽X2,X1〉(1.2)▽X1=-ρX1,▽X2=ρX2(1.3)dω1=ρ∧ω1,dω2=-ρ∧ω2(1.5)按定义,M的Gauss曲率为其中X,Y是M上的任意两个满足〈X,X〉〈Y,Y〉-〈X,Y〉2≠0的向量场。容易明白Gauss曲率K与TM的标架取法无关。因此相对于标架{X1,X2},K=-〈R(X1,X2)X2,X1〉由于联络▽是无挠的,直接计算可得于是由(1.6),有设(M,ds2)是定向类时曲面。如果M的一个局部坐标(x,y)满足ds2=λ2(-dx2+dy2)=λ2(-dxue3c1dx+dyue3c1dy),(λ>0)(1.10)显然,如果(u,v)是伪正交等温坐标,则是正交等温坐标。反过来也有类似的结论。设(x,y)是M的(局部)正交等温坐标。取TM的局部幺正标架,则有令为的对偶标架,则设是关于局部幺正标架的联络形式,,则。从而2拉回丛f-1设γ:[0,b]→M:taγ(t)是光滑曲线。如果▽γ′(t)γ′(t)≡0,称γ是一条测地线。如果取参数,则也是测地线,定义在闭区间[0,1]上。如同Riemann度量的情况一样,曲线γ的弧长定义为与Riemann曲面中不同的是,除了常值曲线外,迷向曲线(即类光曲线)的弧长也是0。设F:[0,b]×(-δ,δ)→M:(t,α)aF(t,α)是曲线γ的保持端点不动的光滑变分,即F(t,0)=γ(t),F(0,α)=γ(0),F(b,α)=γ(b),ue420t,α则有弧长泛函其中对固定的α∈(-δ,δ),γα(t)=F(t,α)是由γ(0)到γ(b)的光滑曲线。如果γ是类空(类时)曲线,则当正实数δ充分小时,所有的γα都是类空(类时)曲线,它的单位切向量场T=|γ′α|-1γ′α。用ε(=±1)表示〈γ′,γ′〉的符号。下面假设曲线γ是非退化的,即〈γ′,γ′〉恒不为零,从而可以假设t是弧长参数,〈γ′,γ′〉=ε。类时曲面M的度量和联络诱导了拉回丛F-1(TM)的度量和联络。注意,再令,它们是F-1(TM)的截面。当α=0时,得到γ的单位切向量场γ′(t)=γ′0(t)和变分向量场v(t)=V(t,0),它们是沿着曲线γ的向量场。由于是固定端点的变分,有V(0,α)=V(b,α)=0,ue420α是V的法向部分,〈V,T〉T=0。特别当α=0时得到第一变分公式定理2.1一条类空或类时曲线γ是测地线的充要条件是:对γ的任意变分F,γ是弧长泛函L(α)的临界点。由(2.2)可见弧长变分仅与V的法向有关。因此为了推导测地线弧长变分的第二变分公式,只需考虑法向变分,即V⊥=V,〈T,V〉=0。这样(2.2)可以改写成在拉回丛F-1(TM)上,由于有故有第二变分公式定理2.2对于类时测地线,当K≥0时是极大的;对于类空测地线,当K≤0时是极大的。特别,平坦洛伦兹平面L2上任何非退化测地线都是极大的。证明将e1(t)=γ′(t)扩充为沿着的幺正标架{e1(t),e2(t)}。则e2(t)沿着γ是平行的,因为〈▽γ′e2,e1〉=-〈▽γ′e1,e2〉=0。由于是法向变分,可设变分向量场v(t)=a(t)e2(t),则▽γ′v=a′e2,从而由(2.7),(注意〈e2,e2〉=-ε)。对任意变分,由于变分向量场v≠0,v(0)=v(b)=0,所以a′(t)不能恒为零。于是在定理的条件下有L′<0。下面来导出测地线在等温坐标系下的微分方程。设γ是一条光滑曲线,定义在闭区间[0,1]上。取γ(0)点的一个邻域U上的伪正交等温坐标(u,v)∈I×I,其中I=[-1,1]。设γ(t)的坐标是(u(t),v(t))。则因此在伪正交等温坐标下,测地线的方程是众所周知,它被初始条件由(2.1)和(2.8)可得定理2.3伪正交等温坐标的参数曲线都是测地线,从而迷向曲线γ既是弧长泛函L(α)的临界点,又是测地线。对于测地线,由于〈γ′,γ′〉是常数,所以初始条件决定了测地线是类空、类时还是迷向的。由〈γ′(t),γ′(t)〉=〈γ′(0),γ′(0)〉可得λ2u′v′=ξηλ2(u0,v0)。当ξ=η=0时,(2.8)的解是u=u0,v=v0,测地线退化为一个点。当ξ=0,η≠0或η=0,ξ≠0时,测地线是坐标曲线u=u0或v=v0,这些都是迷向测地线。例如当η=0,ξ≠0时,测地线的方程为u=u(t),v=v0其中u=u(t)是常微分方程当ξη≠0时,若ξη>0,则γ是类空测地线。取γ的弧长参数t,则令。引入辅助函数θ=θ(t)使得λu′=aeθ,λv′=ae-θ事实上,取θ=ln(a-1λu′)即可。则由(2.8),θ′=(lnλ)vv′-(lnλ)uu′=aλ-1[-lnλ)ueθ+(lnλ)ve-θ]于是测地线方程(2.8)等价于当ξη<0时,γ是类时测地线。取γ的弧长参数t,则〈γ′(t),γ′(t)〉=2λ2u′v′=2ξηλ2(u0,v0)=-1引入辅助函数θ=θ(t)使得λu′=aeθ,λv′=-ae-θ其中。则有θ′=(lnλ)v,v′-(lnλ)u,u′=-aλ-1[(lnλ)ueθ+(lnλ)ve-θ方程(2.8)等价于方程(2.10)和(2.11)是Riemann曲面上测地线的Liouville公式的类似。事实上,如果取保持定向的正交等温坐标(x,y):方程(2.8),(2.10)和(2.11)分别化成3定向类时曲面的共形映射设f∈C∞(M)。则df是T*M的光滑截面,ue065df是2阶共变张量场。按定义,▽df(X,Y)=(▽Xdf)(Y)=X(df(Y))-df(▽XY),ue420X,Y∈X(M)(3.1)定义3.1设{X1,X2}是TM的任一局部标架,其对偶标架是{ω1,ω2}。令(gij)为关于标架{X1,X2}的度量矩阵,即gij=〈Xi,Xj〉。再设(gij)=(gij)-1。定义在局部幺正标架{e1,e2}下,由(3.2)可知Δf=-▽df(e1,e1)+▽df(e2,e2)(3.3)Δf=-2▽df(X1,X2)(3.4)在正交等温坐标(x,y)下,设。由定义(3.1)和(1.13)容易算得在保持定向的伪正交等温坐标下,有上式也可以从(3.3)和(1.6)得到。于是(1.9)和(1.14)可以统一写成K=-Δlnλ(3.7)定义3.2设(M,ds2)和()是两个定向类时曲面,是光滑映射。如果存在σ∈C∞(M)使得,则称φ是共形映射。当φ是微分同胚时,称之为M与间的共形对应。显然共形映射φ的秩为0或2。当共形系数σ=0时,φ是常值映射。当σ恒不为零时,φ是局部微分同胚。以下假设σ恒不为零。为了确定起见,总假定σ=μ2,其中μ>0。定理3.3设是共形映射,σ=μ2>0。则的正交等温坐标和伪正交等温坐标都是M上的(局部)双曲调和函数。证明取M的正交等温坐标(x,y)。则φ局部地可以表示成设。由定义,可得综上可得因此有。这说明。同理有。如果取伪正交等温参数,使得,则由得设φ是保持定向的共形映射,即σ=μ2>0,且在等温坐标下。在伪正交等温参数下,根据(3.10)第二式,。又因为,故由(3.10),。由此得特别,当时,Lorentz度量的Gauss曲率设φ是保持定向的共形映射。在正交等温参数下,由(3.9)得从而±=1,且有定理3.4设是秩为2的光滑映射。则φ是保持定向的共形映射,当且仅当在正交等温坐标下,是一对共轭的双曲调和函数。证明必要性由(3.14)可见。充分性。由条件(3.14)可得因此在第三节中研究定向类时曲面之间的共形映射。首先引入了双曲Laplace算子Δ和双曲调和函数的概念。在等温坐标下,设类时曲面M的度量ds2=λ2ds20,其中ds20=2dudv或ds20+-dx2+dy2是平坦洛伦兹平面L2上的标准度量。则M的高斯曲率可以通过双曲Laplace算子表达为K=-Δlnλ。设φ:(M,ds2)→()为定向类时曲面之间的共形映射。本文证明了的等温坐标都是M上的(局部)双曲调和函数(定理3.1),还证明了这说明设{X1,X2}的对偶标架为{ω1,ω2}。则使得因此由(1.3)可得且dx∧dy与M的定向一致,则称局部坐标(x,y)是正交等温坐标。所以于是由(1.8),类似可得因此其中因此有从而其中用到了γ是测地线这一事实。由(1.7),则其中θ是γ′与之间的双曲角度。由联络▽无挠可知▽df是对称的。而在局部伪幺正标架{X1,X2}下,由〈X1,X1〉=〈X2,X2〉=0,〈X1,X2〉=-1可知所以即在正交等温坐标(x,y)下,它是双曲型的二阶微分算子。所以