河北省2023届新高考数学二轮复习专题1解三角形解答题30题专项提分计划含解析

Page322023届河北省新高考数学复习专题1解三角形解答题30题专项提分计划1．（2022·河北石家庄·统考一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求角A的大小；(2)若，求边上的中线长度的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）边化角即可；（2）利用余弦定理和基本不等式解决.【详解】（1）由得,,即.（2）,即，当且仅当取等号．2．（2022·河北沧州·统考二模）在中；内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，点为的中点，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理可知，由此可知，进而求出.（2）由（1）结合余弦定理可知，对其使用基本不等式可知，根据三角形中线的向量表示可知，对其两边平方，根据平面向量数量积公式以及基本不等式可知，由此即可求出结果.(1)解：在中，由正弦定理得.因为，所以.又，所以，所以.因为中，，所以.(2)解：在中，由及余弦定理，得，所以，所以，当且仅当时等号成立.又点为的中点，所以，所以，即的最大值为.3．（2022·河北邯郸·统考模拟预测）已知的内角、、所对的边分别为、、，且.(1)若，，求；(2)若点在线段上，且，，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理结合整理得，再借助诱导公式和倍角公式化简整理；（2）本题可以设，利用正弦定理边化角整理可得；也可以利用余弦定理得到边的关系，令整理得，结合二次函数零点分布处理．(1)由正弦定理可知：，又，故，则，又，得，由于，所以，即由余弦定理可知，，即，解得或（舍去）(2)解法一：设，由正弦定理可得：，即，故，，从而，其中，当时，有的最大值为.解法二：在中，由余弦定理得，，即，即令，从而，整理得依题意，上述关于的方程有正实数解；因为函数的对称轴所以，解得.所以的最大值为，此时，.4．（2022·河北衡水·统考二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分到为a，b，c，已知，.(1)证明：△ABC为等腰三角形；(2)设△ABC的面积为S，若，S的值.在①；②；③三个选项中，选择一个填入上面空白处，并求解.【答案】(1)证明见解析(2)选①：；选②：；选③：【分析】（1）由三角形的余弦定理，结合三角形的形状即可得证.（2）分别选①②③，运用余弦定理、同角的基本关系和向量数量的定义、面积公式，可得所求值.(1)证明：因为所以由余弦定理可知，，即，即为等腰三角形.(2)解：由题意得：选①：由（1）可知，，所以所以，整理得：，解得，所以，所以又由，可得，所以；选②：因为所以，解得，所以，得，；选③：因为，且，所以故，因此于是5．（2022·河北保定·校联考一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.(1)若，求b；(2)若D为的中点，且，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，然后按照正弦定理计算即可；（2）利用，以及AD是中线的特点列方程即可.(1)因为，所以在中，由正弦定理得，即.(2)在中，由余弦定理得……①因为D为的中点，所以.在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得.由得……②联立①②可得，即，故答案为：，.6．（2022·河北邯郸·统考二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在边BC上，且．(1)若，，且∠CAD为锐角，求CD的长；(2)若，求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题设可得，进而求得，应用余弦定理求CD的长；（2）由正弦定理可得、，结合即可求目标式的值.（1）由，，则，所以，又∠CAD为锐角，则，又，在△中，可得.（2）由，在△中，则，在△中，则，又，故，又，所以.7．（2022·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A；(2)若，求的周长的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题知，进而解方程并结合题意得，故；（2）根据题意，结合余弦定理与基本不等式得，进而得答案.(1)解：由，得，即．因为是锐角三角形，所以，则，（舍去），所以，所以．(2)解：由余弦定理得，又，所以，，当且仅当时取等号，此时，所以，即．所以（时取等号），周长的最大值为．8．（2022·河北·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，满足，且．(1)求角；(2)若，求周长的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦展开式化简可得答案；（2）由正弦定理得，再利用两角和的正弦展开式和的范围计算可得答案.【详解】（1）由、正弦定理可得，，因为，所以，而，所以，即，；（2）由正弦定理得，即，，，.9．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）在中，所对的边分别为，且，其中是三角形外接圆半径，且不为直角.(1)若，求的大小；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据余弦定理和正弦定理即可求出的大小.(2)运用正弦定理和二倍角的余弦公式，化简，再利用基本不等式求解的最小值.【详解】（1）在中，，进而，，，又不为直角，则，，，.（2）由(1)知，转化为，又，，.，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为.10．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）如图，D为内部一点，于E，.请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立.①；②；③.【答案】答案见解析.【分析】以①③为条件，②为结论：由已知可得，，.设，则，表示出各边长，由勾股定理，可推出.代入，整理可得关于的方程，得，由正弦定理可推得②成立；以①②为条件，③为结论：由已知可得的长，.由勾股定理，可推出.根据三角形相似，求出，，代入可得，，进而得到，由余弦定理即可推得③成立；以②③为条件，①为结论：由已知可推出，.设，，则，得到.由勾股定理得.然后得到.由，可得，即，结合图象得到，所以有，即①成立.【详解】以①③为条件，②为结论：证明：如图，过点作垂直于的延长线于点，延长交于点.由可得，，.由可得，，在中，由余弦定理可得，所以，，则，则.设，则，又，所以，则，，.在中，有.在中，有.所以有，即，整理可得，.代入整理可得，，即.解关于的方程可得，，因为，所以不成立，舍去.所以，.由正弦定理可得，，又，所以，所以，即②成立.以①②为条件，③为结论：证明：如图，过点作垂直于的延长线于点，延长交于点.设，，则，由可得，，.由可得，，由正弦定理可得.在中，有.在中，有.所以有，即，整理可得，.因为，所以.由已知可得，，所以∽，所以有，即，所以，所以，，所以，即，整理可得.在中，，则，所以.则在中，由余弦定理可得，所以有，即③成立；以②③为条件，①为结论：证明：如图，过点作垂直于的延长线于点，延长交于点.由可得，，由正弦定理可得.由可得，，在中，由余弦定理可得，所以，，则，则.设，，则，又，所以，则，，.由可得，，在中，由余弦定理可得，所以，，则，则.由可得，，由正弦定理可得.在中，有.在中，有.所以有，即，整理可得，.因为，所以.，所以有，整理可得.因为，所以，所以，所以.即，由图知，所以有，即①成立.11．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知函数，，与均在区间上单调递增，若的最大值为(1)求的值(2)在不等腰中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，证明：【答案】(1)；(2)证明见解析；【分析】（1）把降幂后，分别求出的增区间，再求出得公共增区间，然后由题意可得；（2）由（1）代入后化简，并由正弦定理、余弦定理化角为边，整理可证．【详解】（1），，，，，的增区间是，，，，则，因此的增区间是，，所以它们公共增区间是，每个区间的长度为，由题意，∴；（2）由（1），，已知式为，，由正弦定理、余弦定理得，整理得，三角形是不等腰的三角形，即，∴，即．12．（2022·河北秦皇岛·统考三模）从①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：如图，在平面四边形中，已知，且__________．(1)求；(2)若，且，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）若选①，先用正弦定理算出，然后用余弦定理算出，再用正弦定理计算；若选②，先用面积公式算出，然后用余弦定理算出，再用正弦定理计算.（2）先用两角和的正弦公式算出，然后利用正弦定理计算的长.（1）选①因为，所以，解得，所以，解得．由，得．选②由，得，所以，解得．由，得．（2）由（1）知，又，所以，从而，所以，由，得．13．（2022·河北唐山·统考三模）如图，在四边形中，．(1)证明：为直角三角形；(2)若，求四边形面积S的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)12【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简即可；（2）由与，结合与基本不等式求解即可【详解】（1）∵，由与余弦定理∴，整理得，，∴．∴为直角三角形．（2）∵，∴．由，得．．（当且仅当时取等号）所以四边形面积S的最大值为12．14．（2022·河北唐山·统考二模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．(1)求A；(2)若点D在BC边上，AD平分BAC，且，求的周长．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求出角即可；（2）利用角平分线分三角形面积等于两个小三角形面积之和得出等式，再用余弦定理联立求解周长即可.（1）由正弦定理得，在中，，化简为，又，，又；（2）依题意得，即，由余弦定理得，，解得的周长为.15．（2022·河北·校联考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.(1)求C；(2)若的平分线交于点D，且，求b.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，然后利用余弦定理进行求解.（2）依据题意作出简图，在中，利用正弦定理及余弦定理求出角得值，然后在中，求解出角的值，利用正弦定理，即可求解边.(1)解：∵，由正弦定理得：，整理得：，又由余弦定理得：，又，故.(2)根据题意作出简图，如下：在中，，，，由余弦定理得：，解得，由正弦定理得：，则，解得，又由（1）知，故，在中，，由正弦定理得：，则，解得.故.16．（2022·河北·统考模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求C；(2)若边上的中线长为4，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理将已知的式子统一成边的形式，化简后，再利用余弦定理可求出角C；（2）在和中分别利用余弦定理可得，再结合（1）中的，可得，然后利用基本不等可得，再由三角形的面积公式可求出其最大值(1)因为，所以由余弦定理得，，，，整理得，，因为，所以，所以由余弦定理得，因为，所以，(2)因为边上的中线长为4，所以，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，，因为，所以，所以，即，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为，17．（2022·河北·统考模拟预测）如图，在平面四边形中，，对角线交于点P.(1)求的余弦值；(2)求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出，再用余弦定理即可得解；（2）在中，通过正弦定理可得，再通过余弦定理可得，进而得周长.（1）因为，所以，，，所以，所以在中，.（2）因为，在中，由正弦定理可得，即，由余弦定理得：，即，解得或（大边对大角，舍去）故的周长为.18．（2022·河北秦皇岛·统考二模）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理角化边，再根据余弦定理可求出，进而求出的大小；（2）依题意可化简，根据的范围求出的取值范围即可.（1）因为，所以，即.因为，所以.因为，所以.（2）由（1）知.因为，所以，因为，所以，所以，即的取值范围是.19．（2022·河北·河北容城中学校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，(1)求角A的大小；(2)请在①②两个条件任选一个，求的面积.（如果分别选择多个条件进行解答.按第一个解答过程计分）【答案】(1);(2)选①，选②.【分析】（1）根据正弦定理转化为角的三角函数，利用二倍角公式、诱导公式化简即可得解；（2）选①由正弦定理求出a,再由余弦定理求出c,利用三角形面积公式求解；选②直接由余弦定理求出c，再由三角形面积公式求解.【详解】（1）由可得：，即，即，因为，所以，所以，即,.（2）选①：，由正弦定理可得，即，解得，由余弦定理可得，即，解得(负值舍)，所以.选②：，由余弦定理可得，即，解得，所以.20．（2022·河北保定·统考一模）已知在△中，，的角平分线与相交于点．(1)若，求的长；(2)若，求△面积的最小值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）在△中由余弦定理求得，再在△△中由正弦定理结合即可求得结果；（2）根据△的面积为△△的面积之和，求得，再结合三角形面积公式和基本不等式即可求得三角形面积的最小值.(1)因为，，利用余弦定理可得：，故，在中，，在中，，两式相除可得，又，所以.(2)根据题意得△的面积等于△的面积与的面积之和，又，，所以，整理得：又，当且仅当时取等号，故，则，所以，故△面积的最小值为．21．（2022·河北·模拟预测）如图，中，角，，的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)已知，若为外接圆劣弧上一点，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）法一：先用正弦定理化边为角，再用正弦公式化简，即可求得的值，最后结合三角形角的范围即可求得结果；法二：先用余弦定理对化角为边，化简后再用余弦定理化边为角，即可求得的值，再结合三角形角的范围即可求得结果；（2）法一：设，先用正弦定理化角为边，结合辅助角公式，即可得到关于的函数，讨论最大值即可；法二：用余弦定理化角为边，结合基本不等式得到关于的不等式，最后讨论最大值及其成立的条件.【详解】（1）法一：∵，由正弦定理得：，∴，∴，∵，∴，又∵，∴.法二：∵，由余弦定理得：，∴，∴，∵，∴.（2）由（1）知，，而四边形内角互补，则，法一：设，则，由正弦定理得：，∴，，∴，当且仅当时，的最大值为.法二：在中，，，由余弦定理得：，∴，∴，当且仅当时，的最大值为.22．（2022·河北·石家庄二中校联考模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积.(1)求角A的值；(2)延长AC至点D，使得CD＝AC，且BD＝2BC，若c＝6，求△ABC的周长.【答案】(1)；(2)【分析】（1）化简即得解；（2）设，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，解方程即得解.(1)解：由题得.因为.(2)解：如图，设，在中，由余弦定理得，（1）在中，由余弦定理得，即，（2），（1）（2）得.所以△ABC的周长为.所以△ABC的周长为.23．（2022·河北衡水·河北衡水中学校考一模）锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角C的值；(2)若，D为AB的中点，求中线CD的范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化简可得出，结合角为锐角可求得结果；（2）由余弦定理可得出，利用平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算可得出，利用正弦定理结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围，可得出的取值范围，即可得解【详解】（1）由，，，，，．（2），，，由余弦定理有：，，所以，，由正弦定理，，，，，，因为为锐角三角形，所以且，则，,则，．24．（2022·河北邯郸·统考一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求B.(2)若，，___________，求.在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）利用正弦定理化简条件可得，从而求出；（2）选择条件①：利用向量的加法和数量积运算；选择条件②：利用面积关系进行计算；(1)（1）由正弦定理得，.因为，所以，所以，即.又，则，所以.(2)（2）选择条件①：因为，所以，，.选择条件②：因为BD为∠ABC的角平分线，所以，则，解得.25．（2022·河北张家口·统考一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求角A的大小；(2)若，求周长的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理，角化边，结合余弦定理求得，即可得答案;（2）由余弦定理可得，配方后利用基本不等式可求得,从而求得三角形周长的最大值.【详解】（1）由正弦定理，得,即，由余弦定理得，，又，所以.（2）由和（1）可知，则，得，即，所以（当且仅当时，取得等号），所以周长的最大值为.26．（2022·河北石家庄·统考模拟预测）在△中，已知D是边上一点，且，，，．(1)求的值；(2)求的长．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由已知及正弦定理可得，再结合二倍角正弦公式、平方关系求值即可.（2）首先求的值，再在△中应用余弦定理求的长.(1)在△中，由正弦定理得，①在△中，由正弦定理得，②又，，则，，①②得．(2)由（1），设，，．在△中，由余弦定理得，即，解得．所以．27．（2022·河北·校联考模拟预测）在中，，，点在上，.(1)若为中线，求的面积；(2)若平分，求的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理可求得，进而可得出，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）利用正弦定理可求得，进而可求出，可知为等腰三角形，再利用余弦定理可求得.(1)解：由余弦定理得，，解得（负值舍）.所以，，故.(2)解：由正弦定理得，即，解得.又，则，，.又平分，则.所以，，则，故.由余弦定理得.因此，.28．（2022·河北·校联考模拟预测）如图，在锐角中，内角A，B，C