学生版一次函数

一次函数一、教学目标：初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可以看做函数。理解一次函数和正比例函数的概念及其图象的有关性质。根据条件确定一次函数的表达式。通过函数图象解决简单的实际问题。二、教学重难点：函数自变量的取值范围。掌握利用待定系数法求一次函数表达式。根据函数图象解决实际问题。三、考点分析考点1：理解函数的概念在一个变化过程中，有两个变量（如x、y），对于自变量（x）的每一个确定值，函数（y）都有唯一确定的值与它对应，这时，y就是x的函数。题型1：对函数的认识下面的表分别给出了变量与之间的对应关系，判断是的函数吗？如果不是，说明出理由．x12345y3691215x12345y71181215x12321y2510-5-2x12345y99999例2．下面变量之间的关系是不是函数关系？为什么？（1）长方形的宽一定时，其长与面积；（2）等腰三角形的底边长与面积；（3）某人的年龄与身高；（4）关系式||=中的与．例3．已知5x＋2y－7＝0，用含x的代数式表示y为_____；用含y的代数式表示x为______．例4．已知函数y＝2x2－1，当x1＝－3时，相对应的函数值y1＝______；当时，相对应的函数值y2＝___；当x3＝m时，相对应的函数值y3＝___．反过来，当y＝7时，自变量x＝______．例5.在下列等式中，y是x的函数的有（）A.3x－2y＝0B.x2－y2＝1C.D.E.F.变式：1、设一个长方体的高为10cm，底面的宽为xcm，长是宽的2倍，这个长方体的体积V（cm3）与长、宽的关系式为V＝20x2，在这个式子里，自变量是（）A．20x2 B．20x C．V D．x2．电话每台月租费28元，市区内电话（三分钟以内）每次0.20元，若某台电话每次通话均不超过3分钟，则每月应缴费y（元）与市内电话通话次数x之间的函数关系式是（）A．y＝28x＋0.20 B．y＝0.20x＋28xC．y＝0.20x＋28 D．y＝28－0.20x题型二自变量的取值范围一般来说，用解析法表示的函数，自变量的取值范围就是使代数式有意义的范围。例1求下列函数中自变量x的取值范围。（1）；（2）；（3）；（4）例2、汽车由北京驶往相距850千米的沈阳，它的平均速度为80千米/小时，求汽车距沈阳的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系式，写出自变量的取值范围．变式1求下列函数中自变量x的取值范围。1． 2． 3．4． 5． 6．7． 8． 9．(10).题型三：函数值对于一个函数，当自变量x=a时，我们可以求出与它对应的y的值，我们就说这个值是当x=a时的函数值。例1．写出下列函数中自变量的取值范围，并分别求出当自变量取2时函数的值：；（2）；（3）．例2、当x=_________时，函数y=3x-2与函数y=5x+1有相同的函数值。变式1用40m长的绳子围成矩形ABCD，设，矩形ABCD的面积为，（1）求S与x的函数解析式及x的取值范围；写出下面表中与x相对应的S的值：x…899.51010.51112…S…（3）猜一猜，当x为何值时，S的值最大？（4）想一想，如果打算用这根绳子围成的面积比（3）中的还大，应围成么样的图形？并算出相应的面积．题型四：函数的表示方法=1\*GB3①解析法=2\*GB3②列表法=3\*GB3③图象法例1、等腰三角形的周长为50cm，若设底边长为xcm，腰长为ycm，求y与x的函数解析式及自变量x的取值范围．例2、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，。A、⑴、⑵ B、⑵、⑶ C、⑷D、⑶、⑸例3、某人购进一批苹果到集市上零售，已知卖出的苹果x（千克）与销售的金额y元的关系如下表：x（千克）12345…y（元）2+0.14+0.26+0.38+0.410+0.5…（1）写出y与x的函数关系式：______；（2）该商贩要想使销售的金额达到250元，至少需要卖出多少千克的苹果？（1）（2）（3）（4）例（1）（2）（3）（4）A．（1）B．（1）、（3）、（4）C．（1）、（2）、（3）D．（3）（4）变式1、如图，长方形ABCD．当点P在边AD上从A向D移动时，（1）试指出，哪些三角形的面积始终保持不变，哪些发生了变化？（2）假设长方形的长AD为10cm，宽AB为4cm，线段AP的长度为xcm，=1\*GB3①写出x的取值范围；=2\*GB3②写出线段PD的长度y（cm）与x之间的函数关系式；=3\*GB3③写出的面积与x之间的函数关系式。变式2．下列各组函数中表示同一函数的是

()

（A）与（B）与

（C）与（D）与变式3下列图象中不能作为函数图象的是（）例5、根据画函数图象的一般步骤，画出下列函数的图象。（1）+1；（2、略）解：eq\o\ac(○,1)列表：x-3-2-10123yeq\o\ac(○,2)描点eq\o\ac(○,3)连线例6、用两点法画函数图象（1）；2、x01y02列表（2）列表x01y1-1考点2：一次函数题型一：正比例两种相关联的量，一种量变化，另一种子量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。例1、判断并说明理由。1、长方形的宽一定，面积和长成正比例。2、每袋牛奶质量一定，牛奶袋数和总质量成正比例。3、圆的周长和直径成正比例。4、圆的周长和半径成正比例。5、圆的面积和半径成正比例。例2、已知y-3与x成正比例函数，求y与x之间的函数关系式．题型二：正比例函数（一）定义：一般地，形如y＝kx(k是常数、k≠0)的函数，叫正比例函数，其中k叫做比例系数。强调两点：①、k≠0(即自变量系数不为0)②、x的指数为1例1、判断下列函数是否为正比例函数，若是，说出比例系数。y＝3x⑵、y＝⑶、y＝⑷、y＝x2+1⑸、y＝(a2+1)x－2例2⑴、若y＝5x3m－2是正比例函数，则m＝_________⑵、若y＝(m－2)x㎡－3是关于x的正比例函数，则m＝________（二）正比例函数的图像例3、(1)画出正比例y＝2x的函数，（2）请学生画出y＝-2x的图像。（3）找出y＝2x与y＝-2x图像的相同点，（都是过原点的一条直线）。变式1：自己写一个正比例函数，用两点法画出其图像。总结: K＞0,直线y＝kx过______象限，从左向右______，随x的增大y也_______。K＜0,直线y＝kx过_______象限，从左向右______，随x的增大y反而______。题型三：一次函数（一）一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成y＝kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数.（x为自变量，y为因变量）例如：y＝2x-1,y＝x等.在一次函数y＝kx+b(k≠0)中，特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.例如：y＝4x；y＝-x等.（二）一次函数与正比例函数的关系：（1）正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数.（2）一次函数（3）一次函数的自变量取值范围是全体实数，但从实际问题中归纳出的一次函数，它的自变量取值范围往往有一定限制。例1、正比例函数y＝kx的图像经过第二、四象限，则（）A、y随x的增大而增大。 B、y随x的增大而减小C、当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小。D、不论x如何变化，y不变。变式1．下列关系中的两个量成正比例的是（）A．从甲地到乙地，所用的时间和速度；B．正方形的面积与边长C．买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量；D．人的体重与身高变式2．下列函数中，y是x的正比例函数的是（）A．y=4x+1B．y=2x2C．y=-xD．y=变式3．下列说法中不成立的是（）A．在y=3x-1中y+1与x成正比例；B．在中，y与x成正比例C．在y=2（x+1）中y与x+1成正比例；D．在y=x+3中y与x成正比例例2．若函数y=（2m+6）x2+（1-m）x是正比例函数，则m的值是（）A．m=-3B．m=1C．m=3D．m>-3例3：已知4y-1与2x+7成正比例，证明：y是x的一次函数.变式1．已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y=-3x上的两点，且x1>x2，则y1与y2的大小关系是（）A．y1>y2B．y1<y2C．y1=y2D．以上都有可能变式2．写出下列各题中x与y的关系式，并判断y是否是x的正比例函数？（1）电报收费标准是每个字0.1元，电报费y（元）与字数x（个）之间的函数关系；（2）地面气温是28℃，如果每升高1km，气温下降5℃，则气温x（℃）与高度y（km）的关系；（3）圆面积y（cm2）与半径x（cm）的关系．变式3．在函数y=-3x的图象上取一点P，过P点作PA⊥x轴，已知P点的横坐标为-2，求△POA的面积（O为坐标原点）．例4：已知函数是一次函数，求m的值.变式1：已知函数为正比例函数，求k的值及正比例函数关系式.例5：一根弹簧长15㎝，它所挂的物体质量不能超过18kg，并且每挂kg就伸长㎝.写出挂上物体后的弹簧长度y（㎝）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式.变式1：我国发射的第一颗人造地球卫星绕地球的平均速度为7.12km/s（1）写出卫星的运行时间t(s)与运行路程s（km）之间的关系式.（2）s是t的一次函数吗？是t的正比例函数吗？（3）卫星运行1小时所经过的路程有多少千米？变式1：某地面气温是10℃,如果每升高1千米，气温下降3℃,写出气温t（℃）与高度h（千米）之间的函数关系式，并判决t是否为h的一次函数.路程（百米）yx时间（分钟）路程（百米）yx时间（分钟）963618300A．37.2分钟 B．48分钟 C．30分钟 D．33分钟变式3．已知：关于x的一次函数．求：（1）m、n分别为何值时，y随x的增大而减小？（2）m、n分别为何值时，函数的图象与两轴都交于负半轴？（3）m、n分别为何值时，函数为正比例函数？（4）m、n分别为何值时，函数的图象与直线平行？（三）待定系数法求函数解析式例1．（1）已知一个正比例函数的图象经过点（1，5），则这个正比例函数的表达式是________.（2）已知函数图象如右图所示，求函数解析式．变式1．已知一次函数y=x+4的图像经过点（m，6），则m＝变式2．（1）若直线y=kx+b平行直线y=3x+2，且过点（2，﹣1），则k=___,b=__.（2）若直线l1：y=kx+b(k≠0)与直线l2：y=3x+1平行，且同一横坐标在直线l1比直线l2上对应的点的纵坐标大1个单位长度，求解析式．例2．已知，一条直线经过点A（1，3）和B（2，5）．求：（1）这个一次函数的解析式；（2）当x=﹣3时，y的值；（3）若点（a，2）在这个一次函数图象上，求a的值．变式1．已知函数y=(m+1)x+2m-3(1)若函数图象经过原点,求函数解析式；(2)若这个函数是一次函数,且y随着x的增大而减小,求m的取值范围.变式2．若y与x﹣3成正比例，且x=2时，y=﹣3，则时，x=______.变式3．已知一次函数y=kx+2(k≠0)过（5，4a）和（4，5a）两点，求一次函数的解析式．考点三：一次函数的应用题型一、与面积等几何问题有关的问题例1．在平面直角坐标系中，点A（4，0），点P（x，y）是直线在第一象限的一点．（1）设△OAP的面积为S，用含x的解析式表示S，并写出自变量取值范围．（2）在直线求一点Q，使△OAQ是以OA为底的等腰三角形．（3）若第（2）问变为使△OAQ是等腰三角形，这样的点有几个？l1l2xyDO3BCA（4，0）变式1．如图，直线的解析表达式为，且与轴交于点，直线经过点，直线、l1l2xyDO3BCA（4，0）（1）求点的坐标；（2）求直线的解析表达式；（3）求的面积；（4）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标．变式2．已知如图，直线与直线平行，且与直线相交于点M（1，4），直线与直线分别与轴交于A，B两点，（B点在A点右边），且三角形MAB的面积为16，求直线与直线的解析式；变式3．已知点（1，2）和点（3，4），试分别求出满足下列条件的点的坐标：（1）在x轴上找一点C，使得AC+BC的值最小；（2）在y轴上找一点C，使得AC+BC的值最小；（3）在直线上找一点C，使得AC+BC的值最小；（4）在x轴、y轴上各找一点M、N，使得AM+BN-MN的值最小．题型二：方案选择问题例1.某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）．（1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式；（2）对的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．考点3：利用函数知识解决生活中的实际问题1、“分段性”问题这种问题在变化过程中，规律是动态的，在解决时应按以下步骤：（1）把具有相同变化规律的自变量取值范围看作一段，先分段建立函数关系式；（2）然后按要求分段进行处理。例1．某自来水公司为鼓励居民节约用水，每月按用水量分段收费的方法，若某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示。（1）分别写出当0≤x≤15和x≥15时，y与x的函数关系式；（2）若某用户该月用水21吨，则应交水费多少元？yyxo39.5271520例2．某市计程车收费标准如下：前5公里起步价为8元，超出5公里每公里多收费1.6元（不足1公里按1公里计算）。（1）写出收费y（元）与行程x（公里）之间的函数关系式；（2）分别求出行程为4公里、13公里的收费情况。考点四：“规律性”问题某一量随另一量的变化而呈规律性变化的问题。利用函数思想是解决这类问题的一般步骤：1、列表；2、猜想（函数关系式）；3、得到规律；4、验证规律；5、运用规律解决问题。用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下的规律拼成若干个图案：（1）（2）（3）问（1）第1个图案中有白色地砖块；（2）第3个图案中有白色地砖块；（2）第n个图案中有白色地砖块。考点五：“最值性”问题就是利用在实际问题中自变量受到的限制（可能出现最大值或最小值），来解决诸如“成本最低”、“利润最大”、“费用最少”的问题。一般步骤：1、列出函数解析式；2、根据实际问题，求出自变量的取值范围；3、根据函数的性质（一次函数的性质由k决定），在自变量的取值范围中，确定函数的最值。例1．某饮料厂为了开发新产品，用A、B两种果汁原料各19千克、17.2千克，试制甲、乙两种新型饮料50千克，右表是相关的数据：设甲种饮料配制x千克，试求x的取值范围；（2）若甲、乙两种饮料每千克的成本分别为4元、3元，设两种饮料的总成本为y元，请写出y与x之间的函数关系式；并确定当甲配制多少千克时，成本总额最少。变式1.某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门。乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元。（1）分别写出该公司两种购买方案的付款（元）与所购买的水果质量（千克）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。（2）依据购买量判断，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由。一次函数复习题1、请你写出一个经过点（1，1）的函数解析式.2、在函数中，当自变量满足时，图象在第一象限.3、中国电信宣布，从2001年2月1日起，县城和农村电话收费标准一样，在县内通话3分钟内的收费是0.2元，每超1分钟加收0.1元，则电话费（元）与通话时间（分，为正整数）的函数关系是；4、老师给出一个函数，甲、乙、丙各正确指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一象限；乙：函数的图象经过第三象限；丙：在每个象限内，y随x的增大而减小．请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数：5、一个函数的图象经过点（1，2），且y随x的增大而增大而这个函数的解析式是（只需写一个）6、如果点A（—2，a）在函数的图象上，那么a的值等于（）A、—7B、3C、—1D、47、小明、小强两人进行百米赛跑，小明比小强跑得快