二次函数综合训练专题

1.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（-1，-1）、B（0，2）、C（1，3）；

（1）求二次函数的解析式；2.如图，A（-1，0）、B（2，-3）两点在一次函数y1=-x+m与二次函数y2=ax2+bx-3的图象上．

（1）求m的值和二次函数的解析式．

（2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围．3.如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（-2，0）．

（1）求此二次函数的解析式及点B的坐标；

（2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP=3，请直接写出点P的坐标．4.已知反比例函数y=k/x的图象与二次函数y=ax2+x-1的图象相交于点（2，2）

（1）求a和k的值；

（2）反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点，为什么？5.如图，直线y=-x-2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A，且经过点B．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点C（m，-9/2）在抛物线上，求m的值．

6.如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰经过x轴上的点A，B．

（1）求点C的坐标；

（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．7.如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴上，B（4，2），一次函数y=kx-1的图象平分它的面积，关于x的函数y=mx2-（3m+k）x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值．8.如图，在直角坐标平面内，O为原点，抛物线y=ax2+bx经过点A（6，0），且顶点B（m，6）在直线y=2x上．

（1）求m的值和抛物线y=ax2+bx的解析式；

（2）如在线段OB上有一点C，满足OC=2CB，在x轴上有一点D（10，0），连接DC，且直线DC与y轴交于点E．

①求直线DC的解析式；

②如点M是直线DC上的一个动点，在x轴上方的平面内有另一点N，且以O、E、M、N为顶点的四边形是菱形，请求出点N的坐标．（直接写出结果，不需要过程．）

9.在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且．（1）求点A与点B的坐标；（2）求此二次函数的解析式；（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．10.已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝，试求m的值；NMCxyO（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且NMCxyO11.如图12，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上.（1）求的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.EBEBACP图12OxyD12.已知：是方程的两个实数根，且，抛物线的图像经过点A()、B().求这个抛物线的解析式；设（1）中抛物线与轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标.13.(2006)坐标原点，点A(n，0)是x轴上一动点(n＜0)。以AO为一边作矩形AOBC，使OB=2OA,点C在第二象限。将矩形AOBC绕点A逆时针旋转90°得矩形AGDE。过点A得直线y=kx+m(k≠0)交y轴于点F，FB=FA。抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作x轴的垂线，垂足为点M。（1）求k的值；ABCGDMMEFOABCGDMMEFOxyH14..如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．15.如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）求证：①CB=CE；②D是BE的中点；（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.16．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点．（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；（2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由；AOxyBFC图1（3）试探究在直线上是否存在一点AOxyBFC图117．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点．（1）判断点是否在轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；yxODECFAB（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由．yxODECFAB18.（2004）如图已知点A（0,1），C（4，3），E,P是以AC为对角线的矩形ABCD内部（不在各边上）的动点，点D在y轴上，抛物线y=ax2+bx+1以P为顶点。（1）说明点A、C、E在一条直线上；（2）能否判断抛物线y=ax2+bx+1的开口方向？请说明理由；（3）设抛物线y=ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，这时能确定a、b的值吗？若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的范围。（下图仅供参考）19.(07）如图1，点A是直线y＝kx（k＞0，且k为常数）上一动点，以A为顶点的抛物线y＝(x－h)2＋m交直线y＝kx于另一点E，交y轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C.（点A,E,F两两不重合）(1)请写出h与m之间的关系；（用含的k式子表示）(2)当点A运动到使EF与x轴平行时(如图2)，求线段AC与OF的比值；(3)当点A运动到使点F的位置最低时(如图3)，求线段AC与OF的比值.20.(2009）已知：直角梯形OABC的四个顶点是O(0，0)，A(，1)，B(s，t)，C(，0)，抛物线y=x2＋mx－m的顶点P是直角梯形OABC内部或边上的一个动点，m为常数．(1)求s与t的值，并在直角坐标系中画出直角梯形OABC；(2)当抛物线y=x2＋mx－m与直角梯形OABC的边AB相交时，求m的取值范围21.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知，，△ABC的面积，抛物线经过A、B、C三点。(1)求此抛物线的函数表达式；(2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；(3)在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．22.(2011孝感)如图（1），矩形ABCD的一边BC在直接坐标系中轴上，折叠边AD，使点D落在轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（），其中.（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求的值；（3）如图（2），设抛物线经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求、、的值.图（1）图（2）23、（2011甘肃兰州）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4，-2/3)．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）

①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

②当S取5/4时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．

解:(1)据题意知:A(0,－2),B(2,－2)，D（4，—）,∴抛物线的解析式为:

(2)①由图象知:PB=2－2t,BQ=t,∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2+t2,即S=5t2－8t+4(0≤t≤1)②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.∵S=5t2－8t+4(0≤t≤1),∴当S=时,5t2－8t+4=,得20t2－32t+11=0,解得t=

，t=

（不合题意，舍去）此时点P的坐标为（1，-2），Q点的坐标为（2，—）若R点存在，分情况讨论:10假设R在BQ的右边,这时QRPB,则，R的横坐标为3,R的纵坐标为—即R(3,－)，代入,左右两边相等，∴这时存在R(3,－)满足题意.20假设R在BQ的左边,这时PRQB,则：R的横坐标为1,纵坐标为－即(1,－)代入,左右两边不相等,R不在抛物线上30假设R在PB的下方,这时PRQB,则：R(1，—)代入,

左右不相等,∴R不在抛物线上.综上所述,存在一点R(3,－)满足题意.（3）∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M，M的坐标为（1，—）

24.（2011广东）如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N.设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由.解：（1）易知A(0,1)，B(3,2.5)，可得直线AB的解析式为y=（2）（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有，解得，所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形.=1\*GB3①当t=1时，，，故,又在Rt△MPC中，，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形=2\*GB3②当t=2时，，，故,又在Rt△MPC中，，故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形.25（2011沈阳）.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求直线BC的函数表达式；

（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．

①当线段PQ=3/4AB时，求tan∠CED的值；

②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．

25．⑴∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴∴b=－2．∵抛物线与y轴交于点C（0，－3），∴c=－3，∴抛物线的函数表达式为y=x2－2x－3．⑵∵抛物线与x轴交于A、B两点，当y=0时，x2－2x－3=0．∴x1=－1,x2=3.∵A点在B点左侧，∴A（－1，0），B（3，0）设过点B（3，0）、C（0，－3）的直线的函数表达式为y=kx＋m，则，∴∴直线BC的函数表达式为y=x－3．⑶①∵AB=4，PO=AB，∴PO=3∵PO⊥y轴∴PO∥x轴，则由抛物线的对称性可得点P的横坐标为，∴P（，）∴F（0，），∴FC=3－OF=3－=．∵PO垂直平分CE于点F，∴CE=2FC=∵点D在直线BC上，∴当x=1时，y=－2，则D（1，－2）．过点D作DG⊥CE于点G，∴DG=1，CG=1，∴GE=CE－CG=－1=．在Rt△EGD中，tan∠CED=．②P1（1－，－2），P2（1－，）26.(2011河北)如图15，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P.已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）.⑴求c、b（用含t的代数式表示）；⑵当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB、CD交于点M、N.在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S=；③在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围.27.（2010沈阳）如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax2c与x轴正半轴交于点F(16，0)、与y轴正半轴交于点E(0，16)，边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F(1)求拋物线的函数表达式；(2)如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q(运动时，点P不与A、B两点重合，点Q不与C、D两点重合)。设点A的坐标为(m，n)(m>0)。当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标；在的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围；当n=7时，是否存在m的值使点P为AB边中点。若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。xxACDEFBOQPyBO(D)yxF(C)E(A)OyxFE图1图2备用图[解](1)由拋物线y=ax2c经过点E(0，16)、F(16，0)得：，解得a=，c=16，∴y=x216；(2)过点P做PGx轴于点G，∵PO=PF，∴OG=FG，∵F(16，0)，∴OF=16，∴OG=OF=16=8，即P点的横坐标为8，∵P点在拋物线上，∴y=8216=12，即P点的纵坐标为12，∴P(8，12)，∵P点的纵坐标为12，正方形ABCD边长是16，∴Q点的纵坐标为4，∵Q点在拋物线上，∴4=x216，∴x1=8，x2=8，∵m>0，∴x2=8(舍去)，∴x=8，∴Q(8，4)；816<m<8；不存在；理由：当n=7时，则P点的纵坐标为7，∵P点在拋物线上，∴7=x216，∴x1=12，x2=12，∵m>0，∴x2=12(舍去)，∴x=12，∴P点坐标为(12，7)，∵P为AB中点，∴AP=AB=8，∴点A的坐标是(4，7)，∴m=4，又∵正方形ABCD边长是16，∴点B的坐标是(20，7)，点C的坐标是(20，9)，∴点Q的纵坐标为9，∵Q点在拋物线上，∴9=x216，∴x1=20，x2=20，∵m>0，∴x2=20(舍去)，x=20，∴Q点坐标(20，9)，∴点Q与点C重合，这与已知点Q不与点C重合矛盾，∴当n=7时，不存在这样的m值使P为AB边的中点。28.（2011武汉）（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.（1）求证：.（2）

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点.

①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；

②如图3，求证MN2=DM·EN.

29.（2011咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点P作，垂足为H，连接，．设点P的运动时间为秒．①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求的值；②点Q是点B关于点A的对称点，问是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．

30、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC的长；（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．31.（2011长沙）．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0,2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B。（1）求点B的坐标；（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值；（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。（1）过点B作BC⊥y轴于点C，∵A(0,2)，△AOB为等边三角形，∴AB=OB=2，∠BAO=60°，∴BC=，OC=