新教材2023-2024学年高中数学第6章计数原理6.3二项式定理6.3.1二项式定理分层作业新人教A版选择性必修第三册

第六章6.3二项式定理6.3.1二项式定理A级必备知识基础练1.[探究点一](x+2)n的展开式共有12项,则n=()A.9 B.10 C.11 D.82.[探究点二]在(1-x)5-(1-x)6的展开式中,含x3的项的系数是()A.-5 B.5 C.-10 D.103.[探究点二]使得3x+1xxn(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4 B.5 C.6 D.74.[探究点一](多选题)对于1x+x3n(n∈N*),下列判断正确的有()A.存在n∈N*,展开式中有常数项B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项5.[探究点二]若(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=.(用数字填写答案)

6.[探究点一]若(1+3)4=a+b3(a,b为有理数),则a+b=.

7.[探究点二]已知x+23xn的展开式中的第9项与第10项二项式系数相等,求x的系数(用组合数表示8.[探究点三]求证:1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除.B级关键能力提升练9.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是()A.-297 B.-252 C.297 D.20710.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为()A.3 B.6 C.9 D.2111.(x2+2)1x2-15的展开式中的常数项是()A.-3 B.-2 C.2 D.312.-2Cn1+4Cn2-8Cn3+…+(-2)A.(-1)n-1 B.(-1)nC.3n D.3n-113.在3x2-12x3n的展开式中含有常数项,则正整数n的最小值为(A.4 B.5 C.6 D.714.已知在12x2-1xn的展开式中,第9项为常数项,则:(1)n的值为;

(2)含x的整数次幂的项有个.

15.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是.

16.已知(xcosθ+1)5的展开式中x2的系数与x+544的展开式中x3的系数相等,则cosθ=.

17.已知x-124xn的展开式中(1)证明:展开式中没有常数项;(2)求展开式中所有的有理项.C级学科素养创新练18.已知xx+13xn的展开式中,前三项的二项式系数之和为(1)求含x的整数次幂的项;(2)展开式中第几项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数,并证明你的结论.

参考答案6.3二项式定理6.3.1二项式定理1.C∵(a+b)n的展开式共有n+1项,而(x+2)n的展开式共有12项,∴n=11.2.D(1-x)5中x3的系数为-C53=-10,-(1-x)6中x3的系数为-C63×(-1)3=20,故(1-x)5-(1-x)6的展开式中x3.B3x+1xxn展开式中的第k+1项为Cnk(3x)n-kx-32k=Cnk3n-kxn-52k.若展开式中含常数项,则存在4.AD1x+x3n的展开式的通项为Tk+1=Cnkx4k-n,由通项可知,当n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈N*)时,展开式中分别存在常数项和x的一次项,故选AD5.12二项展开式的通项为Tk+1=C10kx10-kak,当10-k=7时,k=3,T4=C103a3x7,则C103a6.44∵(1+3)4=1+C41×(3)1+C42×(3)2+C43×(3)3+C44×(3)4=1+43+18+123∴a=28,b=16,∴a+b=28+16=44.7.解∵Cn∴n=17,Tk+1=C17kx17令17-k2-k3∴T10=C179x4×29x-3=C17故x的系数为29C178.证明∵1+2+22+…+25n-1=25n-12-1=25n-1=32n-1=(31+1)n-1=Cn0·31n+Cn1·31n-1+…+Cnn-1·31+Cnn-1=31(Cn0∴原式能被31整除.9.D(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10,x5的系数为C105-10.B∵x3=(x-2+2)3=C30(x-2)3+C31(x-2)2·2+C32(x-2)·22+C33·23=8+12(x-2)+6(x-∴a2=6.11.D1x2-15展开式的通项为Tk+1=C5k·1x2令10-2k=2或10-2k=0,解得k=4或k=5.故(x2+2)·1x(-1)4×C54+2×(-1)5×C512.A∵-2Cn1+4Cn2-8Cn3+…+(-2)nCnn=1-2Cn1+4Cn2-8Cn3+…+(-2)nCnn-13.BTk+1=Cnk(3x2)n-k-12x3k=Cnk3n-k·-12kx2n-5k,令2∴n=52∴正整数n的最小值为5.14.(1)10(2)6二项展开式的通项为Tk+1=Cnk12x2n-k·-1xk=(-1)k12n-kC(1)因为第9项为常数项,所以当k=8时,2n-52k=解得n=10.(2)要使20-52k为整数,则k为偶数,由于k=0,1,2,3,…,9,10,故符合要求的项有6个,分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项15.-121展开式中含x3的项的系数为C53(-1)3+C63(-1)3+C73(-1)3+C816.±22(xcosθ+1)5的展开式中x2的系数为C53cosx+544的展开式中x3的系数为54×由题意可知C53cos2θ=∴cos2θ=12∴cosθ=±2217.(1)证明由题意得2Cn1·12即n2-9n+8=0,∴n=8(n=1舍去).∴Tk+1=C8k(x)8-k·-124xk=-12k若Tk+1是常数项,则16-3即16-3k=0,∵k∈Z,∴等式不可能成立,∴展开式中没有常数项.(2)解由(1)知,若Tk+1是有理项,当且仅当16-3k4为整数.∵0≤k≤8,k∈Z,∴k=0,4,8,即展开式中有三项有理项,分别是T1=x4,T5=358x,T9=18.解(1)xx+13xn的展开式的前三项的二项式系数之和为Cn0+Cn1+C所以xx+13xn=xx+13x8的展开式的通项为Tk+1=C8k(xx)8-k1又0≤k≤8,k∈Z,所以当k=0,6时,