数理统计考研复试题库及答案

./2〔1未知函数u的导数最高阶为2,u,u,u均为一次,所以它是二阶线性方程。为y最高阶导数为1,而y为二次,故它是一阶非线性常微分方程。果y是未知函数,它是一阶线性方程；如果将x看着未知函数,它是一阶非线性方程。3.提示：所满足的方程为y－2y+y=04．直接代入方程,并计算Jacobi行列式。5.方程变形为dy=2xdx=d<x>,故y=x+C6.微分方程求解时,都与一定的积分运算相联系。因此,把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为〔一个积分。7．把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达,但这个积分如果不能用初等函数表示出来,我们也认为求解了这个微分方程,因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。8．y＝f<x,y>主要特征是f<x,y>能分解为两个因式的乘积,其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y,而方程p<x,y>dx+q<x,y>dy=0是可分离变量方程的主要特征,就像f<x,y>一样,p,q分别都能分解成两个因式和乘积。9积分得x=-cosx+c将方程变形为xydy=<y-1>dx或＝,当xy0,y1时积分得＋y+ln+=c<3>方程变形为＝dx,当y-1,sinx0时积分得y=Csinx-1<4>方程变形为exp<y>dy=exp<2x>dx,积分得exp<y>＝exp<2x>＋C<5>当y1时,求得通积分ln=x+c<6>方程化为xydx=<1-y><1+x>dx或dx=dy,积分得x－arctgx－ln+y=C<7>当x<y--1>0时,方程变形得dx+=0两边积分并化简得y＝1＋exp<-x>10.二元函数f<x,y>满足f<rx,ry>=rf<x,y>,r.>0,则称f<x,y>为m次齐次函数。m=0则称它为0次齐次函数。11．如果f<x,y>是0次齐次函数,则y＝f<x,y>称为齐次方程。如果p<x,y>和q<x,y>同为m次齐次函数,则pdx+qdy=0为齐次方程。如果q0则＝－f<x,y>,由p,q为m次齐次函数推知f<x,y>为0次齐次函数故y＝f<x,y>为齐次方程。12．求解齐次方程经常用变换y=zx.用函数乘积导数的公式得=x＋z13．这是齐次方程。令y=zx,=x＋z,将方程化为z+x=,并即x＝分离变量得积分得ln|n|+ln<z+2>-ln|z|=ln|C|,或＝C用z=y\x代入得原来的变量。x＋y＝Cy.注意y=0方程的解。14．当x0时,方程化为=1＋2令y=ux,则原方程化为x=1+u,当1+u0时,可分离变量得u+1=cx:;通解为y=cx+x作变换y=ux,则原方程化为2udu=于是u=ln|x|+C,代回原变量,得通积分：y＝x〔ln|x|+C15.这是齐次方程。令y=zx原方程化为－du=两边积分得－ln|z|=ln|cx|用z=代入得y=exp<>y=0也是原方程的解。16.变形为=+,令y=ux得==积分得-ln|1-u|=ln|x|--c,代原变量得通积分x-y=cx17.方程右边分子,分母两条直线交点为〔x,y=<-2,1>作变换u=x+2,v=y-1,原方程化为＝,此为齐次方程,令v=uz,经简单计算得dz=,积分得＝C原方程通积分为y=x+c<x+y+1>+318―――――――1920――――2728―――――3738――――4445――――4950――――5657――――6263――――6869――――7172