关于代数结构的讨论

关于代数结构的讨论

在定义非空集时，定义代码常序操作方法后，它具有一定的代码结构。在代数结构的讨论中，必定要涉及到一些与“左”、“右”有关的运算规律及相关概念。它们中的一些对“左”（“右”）能成立，对“右”（“左”）却不一定能成立。1．分配律的成立在涉及两种代数运算的体系中，有其中一种运算对另一种运算的第一分配律和第二分配律，或称为左分配律和右分配律。比如，对于矩阵的乘法和加法，左、右分配律皆成立。对于向量的数性积与向量的加法，左、右分配律也成立。事实上，我们在很多情况下碰到的都是这种左、右分配律成立的事实。说明它们不一定总是成立的例子如下：设G={f/f是定义在实数集上的全体实连续函数},在G上定义代数运算“○”和“+”为：于是（g+h）○f=g○f+h○f总成立，不管g,h,f是G中的哪三个元。然而f○（g+h）=f○g+f○h，并不是对G中的任意三元f,g,h都成立。为了看清楚这一点，叙述一个命题如下：命题：设f是定义在实数集上的实函数，且对任意实数x,y都有f(x+y）=f(x）+f(y）,则f(x）=kx(k为不等于零的常数），证明参见文献。这样，只要f不是齐次的线性函数，则就不成立。2非一事变换我们知道，如果一个非空集G对于一个叫做乘法的代数运算构成群，则它的每个a不但有左逆元，而且有右逆元，并且左逆元和右逆元相等。把一个集合A的全体变换放在一起，构成一个集合规定S的代数运算为则S具有恒同变换ε，ε：a→a，并且对于任意τεs，有τε=ετ。但S不构成群，是因为对于S中非一一变换τ，没有逆元τ-1使τ-1τ=ττ-1=ε成立。现在，我们把要求降低一点，对于非一一变换，它存在左逆元或者右逆元吗？令G={f/f是定义x≥0上的全体实函数}τ：x→0，若0≤x≤1,x→x-1；若x>1，τ是G中的元，由于τ非一一变换，不存在τ-1∈G使τ-1τ=ττ-1=ε。现在我们构造τ的右逆元τ右-1:(或中的任一实数)，若x=0,x→x+1；若x>0，则ττ右-1=ε。因此，τ存在无数个右逆元，然而τ不存在左逆元，这种情况的发生不是偶然的。定理1:S中的任何一一映射在上面定义的代数运算下都不存在左逆元，而S中所有的非一一满射变换在S中恒存在右逆元，且右逆元不唯一。证明：设τ是非一一映射，其左逆元设为λ，则有由于τ非一一映射，故存在x1≠x2∈A，使τ（x1）=τ（x2），于是λτ（x1）=λτ（x2），但是λτ（x1）=x1，λτ（x2）=x2，从而λτ（x1）≠λτ（x2），存在矛盾。这就是说，τ是不存在左逆元的。设τ是S的非一一的满射变换，定义变换μ为：μ：x→x在τ变换下的逆象之一。因此，给定了非一一的满射变换τ后，μ变换存在，但不唯一确定，且λτ=ε。3r有多个右单位元在一个无单位元的环中,左、右单位元不能同时存在,它可能不止一个左单位元而没有右单位元,同样也可能不止一个右单位元而没有左单位元。譬如,所有形如的矩阵构成一个环,它无右单位元,但有无穷多个左单位元同样,所有形如的矩阵构成环,但它没有左单位元,而有无穷多个右单位元然而,我们有定理2。定理2：一个环R有单位元的充要条件是R只有一个右单位元（左单位元）。证明：必要性是显然的，设eR(eL）是R的唯一的右（左）单位元，对于R的任意元a，由于所以eR+eRa-a=eR(eL+aeL-a=aL），因此，eRa=a(aaL=a）。这就是说，eR(eL）是R的左（右）单位元，故它是R的单位元。在一个有单位元的环中，每一个非零元不一定有逆元，一个元可能有几个左逆元而没有右逆元，同样也可能有几个右逆元而没有左逆元。定理3：环R中的非零元a有逆元的充要条件是a在R中有且仅有一个右（左）逆元。证明：必要性显然，假定非零元a只有唯一的左（右）逆元因为故也是a的左(右)逆元,因而我们有,所以9也是a的右(左)逆元。4．同构映射的同构设G是一个群，g∈G,g在G上产生的右移动Rg定义为Rg:G→G，使Rg(x）=xg。左移动Lg定义为Lg:G→G，使Lg(x）=gx。若定义右移动间的代数运算RgRn:G→G，使RgRh(x）=Rg(Rh(x））=Rg(xh）=xhg，左移动间的代数运算LgLh:G→G,使LgLh(x）=Lg(Lh(x））=Lg(hx）=xhg。那么，我们可证定理4。定理4：群G的所有右移动构成一个群GR，左移动构成一个群GL。证明：我们只证左移动构成一个群，右移动构成群的证明是类似的。由定义，左移动对运算封闭，同时，由于Lf(LgLh）(x）=fghx，(LfLg)Lh(x）=fghx；因此，结合律成立，设G的单位元为e，则Le是左移动的单位元，Lg的逆元是Lg-1。因而，左移动构成群。定理5:GL艿GR艿G。证明：只要证得GL艿G,GR艿G就行了，这里只证GL艿G,GR艿G的证明类似。作映射Φ：g→Lg，则Φ是G到GL的一个满射，且由消去律得g≠h圯gx≠hx，即g≠h圯Lg≠Lh。因此，Φ是G到GL的一个一一映射，又Lgh(x