全等三角形的讲义讲义

-.z.全等三角形专题一全等三角形的性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。〔两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。〕【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角。【例题1】如图，图中的两个三角形全等，填空：-.z.AB与是对应边，BC与是对应边，CA与是对应边；(2)∠A与是对应角，∠ABC与是对应角，∠BAC与是对应角-.z.【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。(1)有公共边的，公共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。【练习1】如图，图中有两对三角形全等，填空：(1)△BOD≌；(2)△ACD≌.【知识点3】全等三角形的对应边相等，对应角相等。〔由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相等，对应角的角平分线相等〕【例题2】〔省中考卷第5题〕图2中的两个三角形全等，则∠度数是〔〕A.72°B.60°C.58°D.50°【例题3】〔〕如图，假设，且，则ABCC1ABCC1A1B1CAB【练习2】如图，，=30°，则的度数为〔〕CAB A20°B．30°C．35°D．40°【练习3】如图，△ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90°到△EBC，且∠ABD=90°。〔1〕△ABD和△EBC是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角。〔2〕假设AB=3cm,BC=5cm,你能求出DE的长吗？〔3〕直线AD和直线CE有怎样的位置关系？请说明理由。专题二全等三角形的判定【知识点1】SSS：三边对应相等的两个三角形全等。简写为“边边边〞或“SSS".【例题1】如图，AB=AD，BC=CD求证：∠BAC=∠DAC。【练习1】：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BCDEFABC＝EF，求证：BCDEFA【知识点2】SAS:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边〞或“SAS".【例题2】：如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．求证：DC∥AB．【练习2】：如图，AE∥BF，AB=CD，AE=BF.求证：△AEC≌△BFD【练习3】如图，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE，求证：AC⊥CE．假设将CD沿CB方向平移得到图(2)(3)(4)(5)的情形，其余条件不变，结论AC1⊥C2E还成立吗？请说明理由．【知识点3】ASA：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，〔可以简写为“角边角〞或“ASA〞〕【例题3】：如图，∠AOD=∠BOC，∠A=∠C，O是AC的中点。求证：△AOB≌△COD．【练习4】1、如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:∠5=∠6．2、如图，点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，假设∠1=∠2=∠3，AC=AE，求证：AB=AD。3、如图，：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向过A的直线作垂线，垂足为E，F。证明：过A的直线与斜边BC不相交时，则有EF=BE+CF，如图1。〔2〕如图2，过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，你能得到什么结论？请给出证明。【知识点4】AAS:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，(可以简写为“角角边〞或“AAS〞)这一结论很容易由ASA推得：因为三角形的角和等于180°，因此有两个角分别对应相等，则第三个角必对应相等，于是由“角边角〞，便可证得这两个三角形全等．所以两个三角形如果具备两个角和一条边对应相等，就可以判断其相等。【例题4】1、以下说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS〞来判定全等，则一定也可以依据“ASA〞来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，则这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的选项是〔〕A．①和②B．②和③C．①和③D．①②③ACBDEF2、：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点FACBDEFAEBDCF【练习6】1、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DEAEBDCFDF⊥AC于F，△ABC面积是28，AB＝20cm，AC＝8cm，求DE的长．ABCDEF图92、△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90ABCDEF图9【知识点5】HL:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，〔可以简写为“斜边，直角边〞或“HL〞〕【例题5】〔1〕证明两个直角三角形全等的方法有〔2〕根据以下条件，能惟一画出三角形ABC的是〔〕AB＝3，BC＝4，AC＝8；B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30；C.∠A＝60，∠B＝45，AB＝4；D.∠C＝90，AB＝6〔3〕：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE求证：OB=OC.〔4〕如图，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB上一点，AE⊥CD于E，BF⊥DC交CD的延长线于F．求证：BF=CE．【练习2】1、对于以下各组条件，不能判定△≌△的一组是〔〕∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB=A′B′∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′〔2〕专题三角的平分线的性质【知识点1】角的平分线：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线【例题1】1、∠BAC，作∠BAC的平分线。〔尺规作图〕2、直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是〔〕A．45°B．135°C．45°或135°D．都不对【知识点2】角的平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。【例题2】1、△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠A的平分线交BC于点D，假设CD＝8cm，则点D到AB的距离为＿＿＿＿cm．2、如左以下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，则AE+DE等于A.2cm

B.3cm

C.4cm

D.5cm2、如右上图，AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF②△BDF≌△CDE③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的选项是A.只有①

B.只有②C.只有①和②

D.①，②与③3、如图，△ABC中，E是AB延长线上的一点，AE=AC，AD平分∠A，BD=BE。求证：∠ABC=2∠C。【知识点3】角平分线的判定方法1：〔角平分线的定义〕把一个角分成两个相等的角的射线叫做角平分线。方法2：〔角平分线的判定定理〕到角两边的距离相等的点在角的平分线上。〔此命题与角的性质定理的和结论都不同〕【例题3】1、如图中，E是AB延长线上一点，AC⊥BC、AD⊥BD、AC=AD，求证：∠DEA=∠CEA。2、如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边在直线的同旁作等边三角形ABD、BCE，连结AE交BD于M，连结CD交BE于N，连结MN，求证：△BMN是等边三角形。3、：如图，AO平分∠EAD和∠EOD；求证：①△AOE≌△AOD②EB=DC4、如图，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠FAC.第二章轴对称专题一：轴对称【根底练习】1.〔2010•日照〕上面四个汽车标志图案，其中是轴对称图形的图案是______________。〔只需填入图案代号〕．2.〔2008•〕如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影局部的面积为_____________cm2．3.以下轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是〔〕4.以下图均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上．在图中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．(要求：分别在图①、图②、图③中画出三个互不一样的图形)5.〔2009•〕如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为〔〕轴对称的性质：专题二：线段的垂直平分线【根底练习】1.〔2010•〕如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=_____度〔1题〕〔2题〕〔4题〕〔5题〕2.〔2010•〕如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为___________3.〔2009•黄冈〕在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于____4.〔2009•〕如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．假设△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为___________5.〔2010•〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则以下结论不正确的选项是〔〕A、AE=BEB、AC=BEC、CE=DED、∠CAE=∠B6.

〔2010•〕如下图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在〔〕A、△ABC的三条中线的交点B、△ABC三边的中垂线的交点C、△ABC三条角平分线的交点D、△ABC三条高所在直线的交点【知识点】1.线段的垂直平分线的作法：2.线段的垂直平分线的性质与判定：_________________________________________________________【复习检测】1.〔2010•〕如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．

求证：〔1〕FC=AD；

〔2〕AB=BC+AD．2.如图，AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线分别交AB、AC于N、M两点，求证：ND∥AC。专题三：等腰三角形【根底练习】1.〔2010•〕以下性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是〔〕A、两边之和大于第三边B、有一个角的平分线垂直于这个角的对边C、有两个锐角的和等于90°D、角和等于180°2.〔2007•〕一个等腰三角形两角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为〔〕A、20°或100°B、120°C、20°或120°D、36°3.等腰三角形的一个角是50°，则另外两个角的度数分别是__________________________4.等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为______________________________5.〔2010•〕如下图，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是〔〕A、40°B、35°C、25°D、20°[能力提升]6.

〔2010•株洲〕如下图的正方形网格中，网格线的交点称为格点．A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是〔〕A、6B、7C、8D、9.7〔2010•〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有〔〕A、4个B、5个C、6个D、7个8.〔2010•〕如图，AD是△ABC的边BC上的高，由以下条件中的*一个就能推出△ABC是等腰三角形的是________________．〔把所有正确答案的序号都填写在横线上〕

①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB-BD=AC-CD．9.〔2010•〕如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD=CE，∠DBC=∠ECB．

求证：AB=AC10.，如图，△ABC中，，CD⊥AB与D，BE平分，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G。〔1〕求证：BF=AC〔2〕求证：〔3〕CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论。【知识点】如图：等腰三角形的性质：_________________________________________等腰三角形的判定：_______________________________________________2．等腰三角形的三线合一：__________________________________________________________整式的乘除与因式分解整式的乘除及因式分解备课资料一、整式容的特点：容简洁、脉络清晰、操作性强同底数幂的分层练习同底数幂的计算法则：练习一：练习三：1、，求．2、，，求．3、，，用含有的代数式表示．练习四：1、且，求．2、计算3、计算②幂的乘方分层练习计算法则：例1：〔1〕〔103〕5〔2〕[〔〕3]4〔3〕[〔－6〕3]4〔4〕〔*2〕5〔5〕－〔a2〕7〔6〕－〔as〕3〔7〕〔*3〕4·*2〔8〕2〔*2〕n－〔*n〕2〔9〕[〔*2〕3]7例21.1.计算23×42×832．假设〔*2〕m=*8，则m=______3假设[〔*3〕m]2=*12，则m=_______4假设*m·*2m=2，求*9m的值。5假设a2n=3，求〔a3n〕4的值。③积的乘方分层练习计算法则;例1计算：(1)(2)(3)(4)例2计算：(1)(2)(3)C．并能正确、灵活地运用三个幂的运算性质解决相关的计算和化简问题1.2.假设．则、、按大小排序为6.假设，，则〔用、的代数式表示〕；7.，求的值；第二局部：单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式.〔2课时〕单项式乘以单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、一样字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.为了防止出现系数与指数的混淆，同底数幂的乘法性质与幂的乘方性质的混淆等错误，同学们在初学本节解题时，应该按法则把计算步骤写全，逐步进展计算1．计算以下各题：〔1〕(2)〔3〕〔4〕2．判断以下运算是否正确，错误的指出错的原因并给予改正。〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕3．代数式，求当时这个代数式的值。单项式乘以多项式以数形结合的思想引入：单项式与多项式相乘法则：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.【说明】(1)单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用.(2)在应用乘法分配律时，要注意单项式分别与多项式的每一项相乘(3)每一项带着前面的符号乘以下三个计算中，哪个正确？哪个不正确？错在什么地方？(1)3a(b-c+a)=3ab-c+a(2)-2*(*2-3*+2)=-2*3-6*2+4*(3)2m(m2-mn+1)=2m3-2m2n+2m1化简计算.〔1〕〔2〕2.先化简，再求值：3.解以下方程：4.当*=2时，代数式a*3+b*-7的值为5，则*=-2时，这个代数式的值为.5.设m2+m-1=0，求m3+2m2+2004的值.6.要使*(*2+a)+3*-2b=*3+5*+4成立，则a,b的值分别为多少？7.假设n为自然数，试说明n(2n+1)-2n(n-1)的值一定是3的倍数.多项式乘以多项式：以数形结合的思想引入：多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.【说明】多项式相乘的问题是通过把它转化为单项式与多项式相乘的问题来解决的，渗透了转化的数学思想.(a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n=am+bm+an+bn.计算时是首先把(a+b)看作一个整体，作为单项式，利用单项式与多项式相乘的乘法法则计算1．计算：〔1〕〔2〕〔3〕2．先化简再求值。〔1〕〔1〕解方程：解不等式：4.要使多项式与的积不含项和项，则；．5.展开式中与的系数分别为；6.比大小7.三个连续的偶数，中间一个是a，他们的积为〔〕8.借助书148页2题和150页12题找规律：第三局部：乘法公式〔2课时，平方差、完全平方各一节〕目标：经历探索乘法公式的过程，进一步开展学生的符号感和推理能力、归纳能力．会探究乘法公式并掌握公式的构造特征，能运用公式进展简单的计算．1.平方差公式的探究计算以下多项式的积，你能发现什么规律？〔1〕〔*＋1〕〔*－1〕=_______________；〔2〕〔m＋2〕〔m－2〕=_______________；〔3〕〔2*＋1〕〔2*－1〕=_____________.上面各式中，相乘的两个多项式之间有什么特点？它们相乘的结果有什么规律？2.完全平方公式的探究计算以下各式，你能发现什么规律？〔1〕〔p＋1〕2=〔p＋1〕〔p－1〕=_______________；〔2〕〔m＋2〕2=________________；〔3〕〔p－1〕2=〔p－1〕〔p－1〕=______________；〔4〕〔m－2〕2=______________.上面各式中，相乘的两个多项式之间有什么特点？它们相乘的结果有什么规律？掌握公式的构造特征，能运用公式进展简单的计算．平方差公式〔a＋b〕〔a－b〕=a2－b2〔－a＋b〕〔－a－b〕=〔〕2－〔〕2〔b＋a〕〔－b－a〕=〔〕2－〔〕2〔b－a〕〔－b－a〕=〔〕2－〔〕2完全平方公式或合并为：了解乘法公式的几何背景，体会数形结合的思想方法添括号法则，体会整体思想a＋〔b＋c〕=a＋b＋c；a－〔b＋c〕=a－b－c.〔1〕〔a＋b＋c〕〔a-b-c〕=？〔2〕〔3〕〔a＋b＋c〕2.⑤围绕下述变形方式的典型考题〔1〕*-y=4，*y=2,求*+y〔2〕*²-3*+1=0，求QUOTE和QUOTE平方差公式1．运用平方差公式计算以下各题〔1〕〔2〕〔4〕〔6〕〔7〕2．计算以下各题〔1〕〔2〕〔3〕完全平方公式1．运用完全平方公式计算〔1〕〔2〕〔3〕2．运用完全平方公式计算：〔1〕〔2〕〔3〕3．〔1〕是一个完全平方式，求k的值〔2〕是一个完全平方式，求k的值〔3〕是一个完全平方式，求k的值4．注意公式的构造特征，防止公式运用的混淆：〔1〕与相等吗？〔2〕与相等吗？〔3〕与相等吗？〔4〕与相等吗？5．利用公式计算〔1〕〔2〕〔4〕6、完全平方公式涉及的分类讨论思想〔1〕m为何值时，*²-4*+m²是完全平方式？〔2〕m为何值时，4*²-m*+9是完全平方式？(3)m、*为何值时，完全平方式4*²-m*+1等于1？7、配方法〔1〕填空：；；；．规律：______________________________．〔2〕，求．〔3〕，求．〔4〕代数式有最大或是最小值吗？〔5〕说明＞0．〔6〕：、、是△ABC的三边，且满足，求证：△ABC为等边三角形.三.乘法公式提高练习：(1)*-y=3,*y=2,求*2＋y2、〔*＋y〕2的值。实数满足求的值；如果二次三项式*2-6*+m2是一个完全平方式，则m的值是多少？假设是完全平方式，求的值；代数式，试问、为何值时，这个代数式取最小值，并求出这个最小值试说明：对一切实数，*2+2*+3>0〔7〕假设则*y的值等于多少？〔10〕求B、C的值，使下面的恒等式成立：第四局部：整式的除法〔2课时〕一、知识点同底数幂的除法假设零指数幂单项式的除法法则〔略〕多项式除以单项式的法则〔略〕四、练习1、〔1〕〔—3.14〕0=__________________。〔2〕函数y=〔*—4〕0+QUOTE自变量取值围是？2、假设〔a—4〕0=1,则a_______________.3、假设32*-1=1,则*=______________.4、am=5,an=7,则am+n=______________,am-n=________.5、假设3m=6,9n=2,求32m-4n+1的值.5、_______.6、8a3b5c÷(-2ab)37.(3*2y-*y2+*y)÷(*y)9.(4a3b-6a2b2+2ab2)÷(-2ab)[(*-y)2+(*+y)(*-y)]÷2*.11、5ab2-｛2a2b-〖3ab2-〔ab2-2a2b〕〗÷〔-QUOTEab〕｝先化简，再求值，其中，2*-y=10,求〖〔*2+y2〕-〔*-y〕2+2y〔*-y〕〗÷4y的值。一个多项式除以6*2+3*-5，商为4*-5，余数为-8，求这个多项式。第五局部：因式分解〔3课时〕一、知识点1.因式分解的意义。2.因式分解的方法:提公因式法;运用公式法.二、中考课标要求考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用因式分解因式分解的意义∨与整式乘法的区别与联系∨因式分解的方法提公因式法∨∨运用公式法∨∨三、中考知识梳理1.区分因式分解与整式的乘法它们的关系是意义上正好相反,结果的特征是因式分解是积的形式,整式的乘法是和的形式,抓住这一特征,就不容易混淆因式分解与整式的乘法.2.因式分解的两种方法的灵活应用对于给出的多项式,首先要观察是否有公因式,有公因式的话,首先要提公因式,然后再观察运用公式还是分组.分解因式要分解到不能分解为止.〔分组分解法与十字相乘法讲不讲？到什么程度？〕四、易错点〔1〕公因式提得不彻底：〔2〕提公因式时漏项或者符号出错：〔3〕分解不彻底：〔4〕概念不清，局部分解：a²-b²+1=〔a+b〕〔a-b〕+1〔5〕概念不清，分解完又乘开五、典型题目1、以下各式从左到右的变形,属于因式分解的是()A.a(a-b+1)=a2-ab+b;B.a2-a-2=a(a-1)-2C.-4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b);D.*2-4*-5=(*-2)2-92、假设*2＋m*＋25是一个完全平方式，则m的值是〔〕〔A〕20(B)10(C)±20(D)±103、*2+a*-12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是()A、3个B、4个C、6个D、8个4、假设*2+k*－6有一个因式是(*－2)，则k的值是;5、假设*2＋m*＋n能分解成(*+2)(*–5)，则m=,n=;6、因式分解〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕(5)〔6〕10a(*-y)2－5b(y－*)(7).an+1－4an＋4an-1(8).*2(2*－y)－2*＋y(9).*(6*－1)－1(10).2a*－10ay＋5by＋6*(11).1－a2－ab－EQ\F(1,4)b2(12).(*2＋*)(*2＋*－3)＋27、*+y=1,则*2+*y+y2的值为_______.8、假设│m-1│+=0,则m=_______,n=______,此时将m*2-ny2分解因式得m*2-ny2=_______.9、a+b=5,ab=3,求代数式a3b-2a2b2+ab2的值.(1)因式分解(ac+bd)-(bc+ad)(2)利用(1)題，求(56