方向保序变换半群的极值

方向保序变换半群的极值

0最大、已发生的最大类型[n]={1、2，…，n}，自然序列，tn是[n]的全变换半组。设α∈Tn,若(1α,…,nα)是一个圈(反圈),即最多存在一个自然数i,使得iα>(i+1)α(iα<(i+1)α),则称α是方向保序的(反方向保序的)。设OPn和Pn分别为Tn中的所有方向保序变换之集和所有方向保序或反方向保序变换之集,则OPn和Pn都是Tn的子半群,称OPn和Pn分别为方向保序变换半群和方向保序或反方向保序变换半群。半群代数理论是20世纪50年代发展起来的一个新的代数分支,它在自动机理论、符号动力学、计算机科学、组合数学、算子代数和概率论等方面都有广泛的应用。变换半群的具有某种性质的极大子半群的研究一直都是半群理论研究中的热点之一[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]。1999年,Yang得到了有限对称逆半群的极大逆子半群的完全分类;2000年,Yang得到了保序有限变换半群的具有某些性质的极大子半群的完全分类;2002年,You得到了有限全变换半群和部分变换半群的所有理想的极大正则子半群的完全分类;2007年,徐波给出了有限保序严格部分一一变换半群OIn上的极大逆子半群的刻画;2008年,高荣海与徐波进一步研究了OIn的理想的极大子半群的结构;2010年,徐波得到了部分保序变换半群POn的幂等生成极大子半群和极大正则子半群的结构。最近,赵平与游泰杰研究了方向保序变换半群OPn的理想的极大正则子半群的结构,并得到了它们的完全分类。在上述工作的基础上,本文考虑Pn的理想I(n,r)={α∈Pn:|im(α)|≤r},其中3≤r≤n-1,得到了它们的极大正则子半群的完全分类。据Catarino和Higgins的结果,Pn中的Green关系有如下刻画:αLβ⇔im(α)=im(β),αRβ⇔ker(α)=ker(β),αJβ⇔|im(α)|=|im(β)|,且对任意α∈Pn,|Hα|=2|im(α)|,其中Hα是α所在H-类。对1≤r≤n-1,记Jr={α∈Pn:|im(α)|=r},则Pn有n个J-类J1,J2,…,Jn。显然,Ι(n,r)=r∪i=1JiI(n,r)=∪i=1rJi。关于Pn还有以下基本事实:Pn的理想构成一个链,即I(n,1)⊂I(n,2)⊂…⊂I(n,n-1)⊂I(n,n)=Pn,Pn的每一个主因子是一个Rees商半群I(n,r)/I(n,r-1),记为Pr。为方便起见,可把Pr看成Jr∪{0},即Pr=Jr∪{0},其乘法定义为:α⋅β={αβ,αβ∈Jr,0,否则。Pr对上述乘法做成一个完全0-单半群。关于完全0-单半群,有下述两个熟知事实:引理1设x,y是完全0-单半群中两个非零元,则xy≠0当且仅当Lx∩Ry中含有幂等元。此时,xy∈Ly∩Rx。引理2设S是一个完全0-单半群,x,y是完全0-单半群中两个非零元,则:xRy={Rx,Lx∩Ry中含有幂等元,{0},否则；Lxy={Ly,Lx∩Ry中含有幂等元,{0},否则;LxRy={S\{0},Lx∩Ry中含有幂等元‚{0},否则。设U是半群S的任意子集,通常用E(U)表示U中的幂等元之集。对任意a∈S,通常用Ra,La,Ha,Ja分别表示a所在R-类,L-类,H-类,J-类。本文未定义的术语及记法参见。1opn和pn设ORn为Tn中的所有反方向保序变换之集,则显然Pn=OPn∪ORn。对1≤r≤n,设IOPn(n,r)=I(n,r)∩OPn,JΟΡnr=Jr∩OPn,IORn(n,r)=I(n,r)∩ORn,JΟRnr=Jr∩ORn,则I(n,r)=IOPn(n,r)∪IORn(n,r)且Jr=JΟΡnr∪JΟRnr。定义1设3≤r≤n-1,S是I(n,r)的正则子半群(S⊂I(n,r))。若S满足:对I(n,r)的任意正则子半群T,有S⊂T⇒T=I(n,r),则称S是I(n,r)的极大正则子半群。本文的主要结果为:定理1设3≤r≤n-1,则I(n,r)的极大正则子半群有且仅有如下三类:(1)Aα=I(n,r-1)∪(Jr＼Rα),α∈Jr;(2)Bα=I(n,r-1)∪(Jr＼Lα),α∈Jr;(3)Cr=I(n,r-1)∪JΟΡnr。为证明定理1,我们需要以下引理:引理3设I是正则半群S的理想,则I是正则的。证明设x∈I,则由S的正则性可得,存在y∈S,使得x=xyx且y=yxy,于是由x∈I及I是理想可得,y=yxy∈I,从而y是x在I中的逆元。因此I是正则的。引理4OPn和Pn都是正则半群。证明见[11,定理3.1,5.6]。引理5设2≤r≤n-1,则I(n,r)和IOPn(n,r)都是正则半群。证明注意到I(n,r)和IOPn(n,r)分别是Pn和OPn的理想。由引理3,4可推出结论。注1在本文中,凡是整数的加法运算,均是在模n的剩余类环中进行的。引理6设2≤r≤n-1,α∈Jr,则|E(Rα)|≥2。证明任意取β∈Jr∩HΟΡnα。据文献知,β能表示为:β=(A1A2⋯Arb1b2⋯br),其中Ai={ai,ai+1,…,ai+1-1},集合{a1,a2,…,ar}是核类A1,A2,…,Ar的初始点集,a1<a2<…<ar且(b1,b2,…,br)是圈。由r≤n-1知,存在k∈{1,2,…,r},使得|Ak|≥2,从而ak+1∈Ak。令e=(A1⋯Ak⋯Ara1⋯ak⋯ar),f=(A1⋯Ak-1AkAk+1⋯Ara1⋯ak-1ak+1ak+1⋯ar),则e,f∈E(Jr)且eRfRβ(因为Ker(e)=Ker(f)=Ker(β)),于是|E(Rβ)|≥2,从而|E(Rα)|≥2(因为Hα=Hβ)。引理7设2≤r≤n-1,α∈Jr,则|E(Lα)|≥2。证明设im(α)={a1,a2,…,ar},其中a1<a2<…<ar。设Ai={ai,ai+1,…,ai+1-1},i=1,2,…,r,则由r≤n-1知,存在k∈{1,2,…,r},使得|Ak|≥2,从而ak+1-1∈Ak。令Bk=Ak＼{ak+1-1},Bk+1=Ak+1∪{ak+1-1},Bi=Ai(i≠k,k+1),又令e=(A1⋯Ara1⋯ar),f=(B1⋯Bra1⋯ar),则e,f∈E(Jr)且eLfLα(因为im(e)=im(f)=im(α))。因此|E(Lα)|≥2。注2据注1知,上述引理6,7证明过程中,当i=r时,Ar={ar,ar+1,…,n,1,…,a1-1}。为方便起见,对任意α∈Pn,定义RΟΡnα=Rα∩OPn,RΟRnα=Rα∩ORn,LΟΡnα=Lα∩OPn,LΟRnα=Lα∩ORn,JΟΡnα=Jα∩OPn,JΟRnα=Jα∩ORn。则Rα=RΟΡnα∪RΟRnα,Lα=LΟΡnα∪LΟRnα且Jα=JΟΡnα∪JΟRnα。引理8设α∈Pn,则:(ⅰ)当|im(α)|≤2,JΟΡnα=JΟRnα;(ⅱ)当|im(α)|≥3,Jα=JΟΡnα∪JΟRnα且JΟΡnα∩JΟRnα=∅。证明见[11,引理5.8证明过程]。引理9OPn·ORn=ORn·OPn=ORn且OPn·OPn=ORn·ORn=OPn。证明见[11,推论5.2]。引理10设3≤r≤n-1,e∈E(Jr),则对任意α∈LΟRne,有αRΟΡne=RΟRnα,αRΟRne=RΟΡnα。证明注意到Re=RΟΡne∪RΟRne且Rα=RΟΡnα∪RΟRnα。由e∈Re∩Lα∩E(Jr)及引理2可得,αRe=Rα,从而αRΟΡne∪αRΟRne=RΟΡnα∪RΟRnα。由r≥3及引理8(ⅱ)知,JΟΡnα∩JΟRnα=∅,从而RΟΡnα∩RΟRnα=∅(因为RΟΡnα⊆JΟΡnα且RΟRnα⊆JΟRnα)。由α∈LΟRne⊆ORn及引理9可得,αRΟΡne⊆ORn且αRΟRne⊆OPn,于是,由αRe=Rα可得αROPne⊆RΟRnα且αRΟRne⊆RΟΡnα,从而αRΟΡne=RΟRnα,αRΟRne=RΟΡnα。引理11设3≤r≤n-1,e∈E(Jr),则对任意α∈RΟRne,有LΟΡneα=LΟRnα,LΟRneα=LΟΡnα。证明证明类似于引理10的证明。引理12设1≤r≤n-1,则E(JΟΡnr)=E(Jr)。证明显然E(JΟΡnr)⊆E(Jr)。设e∈E(Jr),则ee=e,于是由引理9易得,e∈OPn,从而E(Jr)⊆E(JOPnr)。因此E(JΟΡnr)=E(Jr)。引理13设2≤r≤n-1,则IOPn(n,r)=〈E(JΟΡnr)〉。证明见[12,引理1.2及定理2.1]。引理14设1≤r≤n-1,则IOPn(n,r)=〈E(JΟΡnr)〉=〈E(Jr)〉。证明显然IOPn(n,1)=〈E(JΟΡn1)〉=〈E(J1)〉。(事实上,IOPn(n,1)=E(JΟΡn1)=E(J1)。)再由引理12,13可推出结论。引理15设1≤r≤n-1,则对任意γ∈JΟRnr,有Jr⊆〈E(Jr)∪{γ}〉。证明分以下三种情形讨论:情形1r=1。显然J1⊆〈E(J1)∪{γ}〉(因为J1=E(J1))。情形2r=2。由引理8(ⅰ)可知,J2=JΟΡn2,从而由引理14可得,J2=JΟΡn2⊆IOPn(n,2)=〈E(JΟΡn2)〉=〈E(J2)〉⊆〈E(J2)∪{γ}〉。情形3r≥3。注意到每一个H-类至多有一个幂等元(见[13,推论2.2.6])。由引理6,7知,|E(Lγ)|≥2且|E(Rγ)≥2,从而存在e,f∈E(Jr),使得e∈Lγ,f∈Rγ且e≠f。任意取β∈Re∩Lf∩OPn(⊆JΟΡnr),则由引理14可得β∈JΟΡnr⊆IOPn(n,r)=〈E(JΟΡnr)〉=〈E(Jr)〉。(1)注意到e∈E(Jr)∩Lγ,f∈E(Jr)∩Rγ。由γ∈JΟRnr及引理10,11,14可得:RΟRnγ=γRΟΡne⊆γIOPn(n,r)⊆〈E(Jr)∪{γ}〉,LΟRnγ=LΟΡnfγ⊆IOPn(n,r)γ⊆〈E(Jr)∪{γ}〉。进而,再由引理14可得:Rγ=RΟΡnγ∪RΟRnγ⊆IOPn(n,r)∪RΟRnγ⊆〈E(Jr)∪{γ}〉,(2)Lγ=LΟΡnγ∪LΟRnγ⊆IOPn(n,r)∪LΟRnγ⊆〈E(Jr)∪{γ}〉。(3)注意到e∈E(Jr)∩Lγ∩Rβ,f∈E(Jr)∩Rγ∩Lβ。由引理2可得Jr=LγRβ,Rβ=βRγ,从而由(1)～(3)可得Jr=LγRβ=LγβRγ⊆〈E(Jr)∪{γ}〉。引理16设1≤r≤n-1,S是I(n,r)的子半群。若Jr⊆S,则S=I(n,r)。证明若Jr⊆S,则E(Jr)⊆S,从而由引理14可得IOPn(n,r)=〈E(Jr)〉⊆S。进而,由引理12可得E(Ji)=E(JΟΡni)⊆IOPn(n,r)⊆S,i=1,2,…,r。(4)令α=(12⋯r-1{r,r+1,⋯,n}rr-1⋯21),βi=(12⋯i-1{i,i+1,⋯,n}12⋯i-1i),其中i=1,2,…,r,则α∈JΟRnr⊆Jr,βi∈E(Ji)。由Jr⊆S及(4)可得α,βi∈S。令γi=βiα,则γi=(12⋯i-1{i,i+1,⋯,n}rr-1⋯r-i+2r-i+1)∈JΟRni∩S于是由(4)及引理15可得Ji⊆〈E(Ji)∪{γi}〉⊆S,i=1,2,…,r。从而I(n,r)=J1∪J2∪…∪Jr⊆S。因此S=I(n,r)。注3由引理15,16易得结论:设1≤r≤n-1,γ∈JΟRnr,则I(n,r)=〈E(Jr)∪{γ}〉。引理17设S是正则半群,a∈S,则Ra∩E(S)≠∅,La∩E(S)≠∅。证明见[13,命题2.3.1,2.3.2]。引理18(Miller-Clifford定理)设S是正则半群,a,b∈S,H-类Hb包含a的逆元的充要条件是H-类Ra∩Lb和Rb∩La包含幂等元。证明见[14,定理2.18]。引理19设2≤r≤n-1,α∈Jr,则存在α的逆元α1,α2,使得(α1,α2)∉R,(α1,α2)∉L且α1,α2∈Jr。证明由引理6,7可知,|E(Rα)|≥2,|E(Lα)|≥2。注意到每一个H-类至多有一个幂等元(见[13,推论2.2.6])。任意取e1,e2∈E(Rα),e1≠e2,f1,f2∈E(Lα),f1≠f2,则(e1,e2)∉L且(f1,f2)∉R。(否则,e1,e2∈Hα或f1,f2∈Hα,与每一个H-类至多有一个幂等元矛盾。)注意到eiRαLfi,i=1,2。由引理18可得Le1∩Rf1和Le2∩Rf2包含α的逆元,不妨分别设为α1和α2,于是eiLαiRfi,i=1,2,从而(α1,α2)∉L且(α1,α2)∉R。此外,由αiLeiRα可知,αiJα,于是|im(αi)|=|im(α)|=r,从而αi∈Jr。引理20设3≤r≤n-1,α∈Jr,则Aα=I(n,r-1)∪(Jr＼Rα)是I(n,r)的极大正则子半群。证明首先,证明Aα是I(n,r)的子半群。由引理1知,对任意β,γ∈Jr,有βγRβ或βγ∈I(n,r-1)。因此,Aα是I(n,r)的子半群。其次,证明Aα是正则的。由引理5知,I(n,r-1)是正则的。对任意β∈Jr＼Rα,由引理19可知,存在β的逆元β1,β2,使得(β1,β2)∉R且β1,β2∈Jr,于是β1,β2中必有一个属于Jr＼Rα,即Jr＼Rα中必存在β的逆元,从而β是正则的。因此Aα是正则半群。最后,证明Aα是极大正则子半群。设T是I(n,r)的正则子半群且Aα⊂T。任意取β∈T＼Aα,则β∈Rα。由引理7可知,|E(Lβ)|≥2,不妨设e,f∈E(Lβ)且e≠f,则e,f中必有一个不属于Rα。(否则,e,f∈Hα,与每一个H-类至多有一个幂等元矛盾。)不妨设e∉Rα,于是Re⊆Jr＼Rα⊆Aα⊂T,从而由引理2可得Rα=Rβ=βRe⊂T。因此T=I(n,r)。引理21设3≤r≤n-1,α∈Jr,则Bα=I(n,r-1)∪(Jr＼Lα)是I(n,r)的极大正则子半群。证明类似于引理20的证明。引理22设3≤r≤n-1,α∈Jr,则Cr=I(n,r-1)∪JΟΡnr是I(n,r)的极大正则子半群。证明对任意β,γ∈JΟΡnr,由引理1,9知,βγ∈JΟΡnr或βγ∈I(n,r-1)。因此,Cr是I(n,r)的子半群。注意到Cr=I(n,r-1)∪JΟΡnr=I(n,r-1)∪IOPn(n,r)。由引理5知,I(n,r-1)和IOPn(n,r)都是正则的,从而Cr是I(n,r)的正则子半群。设T是I(n,r)的正则子半群且Cr⊂T。由IOPn(n,r)=JΟΡnr∪IOPn(n,r-1)⊆Cr及引理14可得,E(Jr)⊆IOPn(n,r)⊆T。任意取β∈T＼Cr,则β∈JΟRnr,于是由引理15可得Jr⊆〈E(Jr)∪{β}〉⊆T,从而由引理16可得T=I(n,r)。定理1的证明由引理20,21,22可知,Aα,Bα和Cr是I(n,r)的极大正则子半群。我们用反证法证明I(n,r)的极大正则子半群