新人教版 第二十四章 第2节 第二课堂数学活动核心问题片段教学教案《西姆森定理》

《西姆森定理》片段教案（新人教版第二十四章第2节第二课堂数学活动）教学目标：1、知识与技能：（1）体会西姆森线（Simson’sline）的探索过程；（2）理解西姆森定理建立了“四点共圆”和“三点共线”之间的联系；（3）应用西姆森定理解决相关数学问题。2、过程与方法：（1）经历“作图—测量—观察—归纳—猜想—验证—应用”的数学过程；（2）体验由特殊到一般的数学思想方法。3、情感态度与价值观：（1）在探索西姆森线的过程中，让学生体验“变化中的不变”性，感受数学之美、探究之趣，培养学生的合作交流意识和探索精神；（2）在验证西姆森定理的过程中，通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生学习数学的信心；（3）在数学教学活动中，使学生了解数学家西姆森的相关历史，感受数学文化，激发学生的学习热情；（4）通过介绍西姆森定理的机器证明以及我国数学家吴文俊先生的数学机械化思想，激发学生的民族自豪感。内容分析：1、内容背景：在掌握了“三点共线”、“四点共圆”的性质和判定之后，能否建立起“三点共线”和“四点共圆”之间的联系是需要考虑的问题，西姆森定理就是解决这个问题所需要学习的内容。2、地位和作用：本节课内容既是“点和圆、直线和圆的位置关系”的深化，又为今后的平面几何定理的深入学习奠定了基础，具有非常重要的作用和价值。通过学习本节课内容可以帮助学生掌握一些作图技巧和测量方法，研究一些解决问题的思路，培养学生的应用意识，增强学生对学习数学的兴趣和信心。教学重点：1、探索西姆森线和验证西姆森定理；2、应用西姆森定理解决相关数学问题。教学难点：探索、验证、应用西姆森定理。教案主体：教学步骤预计时间(分)教学内容教师活动学生活动画一画1如图1，点P是△ABC外接圆上异于其顶点的一点，则：A，B，C，P四点共圆。作图：过点P分别作直线BC、AC、AB的垂线，垂足分别为点D、E、F。1、要求学生进行尺规作图。2、发现学生在尺规作图过程中所出现的问题并进行辅导。3、展示学生的优秀作品。按要求进行尺规作图。2、量一量0.9如图1，点P是△ABC外接圆上异于其顶点的一点，过点P分别作直线BC、AC、AB的垂线，垂足分别为点D、E、F。测量：点D、E、F在位置上有什么关系？1、在前面作图的基础上，引导学生测量出点D、E、F在位置上的关系。2、提问：有没有其他测量的思路？例如，能否从线段长度关系上测量、计算出点D、E、F三点共线？1、按要求进行测量，并得出结论：点D、E、F三点共线。2、在老师的引导下，尝试另一种测量思路：（1）先分别测量出线段DE、EF、DF的长；（2）再计算以下等式是否成立DE＋EF＝DF。3、变一变0.9如图2，相对于“图1”：△ABC固定不变，变动了点P的位置。重复“图1”的作图和测量过程：点D、E、F在位置上有什么关系？1、要求学生进行尺规作图和测量。2、辅导学生进行尺规作图和测量。3、展示学生的优秀作品。按要求进行作图和测量，并得出结论：点D、E、F三点共线。4、看一看0.9如图3，相对于“图1”：点P固定不变，变动了△ABC的形状和位置。重复“图1”的作图和测量过程：点D、E、F在位置上有什么关系？1、要求学生进行尺规作图和测量。2、辅导学生进行尺规作图和测量。3、展示学生的优秀作品。按要求进行作图和测量，并得出结论：点D、E、F三点共线。5、猜一猜1猜测：点P是△ABC外接圆上异于其顶点的任意一点，过点P作直线BC、AC、AB的垂线，垂足分别为点D、E、F，则：D、E、F三点共线。1、在三次作图和测量的基础上，引导学生分析哪些是变化的、哪些是不变的，得到“变化中的不变”性：当A，B，C，P四点在圆上变动时，点D、E、F一直保持三点共线。2、提出：请同学们准确、完整地归纳表述出这个“变化中的不变”性。对于前面三次作图和测量所得到的结果，经思考讨论，用严谨的语言完整地进行归纳表述，形成猜测。6、证一证3.4已知：点P是△ABC外接圆上异于其顶点的任意一点，过点P作直线BC、AC、AB的垂线，垂足分别为点D、E、F。求证：D、E、F三点共线。1、提问并引导学生分组讨论：要证D、E、F三点共线，只需证明什么？2、点评学生的讨论结果。3、提炼出其中一个思路来进行分析：要证D、E、F三点共线，只需证明∠PEF＋∠PED＝180°4、提问：此证明的推理过程是否可逆？1、就老师的提问进行分组讨论并将讨论结果进行整理、表述。2、在老师的引导下完成证明：证明：易证，P、E、A、F和P、E、D、C分别四点共圆。得：∠PEF=∠PAF，∠PCD+∠PED=180o因此：A、B、C、P四点共圆∠PAF=∠PCB∠PEF=∠PCD∠PEF+∠PED=180oD、E、F三点共线3、思考并得出结论：此证明的推理过程可逆。7、记一记0.51、西姆森定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边所在直线的垂线，则三垂足共线，此线称为西姆森线。西姆森定理的逆定理：过三角形外任意一点作三边所在直线的垂线，若三垂足共线，则该点在三角形的外接圆上。在前面分析和证明的基础上表述出西姆森定理及其逆定理。区分并理解西姆森定理及其逆定理的条件和结论。8、捋一捋1.21、西姆森定理及其逆定理的证明方法不唯一。2、西姆森定理及其逆定理的重要性：建立了四点共圆和三点共线之间的联系。3、西姆森定理的另一个表述形式：三角形外接圆上异于其顶点的任意一点P在三角形两边上的射影所确定的直线是西姆森线，它与三角形第三边所在直线的交点是点P在三角形第三边上的射影。1、举例另一个思路也能证明西姆森定理及其逆定理：要证D、E、F三点共线，只需证明∠AEF＝∠CED。2、引导学生总结出：西姆森定理及其逆定理建立了四点共圆和三点共线之间的联系。3、阐明“点在直线上的射影”的概念。4、引导学生理解并证明：西姆森定理的另一个表述形式。1、了解西姆森定理及其逆定理的其他证明思路，并在课后至少给出另一个证明。2、从西姆森定理及其逆定理的条件部分和结论部分分析出四点共圆和三点共线之间的联系。3、证明西姆森定理另一个表述形式的正确性。9、想一想2如图，H为△ABC的垂心，三条高AD、BE、CF交对边分别为点D、E、F，过点D作AB、BE、CF、AC的垂线，垂足分别为点P、Q、R、S。求证：P、Q、R、S四点共线引导学生分析：为了使复杂问题简单化、未知问题已知化，我们先考虑三点共线，怎样从西姆森线的三个垂足点出发进行逆向推理？∵P、Q、R分别是点D在直线AB、BE、CF的射影∴考虑P、Q、R是否共线构成西姆森线∴考虑直线AB、BE、CF所构成的△HFB与点D之间的关系，即：考虑H、F、B、D是否四点共圆。完成题目的分析和证明：∵∠HDB=∠HFB=90°∴H、F、B、D四点共圆又∵点D在直线FB、BH、HF上的射影分别为点P、Q、R∴P、Q、R三点共线（此线为点D关于△HFB的西姆森线）同理：Q、R、S三点共线∴P、Q、R、S四点共线（都在直线QR上）10、练一练22014·广东中考·第24题·第（3）问：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于点F，连接PF。求证：PF是⊙O的切线。通过连续提问（追问）引导学生运用西姆森定理的另一个表述形式对题目进行分析。完成题目的分析和证明：∵A、B、C、P四点共圆（都在⊙O上），PD⊥AB于点D，PE垂直AC于点E∴直线DE是点P关于△ABC的西姆森线又∵直线DE、BC相交于点F∴PF⊥BC又∵AC是⊙O的直径∴∠PDB=∠DBC=∠BFP=90°∴四边形DBFP是矩形∴∠OPF＝90°∴PF是⊙O的切线11、认一认0.5西姆森（R.Simson），英国数学家，1687年生于苏格兰埃尔郡西基布里德（Westkilbri-de），1768年卒于格拉斯哥（Glas-gow）。1701年就学于格拉斯哥大学，1711年任该校数学教授，主要研究古希腊数学，曾于1756年校订了欧几里得（Euclid）的《几何原本》。他所注释的古希腊数学著作长期被英国学者所引用，他还撰写过有关牛顿流数术、几何的代数分析、对数理论及力学、几何光学等方面的论著。1、介绍英国数学家西姆森的生平及贡献。2、说明：牛顿流数术就是微积分，是大学里要学习的数学课程。牛顿是独立发明微积分的人之一，他将该发明命名为流数术。阅读英国数学家西姆森的生平及主要成就。12、说一说0.7吴文俊，我国数学家，中科院院士，2001年获国家最高科技奖，1919年生于上海，2017年卒于北京。1976年在计算机技术大发展的背景下，我国数学家吴文俊继承和发展了中国古代数学的算法化思想，开始研究几何定理的机器证明，提出了一套完整的算法。1977年春实现了西姆森