高中数学人教A版（2023）选修二4.3等比数列同步练习（答案＋解析）

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4.3等比数列

一、单选题

1．（2023高二上·邵阳期中）公比为的等比数列中，，，则（）

A．B．3或2C．D．3或-3

2．（2022高二下·浙江期中）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达目的地…….则此人后四天走的路程比前两天走的路程少（）里.

A．198B．191C．63D．48

3．（2022·湖南模拟）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（）

A．35B．42C．49D．56

4．（2023高三上·济宁期末）若数列为等比数列，且，，则=（）

A．32B．64C．128D．256

5．在数列中，，，记的前项和为，则（）

A．B．C．D．

6．（2023高一下·重庆期中）中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，则这匹马第7天所走的路程等于（）

A．里B．里C．里D．里

7．（2023高二下·湖南期末）《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问：何日相逢？各穿几何？意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞．大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺．大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半．第3天结束后，两只老鼠相距（）

A．尺B．尺C．尺D．尺

8．（2023高二上·无锡期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士、凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得（）

A．三分鹿之一B．三分鹿之二

C．一鹿D．一鹿、三分鹿之一

9．（2023高一上·利辛月考）已知等比数列，前项和为，满足，且，则（）

A．B．C．D．

10．（2023高二上·北京期中）下列说法错误的是（）

A．任给等差数列和，数列是等差数列

B．存在等差数列和，数列是等差数列

C．任给等比数列和，数列是等比数列

D．存在等比数列和，数列是等比数列

11．（2023·四川模拟）已知正项等比数列的前n项和，满足，则的最小值为

A．B．3C．4D．12

12．（2022高二上·许昌期末）已知数列满足，，，前项和（）

A．B．C．D．

13．（2023·山西模拟）十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征．仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为四段，去掉其中的区间段记为第一次操作；再将剩下的三个区间，分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；···如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（参考数据：）（）

A．11B．10C．9D．8

14．（2023高三上·赤峰月考）已知是等比数列的前项和，若，，则数列的公比为（）

A．3B．2C．-3D．-2

15．（2023高三上·营口月考）我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第天后剩余木棍的长度为，数列的前项和为，则使得不等式成立的正整数的最小值为（）.

A．6B．5C．4D．3

16．（2023·奉贤模拟）若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，则称成一个“等差数列”.已知集合，则由中的三个元素组成的所有数列中，“等差数列”的个数为（）

A．25B．50C．51D．100

17．（2023高一下·惠州期末）已知等差数列的公差，前项和为，等比数列的公比是正整数，前项和为，若，且是正整数，则等于（）

A．B．C．D．

18．（2023·山西模拟）已知等比数列的前项和的乘积记为，若，则（）

A．B．C．D．

19．（2023高二下·杭州期末）已知等比数列的前n项和为，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

20．（2022高三上·潍坊月考）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点绕原点按逆时针方向旋转角得到点，再将点绕原点按逆时针方向旋转角得到，…，如此继续下去，得到前10个点，，，…，．若是公差为的等差数列，且点，，，…，在同一函数图象上，则角的取值可以是（）

A．B．C．D．

二、解答题

21．（2022·葫芦岛模拟）已知数列是等差数列，且，，分别是公比为2的等比数列中的第3，4，6项.

（1）求数列和的通项公式；

（2）若数列通项公式为，求的前100项和.

22．（2022高二下·宿州期中）记等差数列的前n项和为，．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前n项和．

23．（2022·绵阳模拟）已知数列满足：，，（）．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式．

24．（2023高一下·内江期末）已知等比数列的前项和为，若，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

25．（2023高二上·兰州期中）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．

（1）求数列{an}的通项；

（2）求数列{}的前n项和Sn．

26．（2023高一下·成都期中）已知等差数列的前n项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

27．已知前n项和为Sn的数列{an}中，a1=5.

（1）若{an}是等比数列，S3=35，求{an}的通项公式；

（2）若{an}是等差数列，S5=S6，求Sn的最大值.

28．（2023高一下·金华月考）已知等差数列的公差，且.

（1）求及；

（2）若等比数列满足，，求数列的前n项和.

29．（2023高一下·七台河期末）已知是公差为3的等差数列，数列满足，，.

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求的前n项和.

30．（2023高一下·广东期末）设数列的前项和为，若且

（1）求

（2）若数列满足，求数列的前n项和.

答案解析部分

1．【答案】D

【解析】【解答】因为是等比数列，所以，

因为，所以，则，，，

当时，，

当时，，

故，

故答案为：D.

【分析】由是等比数列，可得，结合，可知，即，，进而可求得，然后求出即可.

2．【答案】A

【解析】【解答】设每天走的路程里数为，则是公比为的等比数列，

由得

解得：

所以

后四天走的路程：，前两天走的路程：，

又，且，∴，

∴

故此人后四天走的路程比前两天走的路程少198，

故答案为：A.

【分析】根据题意，设每天走的路程里数为，则是公比为的等比数列，由等比数列的前n项和公式可得a1的值，进而得出an，可得后四天走的路程：，前两天走的路程，计算可得答案.

3．【答案】B

【解析】【解答】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染，

则每轮新增感染人数为

，

经过n轮传染，总共感染人数为：

，

∵，∴当感染人数增加到1000人时，

，化简得

，

由

，故得

，又∵平均感染周期为7天，

所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要

天，

故答案为：B

【分析】根据题意把数学问题转化为实际问题，然后结合等比数列的前n项和公式代入数值计算出n的取值，从而得出答案。

4．【答案】C

【解析】【解答】因为是等比数列，，所以数列仍然是等比数列，记，设其公比为，由得，，

所以。

故答案为：C．

【分析】利用数列是等比数列，，再结合等比数列的定义，所以数列仍然是等比数列，记，设其公比为，由结合等比数列的通项公式，进而求出公比的值，再利用等比数列的通项公式，进而求出的值。

5．【答案】D

【解析】【解答】∵，∴，

又，∴数列是以1为首项，为比的等比数列，

∴，∴。

故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合递推公式变形，再结合等比数列的定义推出数列是以1为首项，为比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式，再结合等比数列的前n项和公式，进而求出的关系式。

6．【答案】A

【解析】【解答】设马每天所走的路程是，是公比为的等比数列，这些项的和为700，

故答案为：A.

【分析】根据题意得到马每天所走的路程是，是公比为的等比数列，这些项的和为700，由等比数列的求和公式求得首项，再由等比数列的通项公式得到结果.

7．【答案】A

【解析】【解答】设大老鼠第天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前项和为；小老鼠第天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为的等比数列，其前项和为，则，则，从而相距尺。

故答案为：A

【分析】利用已知条件结合等比数列的定义，设大老鼠第天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前项和为；小老鼠第天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为的等比数列，其前项和为，再利用等比数列前n项和公式，从而求出，再结合代入法求出第3天结束后，两只老鼠相距的尺数。

8．【答案】A

【解析】【解答】解：显然5人所得依次成等差数列，设公士所得为，

则，解得．

故答案为：A．

【分析】本题考查阅读理解能力，抽象概括能力，解题关键是从题中得出5人所得依次成等差数列，其中，，要求，由等差数列的前项和公式易解得．

9．【答案】C

【解析】【解答】由题,当时,,则,舍去；

当时,可得,解得,

则

故答案为：C

【分析】由,即可求得,进而利用等比数列前项和公式计算即可,注意此时公比为

10．【答案】C

【解析】【解答】：若和都是等差数列，不妨设，

故可得，则

则，故数列是等差数列，

则A正确；

：设数列是数列；数列是，

故可得数列是是等差数列，

故B正确.

：若和是等比数列，设，

故可得，

则不是常数，故不是等比数列，

故C错误；

：设数列是数列；数列是，

故可得数列是是等比数列，

故D正确.

综上所述，错误的是C.

故答案为：C.

【分析】根据等差数列和等比数列的定义，对选项进行逐一判断即可.

11．【答案】D

【解析】【解答】根据题意，设该等比数列的首项为a1，第二项为a2，公比为q，

若S4﹣2S2=3，则有S4﹣2S2=a1+a2+a3+a4-2(a1+a2）=(a3+a4)﹣(a1+a2)=(q2﹣1)(a1+a2)=3，

又由数列{an}为正项的等比数列，则q＞1，则有a1+a2=，

则S6﹣S4=（a5+a6）=q4×（a1+a2）=q4×=3[（q2﹣1）++2]≥6+3×2=12；

当且仅当q2=2，即q=时等号成立，则S6﹣S4的最小值为12；

故答案为：D．

【分析】利用等比数列前n项和公式，结合等比数列前n项和公式的关系式的已知条件，通过变形的方法利用均值不等式求出等比数列前6项减去等比数列前4项的和的最小值。

12．【答案】C

【解析】【解答】解：因为，

所以，则，

所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，

所以，

故答案为：C．

【分析】根据已知条件及对数的运算，可得数列是以为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式，即可计算出Sn的表达式.

13．【答案】A

【解析】【解答】第一次操作去掉的区间长度为；

第二次操作去掉3个长度为的区间，长度和为；

第三次操作去掉个长度为的区间，长度和为；

…，

第n次操作去掉个长度为的区间，长度和为．

于是进行了n次操作后，所有去掉的区间长度之和为．

由题意知：，化简得，

又n为整数，的最小值为11．

故答案为：A

【分析】利用题中的条件可知，每一次操作去掉的区间长度成等比数列，即可解出．

14．【答案】A

【解析】【解答】由时，，故.∵，∴.又，解得，.

故答案为：A

【分析】讨论不成立，当直接利用等比数列的通项公式和前n项和公式列式求出结果．

15．【答案】B

【解析】【解答】由题意可知：数列是以为首项，为公比的等比数列，，

若，则，即，，

又，，，

使得不等式成立的正整数的最小值为.

故答案为：B.

【分析】将问题转化为等比数列求和问题，利用等比数列求和公式求得，解不等式即可得到答案。

16．【答案】B

【解析】【解答】由三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，知

消去，并整理得，

所以（舍去），，

于是有。

在集合中，三个元素组成的所有数列必为整数列，

所以必为2的被数，且，

故这样的数组共50组。

故答案为：B。

【分析】根据题意首先确定构成“等差数列”的三个数的关系，有，，结合已知中的集合得出符合条件的数组个数。

17．【答案】B

【解析】【解答】∵数列{an}是以d为公差的等差数列，且a1=d，

;

又数列{bn}是公比q的等比数列，且b1=d2，

∴;

∴∈N*．

又∵q是正整数，∴1+q+q2=7，解得q=2．

∴；

故答案为：B．

【分析】由数列{an}是以d为公差的等差数列，且a1=d求得a12+a+a32=14d2再由数列{bn}是公比q的等比数列，且b1=d2求得b1+b2+b3=d2(1+q+q2),结合是正整数求得q的值，则可求.

18．【答案】C

【解析】【解答】设等比数列的公比为，由得，故，即.

又，所以，故，所以.

故选C.

【分析】设等比数列的公比为，由，可求得的值，代入所求即可。

19．【答案】C

【解析】【解答】由于数列是等比数列，

所以，

由于，

所以，

所以“”是“”的充要条件.

故答案为：C

【分析】结合等比数列的前n项和公式，以及充分、必要条件的判断方法，即可判断出正确选项.

20．【答案】A

【解析】【解答】由题可知，是公差为的等差数列，则，

设旋转到点时该点相对于点逆时针旋转的角为

，

因为点，，，…，都在以单位圆上，

且，，，…，在函数图象上，则10个点任意两点均不关于轴对称，

若，，，…，对应的旋转的角为：

，

无任意两点关于轴对称，所以A符合题意；

若，，，…，对应的旋转的角为：

，

因为，所以点与关于轴对称，所以B不符合题意；

若，，，…，对应的旋转的角为：

，

因为，所以与关于轴对称，所以C不符合题意；

若，，，…，对应的旋转的角为：

，

因为，所以与关于轴对称，所以D不符合题意；

故答案为：A.

【分析】根据题意得到是公差为的等差数列，求得旋转到点时该点相对于点逆时针旋转的角为，结合点，，，…，都在以单位圆上，可判定A正确；求得当求得旋转角的值，得到点与关于轴对称，可判定B错误；当，求得对应的旋转的角，得到与关于轴对称，可判定C正确；当，求得对应的旋转的角，得到，可判定D错误.

21．【答案】（1）解：设数列的首项为，公差为，

则，，

，

因为，，分别是公比为2的等比数列中的第3，4，6项，

所以，解得：，

所以的通项公式为：，、

因为，又是公比为2的等比数列，

所以的通项公式为：；

（2）解：，

【解析】【分析】(1)设数列的首项为，公差为，由等差数列的通项公式可得关于a1与d的方程组，求得a1与d的值，即可求得数列的通项公式，再求出b3，即可求解数列的通项公式；

(2)，可得数列的偶数项为0，奇数项构成以1为首项，以-4为公比的等比数列，再由等比数列的前n项和公式求解出的前100项和.

22．【答案】（1）解：由题可知，解得，，

∴；

（2）解：∵，∴，

∴是首项为3，公比为9的等比数列，

∴﹒

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，进而解方程组求出等差数列的首项和公差的值，再结合等差数列的通项公式，进而得出数列的通项公式。

（2）利用已知条件结合数列的通项公式，进而得出数列的通项公式，再利用递推公式结合等比数列的定义，进而判断出数列是首项为3，公比为9的等比数列，再利用等差数列前n项和公式，进而得出数列的前n项和。

23．【答案】（1）证明：∵，

∴，

∵，∴，

∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列．

（2）解：由（1）知，，

当时，

当n=1时，满足上式．

所以，．

【解析】【分析】(1)由题意变形可得，且，根据等比数列的定义，即可证明出数列是等比数列；

(2)由(1)得，利用累加法和等比数列通项公式，即可求出数列的通项公式．

24．【答案】（1）由题意可知

解得

所以数列的通项公式为.

（2）

数列的前项和.

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列前n项和公式，从而解方程组求出等比数列的首项和公比，再利用等比数列的通项公式，从而求出数列的通项公式。

（2）利用结合（1）中的数列的通项公式，从而求出数列的通项公式，再利用等差数列前n项和公式，进而求出数列的前项和。

25．【答案】（1）解：设公差为d，则a3=1＋2d，a9=1＋8d，所以，(1＋2d)=1(1＋8d)，

解得，d=1（d=0舍去），则

（2）解：令，则由等比数列的求和公式，得，

【解析】【分析】（1）先设公差为d，由a1，a3，a9成等比数列列式，解得d=1，即可求出数列{an}的通项；

（2）由（1）得到，利用等比数列的求和公式，即可求出数列{}的前n项和Sn.

26．【答案】（1）解：因为为等差数列，所以，

解得，

（2）解：，

【解析】【分析】（1）利用等差数列前n项和公式，再联立方程组求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列通项公式，从而求出数列的通项公式。

（2）由（1）中数列的通项公式求出数列