人教版八年级数学下册 （正方形的判定）平行四边形新课件

正方形的判定

1．理解并掌握正方形的判定和推导过程．2．能熟练运用正方形的判定进行计算和证明．如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？？思考：满足什么条件的矩形是正方形？有一组邻边相等的矩形是正方形；矩形正方形对角线互相垂直的矩形是正方形．思考：满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流．有一个角是直角的菱形是正方形；菱形正方形对角线相等的菱形是正方形．如图，在矩形ABCD中，AB＝AD．求证：矩形ABCD是正方形．ADCB证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．AB＝CD，AD＝BC，又AB＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴矩形ABCD是正方形．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直．求证：矩形ABCD是正方形．ADCBO证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，又AC⊥BD．∴∠AOD＝∠AOB＝90°，在△AOB和△AOD中，OB＝OD，∠AOB＝∠AOD，OA＝OA，∴△AOB≌△AOD，∴AB＝AD．∴矩形ABCD是正方形．如图，在菱形ABCD中，∠A＝90°．求证：菱形ABCD是正方形．ADCB证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠C，∠B＝∠D．又∠A＝90°，∴∠C＝90°．∵∠A＋∠B＝180°，∴∠B＝90°．∴菱形ABCD是正方形．如图，在菱形ABCD中，AC＝BD．求证：菱形ABCD是正方形．ADCB证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，在△ABD和△BAC中，AB＝BA，AD＝BC，BD＝AC，∴△ABD≌△BAC，∴∠DAB＝∠CBA．∵∠DAB＋∠CBA＝180°，∴∠DAB＝∠CBA＝90°．∴菱形ABCD是正方形．定理对角线相等的菱形是正方形．定理对角线互相垂直的矩形是正方形．定理有一组邻边相等的矩形是正方形．定理有一个角是直角的菱形是正方形．例1直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥BC．求证：四边形CEDF是正方形．ABCDEF∴DF＝DE，∵CD平分∠ACB，∴四边形CEDF为矩形．又∠ACB＝90°，∴∠DEC＝90°，∠DFC＝90°．证明：∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形CEDF是正方形．例2如图，已知在□

ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD的延长线上的点，且EA＝EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，∵EA＝EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形．证明：（2）∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED，∠DAC＝∠EAD＋∠AED，∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO．∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2AO，BD＝2DO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形．例2如图，已知在□

ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD的延长线上的点，且EA＝EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．1．如图，在直角三角形中，∠C＝90〫，∠CAB，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥AC，DF⊥CB．

求证：四边形CEDF为正方形．ABCEFDG证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G．∴∠DEC＝∠DFC＝90〫．∵∠C＝90〫，∴四边形CEDF为矩形．∵DE⊥AC，DF⊥CB，∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AC，DG⊥AB,∴DE＝DG．∴四边形CEDF为正方形．同理可得：DG＝DF，∴ED＝DF，ABCEFDG2．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB＝∠CDB．（2）若∠ADC＝90〫，求证：四边形PMDN是正方形．CABDMNP证明：（1）∵AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∴△ABD≌△CBD（SAS）,∴∠ADB＝∠CDB．∵在△ABD和△CBD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD,（2）∵∠ADC＝90〫，PM⊥AD，PN⊥CD,∴∠ADC＝∠PMD＝∠PND＝90〫．∴四边形PMDN是矩形．

∴四边形PMDN是正方形．∴∠