限时训练四导数与微积分

eq\a\vs4\al(限时训练四导数与微积分)一、选择题(每小题5分，共40分)1．若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为() A．4x－y－2＝0 B．x＋4y－9＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0答案：A解析：与直线x＋4y－8＝0垂直的切线l的斜率必为4，而y′＝4x，所以，切点为(1,2)．切线为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.2．(2011广东佛山)若f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是() A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)答案：C解析：若f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数⇔f(x)′≤0(x>－1)恒成 立．即－x＋eq\f(b,x＋2)≤0(x>－1)⇔b≤x(x＋2)对(－1，＋∞)恒成立⇔b≤[x(x＋2)]min.而x(x＋2)＝(x＋1)2－1>－1⇔b≤－13．函数f(x)(x∈R)由x－lnf(x)＝0确定，则导函数y＝f′(x)图象的大致形状是() 答案：C 解析：x－lnf(x)＝0⇒f(x)＝ex，f′(x)＝ex，故选C.4．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝eq\f(fx,x)在区间(1，＋∞)上一定() A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数答案：D解析：函数f(x)＝x2－2ax＋a，在区间(－∞，1)上有最小值，∴对称轴x＝a<1，又g(x)＝eq\f(fx,x)＝x＋eq\f(a,x)－2a，g′(x)＝1－eq\f(a,x2)，由x>1，a<1知g′(x)＝1－eq\f(a,x2)>0，所以g(x)在(1，＋∞)是增函数．5．若不等式logax>sin2x对于区间(0，eq\f(π,4)]内的任意x都成立，则实数a的取值范围是() A．(0,1) B．(0，eq\f(π,4)) C．(eq\f(π,4)，eq\f(π,2)) D．(eq\f(π,4)，1)答案：D解析：由x∈(0，eq\f(π,4)]，logax>sin2x>0，显然0<a<1，令f(x)＝logax－sin2x，则f′(x)＝eq\f(1,xlna)－2cos2x，又由0<a<1，x∈(0，eq\f(π,4)]，知f′(x)<0，∴f(x)在(0，eq\f(π,4)]上是减函数，故只需f(eq\f(π,4))>0⇒logaeq\f(π,4)>1⇒a∈(eq\f(π,4)，1)，选D.6．设函数f(x)＝xm＋ax的导数f′(x)＝2x＋3，则数列{eq\f(1,fn＋2)}(n∈N*)的前n项和是() A.eq\f(n,n＋1) B.eq\f(n－1,2n＋1) C.eq\f(n,2n＋2) D.eq\f(n,n＋1n＋2) 答案：C解析：易知f(x)＝x2＋3x，则eq\f(1,fn＋2)＝eq\f(1,n2＋3n＋2)＝eq\f(1,n＋1n＋2)＝eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,n＋2)，故前n项和为eq\f(n,2n＋2)，选C.7．(2011高考模拟)如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是() A．1B.eq\f(4,3) C.eq\r(3)D．2 答案：B 解析：函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于eq\i\in(0,2,)(－x2＋2x＋1－1)dx＝eq\i\in(0,2,)(－x2＋2x)dx＝eq\f(4,3).8．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x20≤x<1,2－x1<x≤2))，则eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝() A.eq\f(3,4) B.eq\f(4,5) C.eq\f(5,6) D．不存在答案：C解析：eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)x2dx＋eq\i\in(1,2,)(2－x)dx＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(1,0)＋(2x－eq\f(1,2)x2)|eq\o\al(2,1)＝eq\f(5,6).二、填空题(每小题5分，共30分)9．(2007年广东北江中学高三第二次月考)eq\i\in(0,6,)(x2＋1)dx＝____________.答案：78解析：原式＝(eq\f(x3,3)＋x)|eq\o\al(6,0)＝eq\f(63,3)＋6＝78.10．函数f(x)＝ln(x－x2)的增区间为________答案：(0，eq\f(1,2)]解析：由x－x2>0及f′(x)＝eq\f(1－2x,x－x2)≥0，得0<x≤eq\f(1,2).增区间为：(0，eq\f(1,2)]．11．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0.且g(3)＝0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是______________答案：(－∞，－3)∪(0,3)解析：∵当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，即[f(x)g(x)]′>0，∴当x＜0时，f(x)g(x)为增函数，又g(x)是偶函数且g(3)＝0，∴g(－3)＝0，∴f(－3)g(－3)＝0，故当x<－3时，f(x)g(x)＜0又f(x)g(x)是奇函数，当x>0时，f(x)g(x)为增函数，且f(3)g(3)＝0，故当0<x<3时，f(x)g(x)＜0.12．函数y＝f(x)的图象在点P(2，y0)处的切线经过点A(4,0)，B(0,4)，则f(2)＋f′(2)＝________________.答案：1解析：经过两点A(4,0)，B(0,4)的直线方程为y＝－x＋4，所以f′(2)＝－1，又直线经过点P知f(2)＝－2＋4＝2，所以f(2)＋f′(2)＝1.13．已知函数y＝x2与y＝kx(k>0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为eq\f(4,3)，则k＝________________________________________________________________________.答案：2解析：曲线的交点为(0,0)和(k，k2)，∴S＝eq\i\in(0,k,)(kx－x2)dx＝[eq\f(1,2)kx2－eq\f(1,3)x3]|eq\o\al(k,0)＝eq\f(1,2)k3－eq\f(1,3)k3＝eq\f(1,6)k3＝eq\f(4,3)⇒k＝2.14．过曲线y＝x3－2x上一点(1，－1)的切线方程是________________答案：x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0解析：①若(1，－1)为切点，易得此时切线方程为x－y－2＝0；②若(1，－1)不为切点，设切点为(x0，y0)，则有切线的斜率eq\f(y0＋1,x0－1)＝3xeq\o\al(2,0)－2，将y0＝xeq\o\al(3,0)－2x0代入，得2xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋1＝0，此方程必有根x0＝1，得此方程的另一根为x0＝－eq\f(1,2)，此时切点(－eq\f(1,2)，eq\f(7,8))，切线斜率为－eq\f(5,4)，方程为：y＋1＝－eq\f(5,4)(x－1)，化简得：5x＋4y－1＝0.∴满足条件的切线有：x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.三、解答题(4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(12分)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数． (1)求b、c的值； (2)求g(x)的单调区间与极值．解析：(1)∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.从而g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c是 一个奇函数，所以g(0)＝0得c＝0，由奇函数定义得b＝3；(2)由(1)知g(x)＝x3－6x，从而g′(x)＝3x2－6，由此可知，(－∞，－eq\r(2))和(eq\r(2)，＋∞)是函数g(x)的单调递增区间；(－eq\r(2)，eq\r(2))是函数g(x)的单调递减区间；g(x)在x＝－eq\r(2)时，取得极大值，极大值为4eq\r(2)，g(x)在x＝eq\r(2)时，取得极小值，极小值为－4eq\r(2).16．(12分)(2011南头中学)已知函数f(x)＝x2＋eq\f(2,x)＋alnx(x>0)． (1)若f(x)在[1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围； (2)若定义在区间D上的函数y＝f(x)对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]≥f(eq\f(x1＋x2,2))成立，则称函数y＝f(x)为区间D上的“凹函数”．试证当a≤0时，f(x)为“凹函数”．解析：(1)由f(x)＝x2＋eq\f(2,x)＋alnx，得f′(x)＝2x－eq\f(2,x2)＋eq\f(a,x)函数为[1，＋∞)上单调函数.若函数为[1，＋∞)上单调增函数，则f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式在2x－eq\f(2,x2)＋eq\f(a,x)≥0在[1，＋∞)上恒成立.也即a≥eq\f(2,x)－2x2在[1，＋∞)上恒成立.令φ(x)＝eq\f(2,x)－2x2，上述问题等价于a≥φ(x)max，而φ(x)＝eq\f(2,x)－2x2为在[1，＋∞)上的减函数，则φ(x)max＝φ(1)＝0，于是a≥0为所求.(2)证明：由f(x)＝x2＋eq\f(2,x)＋alnx得eq\f(fx1＋fx2,2)＝eq\f(1,2)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2))＋(eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2))＋eq\f(a,2)(lnx1＋lnx2)＝eq\f(1,2)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2))＋eq\f(x1＋x2,x1x2)＋alneq\r(x1x2)f(eq\f(x1＋x2,2))＝(eq\f(x1＋x2,2))2＋eq\f(4,x1＋x2)＋alneq\f(x1＋x2,2)而eq\f(1,2)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2))≥eq\f(1,4)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2))＋2x1x2]2＝(eq\f(x1＋x2,2))2①又(x1＋x2)2＝(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2))＋2x1x2≥4x1x2，∴eq\f(x1＋x2,x1x2)≥eq\f(4,x1＋x2)②∵eq\r(x1x2)≤eq\f(x1＋x2,2)，∴lneq\r(x1x2)≤eq\f(x1＋x2,2)，∵a≤0，∴alneq\r(x1x2)≤alneq\f(x1＋x2,2)③由①、②、③得eq\f(1,2)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2))＋eq\f(x1＋x2,x1x2)＋alneq\r(x1x2)≥(eq\f(x1＋x2,2))2＋eq\f(4,x1＋x2)＋alneq\r(x1x2)即eq\f(fx1＋fx2,2)≥f(eq\f(x1＋x2,2))，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数．17．(12分)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(a,x)(a>0)，设F(x)＝f(x)＋g(x)． (1)求函数F(x)的单调区间； (2)若以函数y＝F(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k≤eq\f(1,2)恒成立，求实数a的最小值．解析：(1)F(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx＋eq\f(a,x)(x>0)，F′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(a,x2)＝eq\f(x－a,x2)(x>0)因为a>0，由F′(x)>0⇒x∈(a，＋∞)，所以F(x)在(a，＋∞)上单调递增．由F′(x)<0⇒x∈(0，a)，所以F(x)在(0，a)上单调递减．所以F(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞)．(2)F′(x)＝eq\f(x－a,x2)(0<x≤3)，k＝F′(x0)＝eq\f(x0－a,x\o\al(2,0))≤eq\f(1,2)(0<x0≤3)恒成立⇔a≥(－eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋x0)max当x0＝1时，－eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋x0取得最大值eq\f(1,2).所以a≥eq\f(1,2)，所以amin＝eq\f(1,2)18．(14分)(2011惠州市)设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x)－x＝0有实数根；②函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1.” (1)判断函数f(x)＝eq\f(x,2)＋eq\f(sinx,4)是否是集合M中的元素，并说明理由； (2)集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x0∈[m，n]，使得等式f(n)－f(m)＝(n－m)f′(x0