三角形的证明一元一次不等式

第1讲：特殊三角形的性质与判定一、知识回顾：等腰三角形的性质与判定等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。等边对等角等角对等边等边三角形的性质与判定（1）等边三角形的每个内角都等于60°。（2）3个内角都相等的三角形是等边三角形。如果一个等腰三角形中有一个角等于60°，那么这个三角形是等边三角形。直角三角形的性质与判定直角三角形两锐角互余有两个内角互余的三角形是直角三角形斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（简写为“HL”）直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半勾股定理勾股定理逆定理ABCABCDE1、已知：如图∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC。求证：AB＝AC2、在上图中，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC吗？如果结论成立，你能证明这个结论吗？3：△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC等于________.、4：△ABC中，BD⊥AC与D，AB=6,AD=4,BC=5,DC=_______。5，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，则AC等于_________________第五题图第六题图6、△ABC中，AB=AC=10，BD⊥AC于D，CD=2，则BC等于_______.达标训练1、如果等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。2、如果等腰三角形有两边长为2和5，那么周长为＿＿＿＿＿。3、如果等腰三角形有一个角等于50°，那么另两个角为＿＿＿＿＿。4、如果等腰三角形有一个角等于120°，那么另两个角为＿＿＿＿。5、在△ABC中，∠A＝40°，当∠B等于多少度数时，△ABC是等腰三角形？ABCEDABCEDO求证：OB＝OC。ABCDE7、如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝ABCDE8、已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E。求证：△ADE是等边三角形。AABCDE9．在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点．（）（A）高（B）角平分线（C）中线（D）边的垂直平分线10．已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有几个（）（1）AD平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）BD=CD；（4）AD⊥BC．（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个11．如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件_______或；若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件或．PQCPQCABx12.如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB，P.Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP=时,才能使ΔABC≌ΔPQA.13.如图,在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D,DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为___________cm.14.如图，在△ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF.求证：AB=AC15.已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC.你能说明BE与DF相等吗？AABCDEF12第2讲：垂直平分线与角平分线知识点：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上三角形的三边的垂直平分线是否相交于一点，这一点到三个顶点的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等在角的内部，如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点就在这个角的平分线上三角形的三个角的角平分线相交于一点，这一点到三条边的距离相等例题精讲例1、已知：如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分∠BAC，若∠B=300，求∠C的度数。例2、如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE=DC，求证BE=CF；例3、△ABC中，AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E。已知：CD=4cm,求AC长求证：AB=AC+CD当堂训练：1、已知：线段AB及一点P，PA=PB，则点P在上。2、已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D则∠ADC=。3、△ABC中，∠A=500，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D则∠DBC的度数。4、△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC垂直平分线，则∠B∠BAE，∠C∠GAF，若∠BAC=1260，则∠EAG=。5、如图，△ABC中，AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分AB，则△BCD的周长是。6、有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。7、在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（）A、三角形三条角平分线的交点；B、三角形三条垂直平分线的交点；C、三角形三条中线的交点；D、三角形三条高的交点。8、已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（）A、锐角三角形；B、直角三角形；C、钝角三角形；D、不能确定9、等腰Rt△ABC中，AB=AC,BC=a,其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是。11、在△ABC中∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，BC=CM，BD：DC：=4：3，则点D到AB的距离为___________。12、在RT△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE是是斜边AB的垂直平分线，且DE=1CM，则AC=_______________.13、OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，下列结论中错误的是（）A：PD=PEB：OD=OEC：∠DPO=∠EPOD：PD=OD14、△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，连结AO，若∠OBC=25°，∠OCB=30°，则∠OAC=_____________°15、与相交的两直线距离相等的点在（）A：一条直线上B：一条射线上C：两条互相垂直的直线上D：以上都不对16、到一个角的两边距离相等的点在。17、△ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,则D到AB的距离为.18、Rt△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，则DE+DC=cm。19、△ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O,则∠BAO和∠CAO的大小关系为。20、Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是。21、已知：OP是∠MON内的一条射线，AC⊥OM,AD⊥ON,BE⊥OM,BF⊥ON,垂足分别为C、D、E、F，且AC=AD求证：BE=BF1、（2013•雅安）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C=80°，则∠D的度数为（） A． 50° B． 60° C． 70° D． 100°2、（2013•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A．1B．2C．3D．43、（2013•曲靖）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD=40°，OA平分∠COE，则∠AOE=．4、（2013成都市）如图，，若AB∥CD，CB平分，则______度.5、（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．

第三讲：三角形的证明单元复习一、等腰、等边三角形1、在等腰三角形中顶角为40°时底角等于_________，一个底角为50°，则顶角等于_________.2、已知等腰三角形一个内角的度数为30°，那么它的底角的度数是_________．3、等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________．4、等腰三角形的两边长分别为4厘米和6厘米，这个三角形的周长为_______5、等腰三角形的两边分别是7cm和3cm，则周长为_________.6、由在同一三角形中“等角对等边”“等边对等角”两个定理我们可以联想到大边对_________，大角对_________.8、等腰三角形中的一个角等于，则另两个内角的度数分别为（

）A、，B、，C、，

D、，或，9、等腰三角形的一个外角等于，则这个三角形的三个内角分别为（

）A、，，

B、，，C、，，

D、，，或，，10、如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大，那么顶角为（

）A、

B、

C、

D、11、等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（）A.17B.22C.13D.17或2212、如果一个三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是A.钝角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形13、如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，则图中共有等腰三角形A.1个 B.2个 C.3个 D.4个14、如图，已知△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，又DE∥BC，交AC于E，若DE=4cm，AE=5cm，则AC等于A.5cm B.4cmC.9cm D.1cm13题14题16题15题15、如图，在中，AB=AC，，BD和CE分别是和的平分线，且相交于点P.在图中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（）.13题14题16题15题A．9个B．8个C．7个D．6个16、如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠ABC等于_________度.17、给出下列命题，正确的有（）①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形A.1个 B.2个 C.3个 D.4个18、如果三角形一边的中线和这边上的高重合，则这个三角形是（）A.等边三角形 B.等腰三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形19、边长为2cm的等边三角形的面积为cm2二、直角三角形1、一个三角形的两边长为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边的长为（）（A）3（B）（C）3或（D）3或2、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是．3、有一块边长为24米的正方形绿地，如图3所示，在绿地旁边处有健身器材，由于居住在处的居民践踏了绿地，小明想在处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的“▇”图3填上适当的数字是（）.图3A、23米 B、24米C、25米 4、等腰直角三角形一条直角边的长为1cm，那么它斜边长上的高是cm.5、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．2，3，4B．10，8，4C．7，25，24D．7，15，126、分别有下列几组数据：①6、8、10②12、13、5③17、8、15④4、11、9其中能构成直角三形的有：（）Ａ、４组Ｂ、３组Ｃ、２组Ｄ、１组7、适合下列条件的△ABC中,直角三角形的个数为()①②∠A=450;③∠A=320,∠B=580;④⑤A.2个;B.3个;C.4个;D.5个8、一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行。上午8时，该船在A处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B处(如图)，上午9时行到C处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是海里(结果保留根号).9、△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4cm，最长边AB的长是（）A、5cm B、6cmC、cm D、8cm10、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB=．11、如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。12、如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？三、角平分线1、已知⊿ABC中，∠A=，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC=2、给出下列结论，正确的有（）①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3、∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5cm，则M到OB的距离为_________.4、△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D。若DC=7，则D到AB的距离是.5、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△A、4cmB、6cmC、85题6题6、如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于点D，BD∶DC=2∶1，BC=7.8cm，则D到AB的距离为5题6题7、如图1，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.图1图28、如图2，在△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，则BC=_________cm.9、如图19，在中，，AC=BC，AD平分交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm.你能否求出的周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.四、线段的垂直平分线1、在中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为，则底角B的大小为________.2、在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，则∠DBC的度数是.3、如右图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB=10cm，则BD=__________cm；若PA=10cm，则PB=__________cm；此时，PD=__________cm.3题3题2、4题图2、4题图4、如上图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长