Ritz向量法在建筑结构地震作用分析中的应用

Ritz向量法在建筑结构地震作用分析中的应用

一、YJK软件提供Ritz向量法进行地震分析的背景

根据《建筑抗震设计规范》GB-50011-2010第5.1.2条及《高层混凝土结构技术规程》JGJ3-2010第4.3.4条，建筑结构地震作用的基本分析方法是振型分解反应谱法。

计算采用的振型数目决定了地震作用计算的精度，所以为确保计算的地震力不会过小，《高层混凝土结构技术规程》JGJ3-2010第5.1.13规定：计算振型数应使各振型参与质量之和不小于总质量的90％。

而建筑结构的阵型和周期求解也普遍采用子空间迭代法、Lanczos法、WYD-Ritz法等精确特征向量（阵型）方法求解。但是对于某些整体振动性较差工程，如一些多塔结构、空间结构特别是需要进行竖向地震作用计算的结构，精确特征值方法会得到大量的局部振动阵型。采用规范推荐的阵型数目如：9~15个，多塔塔楼数的9倍，计算的地震作用远小于实际值（全部阵型结果）。如果要达到“各振型参与质量之和不小于总质量的90％”的要求，甚至需要计算数百个振型，此时软件计算量和计算时间会大大增加，甚至超过软件的计算能力。

此时，可以采用YJK软件提供的荷载相关的Ritz向量法简称Ritz向量法进行地震作用分析。

二、Ritz向量法进行地震作用分析的基本原理

针对以上问题，YJK、ETABS、MidasGen等结构设计软件都提供了Ritz向量法作为专门解决精确特征向量方法不能完成的工程的地震作用分析。

根据Wilson和Itoh的1983论文[1]的有如下观点：

1）大型结构系统，求解自由振动振型和频率的特征值问题可能需要大量的计算工作。

2）在自由振动振型的计算中，完全忽视荷载的空间分布。因此，计算的许多振型对荷载是正交的并且不参与动态响应。

3）如果在无质量自由度状态下施加动力荷载，那么在振型叠加分析中即使使用精确的振型，也不会收敛到精确解。另外，在施加荷载处附近的位移和应力也会有明显误差。因此如果把精确特征向量用于这样的问题，就没有必要应用本应需要的“静态校正法”。

4）有可能用最少的计算工作量来计算一组刚度和质量正交的Ritz向量。对荷载的任何空间分布而言，这都会收敛到精确解。

可以证明，基于唯一一组荷载相关向量的动力分析，比使用相同数量的精确振型法，可产生更精确的结果。此技术的效率已经通过解决许多结构响应和波的传播类型中的问题得到了表现。

关于Ritz向量法的算法及进一步资料可以参阅文献[2]。

三、YJK的ritz向量法特点

3.1YJK的初始荷载

正如名称荷载相关的Ritz向量法，该方法的计算结果与所选初始荷载向量有直接关系。

通常可以采用质量相关的X、Y、Z向加速度工况，或者恒活风等基本工况作为初始荷载向量。而采用只在质量自由度状态下才施加荷载的工况（如质量相关加速度工况），则该方法的振型结果总是精确特征向量的线性组合。

YJK当前版本是自动采用X、Y向加速度工况，如果是考虑竖向地震的振型反应谱方法，则自动增加Z向加速度工况。

3.2YJK的ritz向量法与精确特征值方法比较

文献[2]中给出了部分简单算例，说明了ritz向量法的高效收敛的特点。

本文重点实际工程算例进行分析，以精确特征值结果为标准，分别计算不同振型数目的Ritz法结果，比较质量参与系数和基底剪力两个指标的变化规律。

其中，质量参与系数可以直接通过计算结果看到；而基底剪力将通过与精确解法的计算结果间的相对误差来分析。

3.2.1算例_多塔1

工程模型见下图：

精确特征值方法：

在计算了257个振型后达标，X、Y方向质量参与系数分别达到99.84%和99.14%。

Ritz向量法：

见下表：

基底剪力相对误差趋势图见下图：

3.2.2算例_多塔2

精确特征值方法：

精确解法求解了82个振型，X方向质量参与系数达到96.28%，Y方向质量参与系数达到97.04%。

Ritz向量法：

基底剪力相对误差趋势图见下图：

3.2.3算例_体育馆1

精确特征值方法：

精确解法按质量参与系数90%达标进行计算，得到的结果为126个振型达标。其中X方向质量参与系数为94.98%，Y方向质量参与系数为97.77%。

Ritz向量法：

该算例中增加了与Etabs软件的Ritz法的对比结果。利用YJK软件提供的接口软件，自动得到Etabs软件的计算模型。

基底剪力相对误差趋势图见下图：

3.3YJK的ritz向量法的主要结论

盈建科软件公司通过数十个算例的数据分析，得到YJK的ritz向量法的主要如下结论：

1）与理论一致，YJK的提供的Ritz向量法只计算较少阵型数目就能达到要求的质量参与系数。

2）YJK的Ritz向量法计算得到的基底剪力呈现先上升、后下降并震荡收敛于精确解法求得的基底剪力值的总体趋势。且在平动质量参与系数达到90%前，基底剪力几乎总是呈现上升趋势。验证了该方法都会收敛到精确解的结论[1]。

3）基底剪力的收敛下降段几乎总是在精确解上方，即Ritz向量法的结果是偏于保守的。而且大部分算例中，如果计算30个以上振型后，其结果与精确解的误差一般在10%以内。

四、YJK的ritz向量法在实际工程中的应用

4.1ritz向量法的质量参与系数的快速达标性

4.1.1某12塔工程

12塔，计算主自由度110万自由度。

精确特征值方法：

YJK软件目前的32位版本使用精确特征值算法，因为32位系统内存使用限制，最多算60振型，而有效质量系数只有50%左右。无法达到规范要求，计算的地震作用也会过小。

Ritz向量法：

39振型，有效质量系数就能达到90%。

4.1.2某3塔工程

3塔，计算主自由度70万自由度。

精确特征值方法：

YJK软件目前的32位版本使用精确特征值算法，因为32位系统内存使用限制，最多算100振型，而有效质量系数只有70%左右。无法达到规范要求，计算的地震作用也会过小。

Ritz向量法：

30振型，有效质量系数就能达到90%。

4.1.3某大体量体育馆工程

计算主自由度20万自由度。

精确特征值方法：

该工程局部振动很多，使用精确特征值方法计算了150个振型，而有效质量系数只有67%左右。无法达到规范要求，计算的地震作用也会过小。

Ritz向量法：

30个振型：X向平动振型参与质量系数总计:93.63%；Y向平动振型参与质量系数总计:94.71%。

36个振型：X向平动振型参与质量系数总计:96.40%；Y向平动振型参与质量系数总计:98.34%。

4.1.4某大量3m悬挑梁工程需要考虑竖向地震作用

精确特征值方法：

由于竖向振动有大量的局部振动，计算了300个振型后，质量参与系数仍然很低。X向平动振型参与质量系数总计:

63.21%；Y向平动振型参与质量系数总计:

67.21%；Z向平动振型参与质量系数总计:

66.31%；Z向扭转振型参与质量系数总计:

42.63%。

Ritz向量法：

计算了45个振型后，质量参与系数就满足要求。X向平动振型参与质量系数总计:

99.77%；Y向平动振型参与质量系数总计:

99.91%；Z向平动振型参与质量系数总计:

97.37%；Z向扭转振型参与质量系数总计:

46.46%。

4.2ritz向量法在实际工程中的收敛性

4.2.1某6塔工程

自由度：833145(主)+272629(从)

计算了36、44、52、60和68个振型，下表给出了质量参与系数和基地剪力值：

可以看出，从基底剪力指标来说，到52个振型后，不同振型数目结果之间的误差在7%以内，能满足工程设计要求。

即使采用了36或者44振型的计算结果，地震作用计算值是也偏于保守和安全的，误差约在6%~18%之间。

五、结论与建议：

根据大量实例的计算，得到以下经验性结论：

1）选择的振型数应该是初始荷载向量的倍数，如只计算水平地震作用时，取2的倍数；同时计算水平和竖向地震作用时，取3的倍数。

2）尽量选取大的振型数。由于Ritz向量法的收敛特点，在时间以及计算能力允许的范围内，尽量选取较大的振型数来计算，以提高计算精确度。一般地，对于中等大小算例，选取30个振型数是比较可靠的；对于百万自由度以上的大型结构，推荐以60个振型数进行试算。

3）如何确定结果的可靠性。通过选取多个振型数，观察各项计算结果的变化趋势。推荐连续计算至少三次（即选取三个连续的初始向量个数的倍数，如30，36，42），从而得到两个相对误差，当这两个相对误差均在5%以内时，求得的基底剪力更精确，有更大的参考价值。参考文献

[1]Wilson,E.LandItoh,T.[1983],’AneigensolutionStrategyforLargeSyestems’ComputersandStructures16(1-4),259-265.

[2]爱德华.L.威尔逊著.结构静力和动力分析—强调地震工程学的物理方法（第四版）[M].北京：中国建筑工业出版社,P133-140,2006.PAGEPAGE1六年级下册语文培优测试卷（一）第一部分：词语积累与运用一、将下列句中画线的俗语换成一个意义相当的四字成语。1、人家又没有明确是说你，你去解释，不是此地无银三百两吗？（）2、他的结局，对于那种这山望着那山高的人，也是一个极好地教训。（）3、再不动动脑子，还是这样干下去，肯定是井里打水往河里倒。（）4、让我这个大老粗在这么多人面前作报告，这不是赶鸭子上架吗？（）二、将成语补充完整。只许州官放火，（）以其人之道，（）千里之行（）（），死而后已（），路人皆知天下兴亡，（）三：依次填入下列各句横线处的词语，最恰当的一组是（）如果不是秋风将种子吹下茎秆，那种子不是要被酷寒所冻僵吗？是秋风，把叶子介绍给根须，使它找到了_______生命的母体；是秋风，把种子藏进了厚实的泥土，使它有了一个_______春天的温床；是秋风，把果实领进了一个个温暖的家，使它_______了生命的胚胎。A．延伸萌生保持B。延续萌动保持C．延续萌生保存D。延伸萌动保存四、下列词语搭配完全正确的一项是（）A． 提高认识价钱便宜解决疑难保卫公物B． 反映情况身体强大发扬风格灌溉稻田C． 发现问题远大理想参观演出改正错误D． 改善生活天气晴朗安排工作工作认真五、在括号里填上恰当的反义词。（1）春天对（）正如秋天对（）（2）简单对（）正如复杂对（）（3）详细对（）正如简略对（）（4）（）对湖水正如（）对海洋。（5）保护环境是（）的，破坏环境是（）的。第二部分阅读部分梦结束的地方有人做过统计，迄今为止，大约有五百人成功地等上了珠穆朗玛峰顶，亦大约有五百人在攀登过程时献出了宝贵的生命。无论这个统计数字属实与否，都不折不扣地表明，攀登珠穆朗玛峰生死系于一线，代价极其残酷。因攀登珠穆朗玛峰而遇难的勇士净庚华去世后，笔者走进他的独居，目睹的是一个痴迷登山者的世界：墙上贴满了登山明星的照片、珠峰风景画、挂满了登山爪、登山靴、滑雪杆。他用13年的漫长岁月做准备，为此放弃了婚烟，离开了心爱的女儿，甚至不惜失去性命。无限风光，唯有触天者才领略得到吧！一位朋友成功地登上了海拔6400米的一座山峰，我问他，那种高处不胜寒的峰巅之感一定惊魂动魄吧？没有一丝尘埃的繁星，广袤深邃如宝石样的天宇，还有洁白无暇的冰雪，一定让人的肺腑都透明了！朋友却一本正经地摇头道：“完全不是这样的，冰天雪地的山头上能有什么吸引力？天幕、繁星、晶莹的冰雪，那是使人塑造的仙境。当时的情形根本不浪漫，巨大的风裹着彻骨风寒，满眼白茫茫的，就这些。”真就这些，这么令人失望吗？答案如此肯定。那么，为什么要登山呢？不要命地登那么高的山，想证明什么？英雄气概？挑战极限的能力？我费解而又焦急地望着朋友。朋友悠悠地说：“那一刻，我只觉得一颗心从喉咙里咯噔一下子回到胸膛里去了，就像做了个痛苦而又漫长的梦，我终于可以释怀了。”那是梦结束的地方，高耸入云。这梦扯着生命的脚步，一路跋涉，万水千山，赴汤蹈火。（）那座山叫什么名字，在地壳上，在实验室中，（）在书本里，（）充满了诱惑。明白了吗？生命原来是梦想的一架梯子，可以一直延伸到梦想成真的那一刻，只要你永不放弃。1.“梦结束的地方”指的是什么？用自己的话简要回答。________________________________________________________________________________________________________________2.给第五自然段括号处选择恰当的关联词，正确的一项是（）A.因为还是那B.即使只要就、C.如果那么就D.无论还是都3.第三自然段，朋友说“当时的情形根本就不浪漫”。这里的“浪漫”指（用原文里的话来回答）____________________________________________________________________。他说“不浪漫”的原因是（用原文句子来回答）______________________________________。4.第4自然段中，朋友说：“我终于可以释怀了。”这里的“释怀”的意思是_________________________________________________________________________________________________。他“终于可以释怀的原因是_______________________________________________________。5.短文第6自然段与文题“梦结束的地方“是_____________________关系，在文中起的作用是___________________________________。你对这段文字的理解是____________________。6.你的理想是什么？你怎么实现它？（3分）________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________穿透灵魂的微笑非洲的一座火山爆发了，随之而来的泥石流狂泻而下，迅速扑向座落在山脚下不远处的一个小山庄。农舍、良田、树木，一切的一切都没有躲过被冲毁的（劫难困难）。

滚滚而来的泥石流惊醒了睡梦中的一个十四岁的小女孩。流进屋内的泥石流已上升到她的颈部。小女孩只露出双臂、颈和头部。及时赶来的营救人员围着她一筹莫展。因为对遍体鳞伤的她来讲，每一次拉扯无疑是一种更大的（伤害危害）。此刻房屋早已倒塌，她的双亲也被泥石流夺去生命，她是村里为数不多的幸存者之一。

当记者把摄像机对准她时，她始终没有叫一个“疼”字，而是咬着牙微笑着，不停地向营救人员挥手致谢，两臂做出表示胜利的“V”字形。她（坚信相信）政府派来的营救人员一定能够救她。可是，营救人员倾尽全力也没能从固若金汤的泥石流中救出她。小女孩始终微笑着挥着手一点一点地被泥石流（淹没掩盖）。

在生命的最后一刻，她脸上流露着微笑，手臂一直保持着“V”字形。那一刻仿佛漫长如一个世纪，在场的人含泪目睹了这庄严而又悲惨的一幕。世界静极，只见灵魂独舞。

死神（

）可以夺去人的生命，（

）永远夺不去生死关头那“V”字所蕴含的信念和精神！常常在生命边缘蕴含着震撼世界的力量，让人生所有的苦难如轻烟般飘散。

世界上最坚硬不屈的就是那在苦难中的微笑着、痛苦着、高扬信念旗帜的灵魂。

1、在括号内选择合适的词。2、在“（

）”处填上合适的关联词。

3、写近义词：蕴含（