2022秋季学期 广东工业大学 《数值计算》期末习题集

习题一1.什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？答：数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法。2.古代数学家祖冲之曾以EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(355),113)作为圆周率π的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(325),133)*xx=π35517该近似值具有7为有效数字。1.试构造迭代收敛的公式求解下列方程：解：k0123xk00.250.250980.25098**局部收敛EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up30(x),k)00)'局部收敛k0123456789xk**2.方程x3x21=0在x=1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：13x=3x=2x=2x=;2，对应迭代公式xk+1=;11xk1x1判断以上三种迭代公式在x0=1.5的收敛性，选一种收敛公式求出x0=1.5附近的根到4位有效数字。解：1x2（2）Q(x)=（3）Q(x)=(x)=x(1+x2)(x)=(x1)Q(x0)'<1局部收敛局部收敛Q(x0)'<1Q(x0)'>1不是局部收敛迭代公式（10123456781.444441.479291.4569761.471081.462091.467791.44161.4664791.46501.465931.46531.465721.465481.465631.4655341.465595**迭代公式（2k0123456xk**3.用牛顿法求方程f(x)=x3一2x2一4x一7=0在[3,4]中的根的近似值（精确到小数点后两位）。f'(x)=3x2一4x4EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up13(3),k)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(一),3x)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(一),4x)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(4),k)x7k0123xk3.53.643.633.63**4.试证用牛顿法求方程(x一2)2(x+3)=0在[1,3]内的根x*=2是线性收敛的。解：y次迭代公式(xk2)(xk+y次迭代公式(xk2)(2xk+1)(xk2)(2xk+1)=*xxk+1(xk2)(xk+3)故k喻2=xk2*xxk从而ekkekek喻2故牛顿迭代公式是线性收敛的的迭代公式，并讨论其收敛性。的迭代公式，并讨论其收敛性。解：f(x)=x3一af'(x)=3x2 kkx3a kk相应的牛顿迭代公式为EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up2(2),k)相应的牛顿迭代公式为迭代函数(x)=2xEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up12(3一),3x3)2a，Q''(x)迭代函数则则故迭代公式收敛，且收敛阶为2阶。1.设有方程组EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up12(1),x)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up12(2),x2)(1)考察用Jacobi法，Gauss-Seidal法解此方程组的收敛性；(2)用Jacobi法及Gauss-Seidal法解方程组，要求当*(k+1)-*(k)<10-4时迭代终止。故用雅克比法及高斯-塞德尔法解此方程均收敛。=-x2-x3-3雅克比法：xk+1)=-xk)-xk)-，xk+1)=xk)-xk)+5，取初始向量x0)=x0)=x0)=0，迭代18次有xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(1),i)8-xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(1),i)7<10-4（i=1,2,3）高斯-塞德尔法：xk+1)=-xk)-xk)-，xk+1)=xk)-xk)+5取初始向量x0)=x0)=x0)=0，迭代8次有xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(8),i)-xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(7),i)<10-4（i=1,2,3）2.用选列主元高斯消去法求解方程组「3-14-12-2L2「3-14-12-2L2-3-2|||7]|(AD)喻|0喻|0|||0解得---|喻|0-1]「5]1-3x2-2x3=0解：|3|3|3|-147|T-153742|-3334-3-43.用三角分解法求解方程组EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up12(解：系数矩阵三角分解为：EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up11(2),4)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up11(4),8)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up11(8),1)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up11(1),2)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up11(0),1)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up11(0),0)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up11(-2),0)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up11(4),0)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up11(8),3)原方程可表为：EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up3(2),6)||||01-1|2||||01-1|2(5-2-10)T解|y2||解|||10-32||x2x3」|y1|「|y1|「5]0]Ly3」「-20「-20||EQ\*jc3\*hps27\o\al(\s\up6(2),1)EQ\*jc3\*hps27\o\al(\s\up6(9),9)EQ\*jc3\*hps27\o\al(\s\up6(1),0)EQ\*jc3\*hps27\o\al(\s\up6(2),9)EQ\*jc3\*hps27\o\al(\s\up6(1),5)EQ\*jc3\*hps27\o\al(\s\up6(5),38)-1.5316,0.2211,0.1316TEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(1),1)解：104)1)|计算cond(A)104)A-1||1104]104-11EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(1),1)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up7(0),0)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up12(4),4)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(1),1)1.给出概率积分f(x)=e-x2dx的数据表：试用二次插值计算f(0.472).X0.460.470.480.49f(x)0.48465550.49375420.50274980.5116683解：取插值节点：x2L2(x)=EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up11(2),Σ)yili(x) (x-x1)(x-x2)(x-x0)(x-x2)=y0(x0-x1)(x0-x2)+y1(x1-x0)(x1-x2)+y2 x-x0)(x-x1)x2-x0)(x2-x1)f(0.472)=L2(0.472)=0.49556162.已知y=sinx的函数表Xsinx0.997490.999570.99166试构造出差商表，利用二次Newton插值公式计算sin(1.609)(保留5位小数)，并估计其误差.解：由题意得如下差商表kxkf(xk)fx0,xkfx0,x1,xk11.60.999570.0221.70.99166-0.02915-0.49950又f(x)=sinx,f(3)(x)=-cosxf(3)(ξ)<maxcosx<0.128843.用最小二乘法求一个形如y=a+bx2的经验公式，使与下列数据相拟合X25313844Y32.349.073.397.8解：依题意x2解：依题意xiiEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up10(2),i)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up8(4),i)C0=yiQ0ii正则方程为〈01正则方程为〈01故拟合曲线为y=0.973+0.05x21．试确定下面求积公式1f(x)dx~C[f(x0)+f(x1)+f(x2)]使其具三次代数精度.解：要公式有3次代数精度，需有EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),0)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),1)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),2)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(3),0)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(3),1)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(3),2)22故求积公式为1f(x)dx=[f(0)+f()+f(-)]2．分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算dx,(取步长h=1/6).解1）用复合梯形公式a=1,b=2,h=故N=6f(x)=f(a)==1.4427f(a+)= f(a+)=f(a+)=f(a+)= ln(713) ln(512) ln(813) f( f(b)==1.8205f(xn)=16.3582dx~[f(a)+f(b)+2f(xn)]=1.6351167（2）用复合Simpson公式：f(x12)=f(a+)=1.4760f(x32)=f(a+)==1.5414f(x52)=f(a+)=1.6055f(x72)=f(a+)==1.6683f(x9)=f(a+9)=714=1.72992f(x11)=f(a+11)=23112=1.79052f(xn+1)=39.2464n=02∫f(x)dx心[f(a)+f(b)+4f(xn+12)+2f(xn)]=1.63521673．试构造两点Gauss公式w1f(x)dx心A0f(x0)+A1f(x1),并由此计算积分(精确到10-4)解：二次Lagendre多项式：2-33dxEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up22(A),A)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up19(0),1)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up15(1),1)