离散数学 代数构造

代数结构代数结构部分2第5章代数系统的一般性质第6章几个典型的代数系统第5章代数系统的一般性质35.1二元运算及其性质5.2代数系统及其子代数及积代数5.3代数系统的同态与同构5.1

二元运算及其性质4二元运算定义及其实例一元运算定义及其实例运算的表示二元运算的性质交换律、结合律、幂等律、消去律分配律、吸收律二元运算的特异元素单位元零元可逆元素及其逆元二元运算的定义及其实例定义设S

为集合,函数f：S×S→S

称为S

上的二元运算,简称为二元运算.也称S

对f

封闭.(1)保证参加运算的可以是S

中任意两个元素；(2)运算的结果也是S中的一个元素例1N

上的二元运算：加法、乘法.f：N×N→N,

f(<x,y>)=x+yZ

上的二元运算：加法、减法、乘法.非零实数集

R*上的二元运算:乘法、除法.设S={a1,a2,…,an},ai

∘aj

=ai，∘为S上二元运算.5二元运算的实例（续）(5)设Mn(R)表示所有n

阶(n≥2)实矩阵的集合，即矩阵加法及乘法都是Mn(R)上的二元运算.幂集

P(S)

上的二元运算：∪,∩,－,

.SS

为S

上的所有函数的集合：合成运算∘.6一元运算的定义与实例7定义设S

为集合，函数f：S→S

称为S

上的一元运算，简称为一元运算.例2(1)Z,Q

及R

上的一元运算:求相反数非零有理数集Q*，非零实数集R*上的一元运算:求倒数复数集合C

上的一元运算:求共轭复数幂集P(S)上,全集为S:求绝对补运算~SS:求反A

为S

上所有双射函数的集合，A函数在Mn(R)(n≥2)上，求转置矩阵二元与一元运算的表示8算符：∘,∗,·,,

等符号表示二元或一元运算对二元运算∘，如果x

与y

运算得到z，记做x∘y

=

z；对一元运算∘,x

的运算结果记作∘x表示二元或一元运算的方法：公式、运算表注意：在同一问题中不同的运算使用不同的算符公式表示例3设R

为实数集合，如下定义R

上的二元运算∗：x,

y∈R,

x

∗

y

=

x.那么

3

∗

4

=

30.5

∗

(-3)

=

0.5运算表（表示有穷集上的一元及二元运算）9二元与一元运算的表示（续）运算表的形式∘a1

a2

…

ana1a2...ana1∘a1

a1∘a2

…

a1∘ana2∘a1

a2∘a2

…

a2∘an.

.

..

.

..

.

.10∘aia1∘a1a2∘a2......an∘an运算表的实例11例4

A

=P({a,b}),（{a,b}为全集）的运算表,∼分别为对称差及绝对补运算~

的运算表{a}

{b}

{a,b}{a}

{b}

{a,b}{a}{a}

{a,b}

{b}{b}{b}

{a,b}

{a}{a,b}{a,b}

{b}

{a}X∼X{a}{b}{a,b}{a,b}{a}{b}运算表的实例（续）12例5

Z5={0,1,2,3,4},,分别为模5加法与乘法的运算表的运算表0123400123411234022340133401244012301234000000101234202413303142404321二元运算的性质定义设∘为S

上的二元运算,如果对于任意的

x,

y

S

有 x

∘

y

=

y

∘

x,则称运算在S

上满足交换律.如果对于任意的x,y,z

∈S

有 (x

∘y)∘z

=x

∘(y

∘z),则称运算在S

上满足结合律.如果对于任意的x

∈S

有 x

∘x

=x,则称运算在S

上满足幂等律.S

中的全体元素都是幂等元13实例分析Z,

Q,

R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为

n

阶实矩阵集合,

n

2；P(B)为幂集；AA

为

A上A，|A|

2.集合运算交换律结合律幂等律Z,

Q,

R普通加法+有有无普通乘法有有无Mn(R)矩阵加法+有有无矩阵乘法无有无P(B)并有有有交有有有相对补无无无对称差有有无函数复合无有无14二元运算的性质（续）定义设∘及∗为S

上两个不同的二元运算,(1)如果x,y,z∈S

有(x

∗

y)

∘

z

=

(x

∘

z)

∗

(y

∘

z)z

∘(x

∗y)=(z

∘x)∗(z

∘y)

则称∘运算对∗运算满足分配律.x,y∈S

有(2)如果∘和∗都可交换,并且x

∘

(x

∗

y)

=

xx

∗

(x

∘

y)

=

x则称∘和∗运算满足吸收律.15二元运算的特异元素单位元定义

设∘为S上的二元运算,

如果存在el（或er）

S，使得对任意

x∈S

都有el

∘x

=x

(或x

∘er

=x

)，则称

el

(或er

)是S

中关于∘运算的左(或右)幺元元.若

e∈S

关于∘运算既是左单位元又是右单位元，则称

e为S

上关于

∘运算的幺元.例：N上加法的幺元是0，乘法的幺元是1Mn(R)上加法的么元是0矩阵，乘法的幺元是单位阵P(S)上 的么元是

， 的幺元是S17例：R*是非零实数集，∘是R*上的二元运算R*任意a,b,有a

∘b＝a则∘运算不存在左幺元，存在无数个右幺元，因此不存在幺元定理设∘为S上的二元运算，el

及er

分别为S中关于运算的左和右幺元，则el

=er

=e

为S

上关于∘运算的惟一的幺元.证el

=

el

∘

er

=

el

∘

er

=

er所以el

=er

,将这个幺元记作e.假设e’也是S中的幺元，则有e’=e

∘e’=e.惟一性得证.18二元运算的特异元素（续）零元设∘为S

上的二元运算,如果存在θl（或θr）∈S，使得对任意

x∈S

都有θl

∘x

=θl

(或x

∘θr

=θr

)，则称θl

(或θr

)是S

中关于∘运算的左(或右)零元.若θ∈S关于∘运算既是左零元又是右零元，则称θ为S上关于运算∘的零元.类似地可以证明关于零元的惟一性定理.例：N上乘法的零元是0，加法没有零元Mn(R)上乘法的零元是0矩阵，加法没有零元P(S)上 的零元是S

， 的零元是19二元运算的特异元素（续）可逆元素及其逆元令e

为S

中关于运算∘的幺元.对于

x∈S，如果存在yl（或

yr）∈S

使得yl

∘x

=e（或

x

∘yr

=e），则称

yl

(或yr

)是x

的左逆元(或右逆元).关于∘运算，若

y∈S

既是

x

的左逆元又是

x

的右逆元，则称

y

为x

的逆元.如果

x

的逆元存在，就称

x

是可逆的.例：N上加法运算，只有0有逆元，为0Z上加法运算，任何整数都存在逆元，为其相反数Mn(R)上乘法，只有可逆矩阵存在逆元，为其逆矩阵P(S)上 运算，只有 存在逆元，为20实例分析21集合运算幺元零元逆元Z,Q,R普通加法+0无X

的逆元

x普通乘法10X

的逆元

x

1(x-1属于给定集合)Mn(R)矩阵加法+n阶全0矩阵无X逆元

X矩阵乘法n阶单位矩阵n阶全0矩阵X的逆元

X

1（X是可逆矩阵）P(B)并B的逆元为交BB

的逆元为

B对称差无X

的逆元为

X小结：对于给定的集合及二元运算，幺元、零元、逆元不同。如果幺元和零元存在，一定是唯一的。逆元是与集合中的某个元素相关的，有的元素有逆元，有的元素没有逆元，不同的元素对应不同的逆元。注意：当|S|=1时，这个元素既是单位元也是零元.22惟一性定理（续）定理

设

∘为

S

上可结合的二元运算,

e

为该运算的幺元,对于x∈S

如果存在左逆元yl

及右逆元yr

,则有yl

=yr=y,且y

是x

的惟一的逆元.证

由

yl

∘

x

=

e

和

x

∘

yr

=

e

得yl

=

yl

∘

e

=

yl

∘(x

∘

yr)

=

(yl

∘

x)

∘

yr

=

e

∘

yr=

yr令yl

=yr

=y,则y

是x

的逆元.假若y’∈S

也是x

的逆元,则y"=

y’

∘

e

=

y’

∘(x

∘

y)

=

(y’

∘

x)

∘

y

=

e

∘

y

=y所以y

是x

惟一的逆元.说明：对于可结合的二元运算，可逆元素x

只有23消去律定义

设∘为V上二元运算，如果

x,

y,

z

V，若

x

∘

y

=

x

∘

z，且

x不是零元，则

y

=

z若y∘x

=z

∘x,且x

不是零元，则y

=z那么称∘运算满足消去律.实例:Z,Q,R

关于普通加法及乘法满足消去律.Mn(R)

关于矩阵加法满足消去律幂集P(S)上 满足消去律Zn关于模n

加法满足消去律，当n

为素数时关于模n乘法满足消去律.当n

为合数时关于模n

乘法不满足消去律.24例题分析=

x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz例6 设

∘

运算为

Q

上的二元运算，x,

y

Q,

x∘y

=

x+y+2xy,∘运算是否满足交换及结合律?说明理由.求∘运算的幺元、零元和所有可逆元.解

(1)

∘

运算可交换，可结合.

任取x,

y

Q,x

∘

y

=

x+y+2xy

=

y+x+2yx

=

y

∘

x,任取x,

y,

z

Q,(x

∘

y)

∘

z=

(x+y+2xy)

+

z

+

2(x+y+2xy)

z=

x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyzx

∘

(y

∘

z)

=

x

+

(y+z+2yz)

+

2x(y+z+2yz25给定x，设x

的逆元为y,则有x

∘y

=0成立，即x+y+2xy

=

0

(x=

1/2)1/2时，因此当

x

是

x

的逆元.例题分析（续）(2)设∘运算的幺元及零元分别为e

和意x

有x∘e

=x

成立，即x+e+2xe

=x由于∘运算可交换，所以0是幺元.，则对于任e

=

0对于任意x

有x

∘=成立，即x+

+2

x=x

+

2

x=

0=1/226例题分析（续）例7(1)说明那些运算是交换的、可结合的、幂等的.(2)求出运算的幺元、零元、所有可逆元素的逆元.a

b

cabcc

a

ba

b

cb

c

a∘a

b

caa

a

abb

b

bcc

c

ca

b

cabca

b

cb

c

cc

c

c解(1) 满足交换、结合律；∘

满足结合、幂等律；满足交换、结合律.(2) 的幺元为

b,