几何体的内切球和外接球三视图教师版讲义

河科大附中数学必修二学习单 编制：杨宏亮 审核：任明俊专题：几何体的内切球和外接球三视图【学习目标】1.掌握几何体的内切球和外接球问题；2.掌握几何体的三视图。※自主研读学习单※1.如果一个球与几何体的各个面都相切，球为几何体的内切球；2.如果一个几何体的所有顶点都在球面上，球为几何体的外接球；3.棱长为的正四面体的高为________;它的外接球半径为________;内切球半径为________;球心为高的_____等分点。解：如图所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为．由图形的对称性知，点也是外接球的球心．设内切球半径为，外接球半径为．正四面体的表面积．正四面体的体积，在中，，即，得，得变式：一个正四面体内切球的表面积为，求正四面体的棱长。（答案为：）4.正方体的内切球：5.与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，6.正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，。变式：一棱长为的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。（答案为）7.正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。※合作探究学习单※题型一几何体的内切球和外接球例1.正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．解：如图，球是正三棱锥的内切球，到正三棱锥四个面的距离都是球的半径．是正三棱锥的高，即．是边中点，在上，的边长为，∴．∴可以得到．由等体积法，∴得：，∴．∴．例2.求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．解：如图，等边为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形，截球面得球的大圆圆．设球的半径，则它的外切圆柱的高为，底面半径为；，，∴，，，∴．例3.已知正三棱柱的六个顶点在球上，又知球与此正三棱柱的5个面都相切，求球与球的体积之比与表面积之比。答案：B【课堂小结】几何体的内切球和外接球三视图※巩固提升学习单※1．若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为（）A.3：1B.4：1C.5：1D.6：1【答案】C【解析】设内切球的半径为r,外接球的半径为R,底边边长为a,则,所以2．在正四棱锥S-ABCD中，侧面与底面所成的角为，则它的外接球半径R与内切球半径之比为（）A．5 B． C．10 D．【答案】D3．已知四面体ABCD中，AB＝AD＝6，AC＝4，CD＝2，AB⊥平面ACD，则四面体ABCD外接球的表面积为（）A．36πB．88πC．92πD．128π【答案】B【解析】试题分析：在中，由，可得，则，又，故，则.4．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为_________.正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图【解析】由三视图可得，该几何体为一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如下图中，其中底面为边长为1的正方形，由图可知，该四棱锥的外接球球心即该四棱锥所在的正方体的中心，由此可得球半径，所以其表面积为5．在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是SC、BC的中点，且，若侧棱SA=，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为______________.【解析】如图，因为分别是中点，所以。而是正三棱锥，所以，所以。因为，所以面，从而可得面，故。将此正三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球。因为侧棱，所以补成的正方体的边长为，则它们的外接球半径，所以外接球表面积为6．已知四面体的外接球的球心在上，且平面，，若四面体的体积为，则该球的体积为___________；【答案】【解析】试题分析：设球的半径为，因为球心在上，所以为的中点，且为直角三角形，因为，所以，，所以,所以该球的体积为考点：本小题主要考查四面体的内接球的体积计算.点评：解决此小题的关键是分析出是直角三角形，考查学生的空间想象能力和运算求解能力.7．在平行四边ABCD中，,,若将其沿BD折成直二面角A-BD-C,则三棱锥A—BCD的外接球的体积为_______.【答案】【解析】试题分析：因为球心到各定点的距离相等，所以易知该外接球的球心在AC的中点，又在平行四边ABCD中，,所以,而折成直二面角后，,所以该外接球的球半径为1，所以体积为考点：本小题主要考查空间几何体的外接球的体积.点评：对于这种折叠问题，要搞清楚折叠前后的量有哪些发生了变化，哪些没有发生变化.8．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为.【答案】8【解析】试题分析：由三视图可知空间几何体为三棱锥，底面为直角三角形，侧棱垂直于底面，设底面为,侧棱所以其外接球球心在中点处，球的半径，所以表面积考点：三视图及球的表面积计算点评：先由三视图还原直观图在求其外接球的表面积9．圆台的轴截面面积是Q，母线与下底面成60°角，则圆台的内切球的表面积是（）。（A）（B）Q（C）Q（D）Q【答案】D10．已知球是棱长为的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为.【答案】11．如图，多面体ABCD­EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是 ()．解析注意BE，BG在平面CDGF上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A，C选项，观察B，D选项，侧视图是指光线，从几何体的左面向右面正投影，则BG，BF的投影为虚线，故选D.答案D12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A­BCD正视图和俯视图如图，则三棱锥A­BCD侧视图的面积为()．A.eq\f(6,13) B.eq\f(18,13) C.eq\f(2,13) D.eq\f(3,13)解析由正视图及俯视图可得，在三棱锥A­BCD中，平面ABD⊥平面BCD，该几何体的侧视图是腰长为eq\f(2×3,\r(22＋32))＝eq\f(6,\r(13))的等腰直角三角形，其面积为eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,\r(13))))eq\s\up12(2)＝eq\f(18,13).答案B13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ()．A.eq\f(560,3) B.eq\f(580,3)C．200 D．240解析由三视图还原的几何体为两底面为等腰梯形的直棱柱，梯形的面积为eq\f(1,2)(2＋8)×4＝20，所以棱柱的体积为20×10＝200.答案C14．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 ()．A