非成像光学的边缘光线原理

非成像光学的边缘光线原理非成像光学的边缘光线原理说明，从光源到目标边缘的边缘光线映射能够应用到非成像器件的设计。然而，在大多数的非成像反射器，包括复合抛物面聚焦器（CPC），至少部分辐射光经过多次反射，一些光线甚至出现被多次反射，最后的检测揭示光源的一些边缘光线没有映射到目标边缘上，尽管这个CPC在二维空间是理想的。使用一个拓扑的方法，我们改善了边缘光线原理的公式，来确保对所有的情况都是正确的。我们提出两种一般原理的不同版本。第一种涉及到不同区域的边界与不同数目的反射器相一致。第二个版本用仅有的单一反射器来说明，但是它涉及到了一个增加的辅助相位空间。我们讨论边缘光线原理作为一个非成像器件的设计程序的使用。CPC用来说明论据的每个部分。说明非成像光学的目标是从一个扩展光源传输辐射光到目标上，用这样的方法得到在目标上的辐射光的详细分布。这个非成像器件的设计是基于边缘光线原理，它说明光源的光线从光源的边缘应该到达目标的边缘。一个表面的边缘被定义为通过光源表面的边缘或者与它相切。尽管边缘光线的概念已经广泛的应用，但是没有边缘光线原理的公式被提出，也没有严格的证据证明它的正确性。此外，最简单的和看起来最自然的原理公式在大多数的非成像系统里被违背了，尤其在复合抛物面聚焦器（CPC）非成像设计的原型中。本文中我们采用一种拓扑的方法来规定和证明一般边缘光线原理。这个原理可以当做非成像光学器件设计的强有力的指南，它是基于折射和反射的基础（在文章中我们频繁的使用反射这个术语，为了简便起见即使反射和折射都被使用）。这个原理同样的和非成像光学的两个最重要的应用级别相适应，它被称为采集问题（例如，太阳能收集器的设计，当人们想将太阳辐射收集到一个收集器中，它要尽可能的小）和照明问题（例如，灯具的设计，它通过改变灯的光线方向产生在远处目标面上希望的照度）。我们分析的一个必要的假设是光学系统的所有的组成都是完美的镜面：每一条光线传播有唯一的路径。既没有散射也没有光束的分裂。事实上我们假设的没有损耗的光学系统是没有限制的，因为由于吸收产生的损耗通过简单的倍增因素可以很容易的合并。相位空间和光学扩展量几何光学中，一条光线通过它一个参考平面（x,y）的交叉点和它的路径（kx,ky）的正弦方向描述。因此，一条光线在三维空间中相当于在四维空间中被称为相位空间P的一点。这个设计的目标是找出表面反射或者折射系统到给定的相位空间区域的映射，光源到另一个给定的目标区域。一个区域，也就是可分辨的，在相位空间中反射或者折射表面组成的拓扑结构的映射。在相位空间定义拓扑结构的函数，一个最小要求的相位空间被赋予一个拓扑结构，也就是一个相位空间的开子集的定义。我们使用熟悉的笛卡尔四维空间的1拓扑结构：设定形式,y,kx,一x》+（y—y>+（kx一kx》+（ky-ky》<x,y,kx,ky,reR的,y,kx,0 0 0 0 ， 0 0 0 0开集，这些集合的任意的并集和有限的交集。相位空间的函数（映射）以拓扑的形式定义，如果他在映射和反转时是连续的，也就是说，他们总是将开集映射到开集。最后，我们定义一系列的光线X的边界8X，所有这些光线的集合是所有光线的开集，恰巧是X和X的补的非空交集的组成。集合的闭定义为x■=XU泌。本文中使用两个原理。第一个是拓扑学的基本原理：定理1（相位空间边界）。为了将p区域映射到另一个区域，将第一个区域的边界映射到第二个的边界上是必要的和充分的。注意，在单侧极限的情况下定义边界的映射：也就是，区域边缘上的一点的映射当做一系列点的极限映射近似为区域内部的边缘上的点定义。两个区域边缘上的点映射的差异取决于把这个点当做一个区域的边界还是另一个的边界。严格的说，这种映射只能被定义在开集中，包括边界。第二种定理说明，光学系统并不改变相位空间的容量，正如所知的光学扩展量光线通过它传输。光学扩展量是区域P的一个测量方法。如果我们表示一个相位空间区域Xu尸,E（x）eR+，然后对于任意(1)不重叠的相位空间区域的X和Y有，E（XUY）=E（X）+E（Y）不重叠的意思是交集为空。空集的测量当然是零，但是集合的零测度不需要是空的。(1)定理2（相位空间容量守恒）。光学系统产生的映射m使光学扩展量守恒：E^V^^）］=E（X），对所有的X成立。适用于所有的X，所有意思不包括零测度的集合，假设X在非零的测量。特殊的边缘光线原理定理1是边缘光线方法的基础，已经应用到非成像光学的设计中。试图把光源的边缘光线映射到目标的边缘，如果成功了，那么光源的所有光线都能到达目标。这使设计问题极大简化，因为设计师不需要担心光源内部的光线。注意，对于定理1的正确性的条件是：映射必须是连续的。在大多数情况下，这个条件不能满足整个映射。从图1中的CPC很容易看到。一些光线直接到达目标；其他的经过一次或者多次反射到达目标。在不同的反射区域的边界的映射是不连续的。相当一般的，间断点出现在光线通过光学系统的任何一个反射面的边缘。因此，边缘光线原理需要更仔细的公式。以说明有限制的版本开始，只有在没有从光源射出的光线到达光学系统的边缘才有效（例如，当所有的光线经过相同数量的反射面）。版本1（特殊的边缘光线原理）。光源S连续不断的映射到目标T上，S的边界到T的边界的映射是必要的和充分的（necessaryandsufficient）。这么翻不知道合适不。这个版本是定理1的直接应用。成功的应用到非成像系统的连续映射的设计中，它基于材料的梯度指数。在接下来的部分里概括这个原理应用在具有间断点的映射和说明在非成像系统的设计中的应用。在基于反射器的系统中这些非连续的映射是典型的。复合抛物线集光器和边缘光线原理既然例子是有帮助的，首先提出一个CPC的更加详细的讨论，如图1所示。双边界的CPC将所有的光线以一定的角度从入射（大）孔径完美的映射到出射（小）孔径。本文中采用一定入射角分布的入射孔径为光源，以出射孔径为目标面。相位空间区域与光源和目标的对应关系在图2中描述出。注意哪些重叠区域。根据反射器的数字用下标标出。标有T0和S0的不需要反射。双边界CPC反射器的每一边的映射，标记S＞。的部分对应于目标上T。。然而，如图3所示，CPC违反了严格的边缘光线原理，因为光源边界的部分光映射到了目标内部的一系列曲线上。反向映射具有相同的性质。利用对称的优点，今后只要关注反射器的一半。s=>urc«j图1，设计CPC，所以的光线进入孔径以角度范围一°~+°，经过反射到达目标的左边缘或者右边缘。

图2,光源和目标的相位空间。标有孔七的区域是重叠的。反射器必须将标有s>0的光源区域对应到目标T>0区域。图3,CPC的T区域和S区域的边界的有效映射。并不是S的边界上所以光线都能映射到T的边界上。部分映射到T内部的一系列的拱形区域，集中在h。类似的，T的边界出射的光到S内部的一系列的拱形区域，集中在g。图4，CPC的T区域和S区域的边界映射的全貌图。经过不同数目的反射，曲线分割光线区域，以*2,*3’*4’R5标记。反射光集中在h。有效映射在边界是不连续的。巢状的序列的全貌图如图4所示。经过不同数目的反射曲线划分区域。这个序列是无限制的，集中在光源标记为g的光线（见图3），光源末端到反射器的切线，经过无数次的反射出现最终在目标末端的切线标记h，被称为whispergallery模型。可以看出一系列曲线集中在相同抛物线的一系列中心截面。长度减少1/n；所以光线的展度反射了n次或者更多，对于大的n，减少相应的为〃-4。有效的非连续映射如果将这个映射看做有限的反射面产生的，映射定义在整个P上，然后很明显的看出映射的光线在反射器的突出边缘是不连续的。光线区域的外边和光学系统相交，在系统区域R光线是不改变的。此外，

如果光线已经由光学系统反射或者折射，再一次和有效的反射面或者折射面相交，光线将再一次的被传播，这个过程不断重复直到光线从光学系统中射出。如果指定m作为只有一次反射或者折射的光学系统的主要映射，有：(2)另一方面，有效映射M是每一条光线追迹观察到的，经过很多次的反射直到不再和反射器相交。M（x）的定义只有在反射有限数目n时才有意义：M。)=M。)=mn(x)mn+1(x)=mn(x)(3)包括M中的零反射映射m0D=x（恒定）。空间的每条路径能够传输光线的两个方向的一个。给定光线X,指出光线x*以和X方向相反的路径的映射这是事实。指出R,所有的光线经过反射器R=!过反射器反射，反射器定义为R*=xlx*e火}或者R*传输。光路的可逆性意思是，如果有反射器映射x—y，同样有映射y*tx*。对于基本的映射和有效dmG。x）L勺反射。然后这个区域的所有光线经={|mT（x）er［区域的映射这是事实。指出R,所有的光线经过反射器R=!过反射器反射，反射器定义为R*=xlx*e火}或者R*注意，尽管这个基本映射是连续的，有效映射M通常不是的。更具体的说，如果定义。+=0（nR*）nR*,那么有效映射在m~nG+Z不连续的，经过不同次数的反射得到的分离区域的边界。区域s中给出点So,边界。区域s中给出点So,S1,S2等有效映射在区域To,T1，T2等，下标0,1,2，等都是独立的反射。这就构成了S和T的区域划分:（4）图5,R表示光线区域经反射器反射，人*表示反射的光线区域。R>1的交叉区表示多次反射。边缘部分用一个窄的表示有效映射的不连续的箭头标记。

spaceXspaceX图6,从光源到目标经过n次反射的区域的有效映射。在边界上标记Sa到Sd的点，这些划分的边界片映射到相应的目标区域的边界点Ta到Td，两点间是相互独立的。有效映射是分段连续的；也就是说，他们在除了划分他们的边界线外，这些分离部分是连续的。从而，边缘光线原理的一般形式用公式表示：版本2（分段连续映射的一般边缘光线原理）为了光源区域S有效的映射到目标区域T，遵守严格的边缘光线原理是必要的和成分的，通过有效映射（所以的反射映射）M，区域S和T的所有部分定义反射数目i：VM（dS）=6T。图6举例说明，区域边界经过n次反射怎样在二维CPC上有效的映射。注意，这个片是整个光源的边界映射到目标区域中不同反射次数的分离区域的内部的边界，反之亦然，光源的内部边界映射到目标的边界上。这个原理蕴含着对设计师来说不合适的特性：设计师不得不检测大量的潜在的相位空间区域来核实所有的反射映射满足设计目标。对于一般的设计程序，完全按照一个反射映射工作是更好的。在第六部分指出这个的切实可行性。基本映射的一般边缘光线原理为达到这个目的，引入辅助的相位空间区域A，和S或者T不重合，分到了七。的一般边界和T0的一般边界。除了这些辅助区域的精确性质这些点不是我们关心的。注意，这个边界气。UA不包括S>0的一般边界和A：B一般边界和A：BS>0ua=Gsousa)/Gson馅),在目标区有相似的结论。假设已知光学系统完成泌〉0UA的连续基本映射m，如此一致边缘泌〉oUA映射到边界STUA。由于定理1知，这个等于UA到rUA基本映射。0 0 0现在表明，S>0UA到T>0UA的基本映射m的存在意味着有效映射M由S映射到T。因此一般的边缘光线原理按照基本映射用公式表示。为了促进实验使用一个相似的可比拟的光学系统的复杂系统，找出如果光线最终从某一出口射出。这个复杂系统（maze）A入口是S>q，出口是七0。分段连续的映射的一般边缘光线原理类似于追迹复杂系统中的每一条可能的路径。现在寻找类似的总体验证，这个复杂系统没有其他的出口光线也不能在里面积累。如果m由SUA映射到TUA，Sn的任何光线都将反射到T或者永久的收集在A中。S表0 >0 >0 >0 n示S这些光线的集合，经过n次反射到达T，A内光线收集的集合、^，和公式（4）类似。指出、^的光学扩展量为零。D,=mk

n,光学扩展量为零。D,=mk

n,k8次反射后永久的收集。很明显，DnkuT0(0<k<n)o这些集合是相互分离的，也就是不重叠:Dn,knDi,j=4(n,k)比j)这些并集是：U8次反射后永久的收集。很明显，DnkuT0(0<k<n)o这些集合是相互分离的，也就是不重叠:Dn,knDi,j=4(n,k)比j)这些并集是：U81u；1n=1k=1Dn,kU8k=1Dkc(T0UA)(5)⑹光学扩展量在每个反射面上是守恒的；所以可以写成：E（D「=E（S）=EVk E（D「=E（S）=EV上(7)利用定理2叙述（6）,得到:ESE+工E<E(A)+E们)n=1k=1 k=1如果A，T0，S>0是有限值’那么不等式（8）；的集合意味着E8=0换句话说，S>0的几乎所有的光线经过有限次的反射最终到达T>0o为了直观的解释这个结果,观察映射m从T>0的外侧的集合传输到T>0的部分内侧的集合。自从保存光学扩展量，m的每一个连续应用减少了集合的体积，留在外边通过总数到达气。是否存在S>0的子集，永远映射不到T。上，无论这个m的应用的数量有多大？上面的论证表明这样的子集必须有零光学扩展量。注意，数学上的子集可能包含无穷多光线和零测度。然而，物理上因为能量密度在相位空间总是有限的，这些病态（pathological）光线的总能量是零。已经证明基本映射m的存在,也就是S>0UA映射到T>0UA，意味着有效映射M由S映射到T,现在说明反过来也是对的：如果有S到T的有效映射M,那么存在一个辅助的区域A,以至于基本映射m由S>0UA映射到T>0UAo为了这个目的定义集合A： A=U8mn。）/Tn=1 >0(9)有：m(s>0UA)=u8=1mn(s>0)=T>0UA(10)接下来的叙述总结这个部分：版本3（依据基本映射的一般边缘光线原理）。从光源区域S到目标区域T的所有光线的有效映射,找出区域A和S>0UA到T>0UA的基本映射m是必须的和充分的。为此边缘泌〉°UA首先映射到叫0UA时必须的和充分的。在版本3中描述的特别的边缘光线原理相当于集合A是空集。附带说明，注意在公式（8）的首项的第二个求和可以计算，公式（8）变成：SnEn<E（A）+ET。）n=1(11)于是出现结果，平均反射'"'次，认为光线从S0到T>0满足:（12）n=£nE/尤E<1+E（A）/E（S0）（12）n=1 n=1如果公式（8）是等式，那么不等式（12）也变成等式。非成像装置的设计在原理的版本3和设计程序之间建立关系，注意大多数的非成像反射器在设计时都考虑到了经过一次反射的边缘光线。因此反射器的选择以至于从光源的边缘发出的光线经过一次反射到达目标的边缘。这个判决的必要条件是没一点上反射器的倾斜，伴随着开始点的选择连续的解决方案；这个解决方案知道反射器的边缘都是连续的，这里反射器可是和光源和目标相交叉，或者是已经被用来决定反射器的另一部分的边缘光线。然而这种设计是由基本映射决定的，但是基本映射只是将光源的部分发射到目标的部分上。必须核实有效映射的多次反射部分除了目标没有溢出量。传统上看这个已经很明白了，类似于在一个复杂的系统中追迹所有可能的路径。对于这些确定相位的一般边缘光线原理依据基本映射提供一个可选择的方案，因为基本映射单独的满足保证的方案。对于这些确定的相位当做辅助的集合A,所有的光线的集合不止一次的反射，在第五部分只能够定义的%广R3*.没有理由加入到A中的任何光线不转移到R中，因为这些光线在m中是无效的。如果在辅助集合中的一点不属于SuR*，它也不满足m^SuA）,当然S中的点不需要增加，应经在上面解释过了。因此不需要比RnR*更长的辅助集合a。现在可以核实边缘光线原理版本3。可以观察有效映射是理想的。说明产生CPC的步骤，使用在图7中给出的相位空间图。各种区域的边界用标出标出：•辅助区域A=RuR*由d-g-h-i-d围成；S>0由d-f-e-k-g-d围成;I〉。由d-c-b-a-j-h-i-d围成；•圆弧g-h是反射器切线的集合；SUA由d-f-e-k-g-h-i-d围成;>0由d-c-d-a-j-h-g-d围成。给定S>0和T>0，设计者只需要裁剪反射器使得，>0的边界经过一个单独的反射面到达T>0的边界。这个步骤产生的反射器遵循下面的边界映射：d-f映射到j-a-b（实际上，a和b代表相同的光线）；f-e映射到b-c；e-k映射到c-d。现在反射器接触光源和目标，不能够扩展更远。边界j-d-k部分仍然是开集。它包含多重反射，但是设计师不需要考虑这些。为了核实设计作品，设计师定义了一个辅助的区域A=RUR*,由g-h-i-d-g围成。现在设计师很容易验证:

g-h映射到g-h因为这些点代表切线;h-d（A边）映射到h-j（T边）；k-g