中考专题之动图中的计算与证明

中考专题之动图中的计算与证明（学案）图形（或部分图形）经“平移”、“轴对称”或“旋转”（包括中心对称）之后，就会引起图形形状，位置关系的变化，就会出现新的图形和新的关系。因此，图形变换引出的问题主要有两类：一类是变换引出的新的性质和位置关系问题；另一类是变换引出的几何量的计算问题。一、平移中的计算与证明解法：（1）把背景图形研究清楚；（2）充分运用平移的性质（特别是“平移不改变角度”）ABCP例1如图，若将边长为的两个互相重合的正方形纸片沿对角线翻折成等腰直角三角形后，再抽出一个等腰直角三角形沿移动，若重叠部分的面积是，则移动的距离等于。ABCPBCA（）BCA（）FE例2如图（1），已知的面积为3，且现将沿CA方向平移CA长度得到。（1）求所扫过的图形面积；（2）试判断，AF与BE的位置关系，并说明理由；（3）若求AC的长。 【说明】由本题可以看出，原图形背景和平移性质的结合是解法获得的基础。【练习】1、将图（1）中的平行四边形沿对角线剪开，再将沿着方向平移，得到图（2）中的，连结，除与外，你还可以在图中找出哪几对全等三角形（不能另外添加辅助线和字母）？请选择其中的一对加以证明。ABABCABCD （1）（2）ABEFPABCD例3如图（1）所示，一张三角形纸片，。沿斜边AB的中线CD把这线纸片剪成和两个三角形如图（2）所示。将纸片沿直线（AB）方向平移（点始终在同一条直线上），当点与点B重合时，停止平移，在平移的过程中，与交于点E，与分别交于点F，P。ABEFPABCDAAB （1） （2）（3）（1）当平移到如图（3）所示的位置时，猜想图中与的数量关系，并证明你的猜想。（2）设平移距离为，与重叠部分的面积为，请写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围；（3）对于（2）中的结论是否存在这样的，使得重叠部分面积等于原纸片面积的？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。【练习】2、如图，矩形中，，将矩形沿对角线平移，平移后的矩形为始终在同一条直线上），当点与重合时停止移动，平移中与交于点与的延长线交于点与交于点与的延长线交于点设表示的面积。表示矩形的面积。（1）与相等吗？请说明理由。（2）设写出和之间的函数关系式，并求出取任何值时有最大值，最大值是多少？（3）连结，当为何值时，是等腰三角形。AABDCPEFGHNMQ二、轴对称中的计算与证明解法：（1）（1）把背景图形研究清楚；（2）轴对称的两部分全等，对称轴是两点连线的中垂线。ABCDNMQP例1如图（1），边长为1的正方形中，分别为的中点，将点C折至MN上落在点P的位置，折痕为ABCDNMQP（1）求的长；（2）求的长。 （1）【练习】3、如图，已知边长为5的等边三角形纸片，点E在边上，点F在边上，沿着折痕，使点A落在边上的点的位置，且则的长是（）ABCDEFA、B、C、ABCDEFABCDEF例2如图，在中，，点E，F分别在AB，AC上，把沿着EF对折，恰使点A落在BC上点D处，且使ABCDEF（1）猜测AE与BE的数量关系，并说明理由。（2）求证：四边形AEDF是菱形。【说明】在本题，从背景图形和特殊折叠结合而得出的新图形的性质，成为解法形成的根据。例3已知矩形纸片，。将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合。（1）如果折痕FG分别与AD，AB交于点F，G（如图（1），）求DE的长。（2）如果折痕FG分别与CD，AB交于点F，G（如图（2），），的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长。ABABCDEFGABCDEFG （1）（2）【例4】已知：矩形纸片中，AB=26厘米，厘米，点E在AD上，且厘米，点P是AB边上一动点，按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕（如图（1）所示）；步骤二，过点P作交所在的直线于点Q，连结QE（如图（2）所示）；（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQQE（填“＞”、“=”、“＜”号）（2）如图（3）所示，将矩形纸片放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：①当点P在A点时，与交于点点的坐标是（，）；②当厘米时，与交于点，点的坐标是（，）；③当厘米时，在图（3）中画出，（不要求写画法）并求出与的交点的坐标；（3）点P在在运动过程中，与形成一系列的交点，…观察，猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式。AABCDPEMNBC（P）（A）（A）BCDENO612182461218AABCDPEMNTQ （1） （2） （3）三、旋转中的计算与证明解法：（1）把背景图形研究清楚；（2）“对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角”和“旋转前后支应的两部分全等”ACBD例1如图，将绕点A顺时针旋转60°后，得到，且为BC的中点，则等于（）ACBDA、1：2B、C、D、1：3【说明】可以看出，从背景，旋转两者结合的角度深入研究新构成的图形，把握其各种隐性的特征，是迅速，正确地获得解的关键。【练习】4、如图，在中，。将绕点C逆时针旋转30°得到，与AB相交于点D。求BD的长。AACBD例2将两个含有锐角的全等直角三角板ABC和如图摆放，两个直角顶点C重合，AC和在同一条直线上，将三角板ABC以点C为旋转中心，沿顺时针方向分别旋转到达，的位置。分别和相交于点。ACB求，，的值。ACB【说明】旋转后的几何计算问题，多数情况下要借助旋转后形成的“新图形”，如本题的，而“新图形”的特征正好集中着原背景图形和所作旋转的特性。掌握与恰当运用这一规律，就能又好又快地获得问题的解法。例3如图，桌面内，直线上摆放着两个大小相同的直角三角板，它们中较小的直角边的长为6，较小锐角的度数为30°。将关于直线对称图形①的位置，与相交于点，ABDCABDCE（2）将沿直线向左平移到图②的位置，使点落在上的点处，你可以求出平移的距离，试试看：（3）将绕点逆时针旋转到图③的位置，使点落在上的点处，请求出旋转角的度数。【说明】从本题进一步看出：图形作轴对称变换时，多是研究“全等”（相等）关系；图形作平移变换时，多会出现“相似”关系；图形作旋转变换时，更多的是着眼于“角度”。这既是问题构成的特征，当然也是寻找解决时的思考应遵循的规律。例4如图，已知正方形与正方形的边长分别是和，它们的中心都在直线上，，在直线上，与相交于点，当正方形沿直线以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形也绕以每秒45°顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变。AABCDMEGHF（1）在开始运动前，；（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时，正方形停止旋转，这时；；（3）当正方形停止旋转后，正方形继续向左平移的时间为秒，两正方形重叠部分的面积为，求与之间的函数表达式。【说明】本题突出了按变换分析图形及研究位置关系，只有把这两个方面研究清楚了，才可能有正确的解决方法。四、课堂小结解答关于图形变换的问题，应注意两个角度的“结合”：（1）将背景图形的性质和变换本身的性质相结合，看清新图形的性质；（2）将图形的操作与关系的推演相结合，正是图上的操作才更容易展示变换的全貌和分类、分段情况。五、作业训练1、如图（1）中，，矩形的长和宽分别为和，点和点重合，和在一条直线上，令不动，矩形沿所在的直线向右以每秒1的速度移动（如图（2），直到点与点重叠为止，设移动秒后，矩形与重叠部分的面积为。求之间的函数关系式。ABABCDMNP2ABCD（M）NP2（1）（2）ABCDEF2、如图，在矩形中，，若将矩形折叠，使点与点重合，则折痕的长为（）ABCDEFA、B、C、5D、6ABCDONM3、如图，为矩形ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与点重合，转动三角板使两直角边始终与相交，交点分别为。如果，则与的关系式为（）ABCDONMA、B、C、D、4、在矩形纸片中，。沿折痕后，点C落在边上的点处，点落在点处，与相交于点，。ABCDABCDFPQHE（2）求四边形的面积。把两块全等的直角三角板