北京邮电大学《数字信号处理》课件-第2章 时域离散信号和系统的频域分析

第2章时域离散信号

和系统的频域分析北京邮电大学《数字信号处理》2本章主要内容序列的Z变换Z变换的主要性质序列的傅里叶变换傅里叶变换的主要性质利用Z变换解差分方程利用Z变换分析信号和系统的频率响应32.1引言信号与系统的分析方法:时域分析变换域分析（本课介绍频域分析）连续时间信号与系统

信号用时间t的函数表示系统用微分方程描述离散时间信号与系统

信号用序列表示系统用差分方程描述4时域与频域分析

傅里叶变换

时间域频率域(复频域

)

拉普拉斯变换

推广离散时间傅里叶变换

时间域频率域(复频域

)

Z变换推广连续时间信号与系统离散时间信号与系统52.2序列的傅里叶变换

序列傅里叶变换的定义序列傅里叶变换的性质

周期序列的傅里叶级数表示周期序列的傅里叶变换62.2.1时域离散信号傅里叶变换的定义（2.2.1）FT［x(n)］存在的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和（2.2.2）（2.2.3）n为离散域，ω

为连续域X(ejω)的傅里叶反变换为序列x(n)的傅里叶变换定义为:7

【例2.2.1】

设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。解（2.2.4）

当N=4时，其幅度与相位随频率ω的变化曲线如图2.2.1所示。8图2.2.1

R4(n)的幅度与相位曲线92.2.2时域离散信号傅里叶变换的性质1．

FT的周期性

(2.2.5)

观察上式，得到傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。由FT的周期性进一步分析得到，在ω=0和ω=2πM附近的频谱分布应是相同的（M取整数），在ω=0，±2π,±4π,点上表示x(n)信号的直流分量；离开这些点愈远，其频率愈高，但又是以2π为周期，那么最高的频率应是ω=π。一般只分析【－π~＋π】之间或0~2π范围的FT就够了。10

2．线性

(2.2.6)式中,a，b是常数。

设X1(ejω)=FT［x1(n)］,

X2(ejω)=FT［x2(n)］,那么11

3．时移与频移

设X(ejω)=FT［x(n)］,那么(2.2.7)(2.2.8)FT[x(n-n0)]=e-jwn0X(ejw)124．FT的对称性共轭对称序列共轭反对称序列共轭对称与共轭反对称序列的表示频域函数共轭对称与共轭反对称序列的表示实因果序列h(n)的对称性13

设序列xe(n)满足下式：（2.2.9）则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什么性质，将xe(n)用其实部与虚部表示：

将上式两边n用－n代替，并取共轭，得到：对比上面两公式，因左边相等，因此得到：

（2.2.10）（2.2.11）两式表明共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。共轭对称序列14

满足下式的序列称为共轭反对称序列：

（2.2.12）将xo(n)表示成实部与虚部，如下式：可以得到：（2.2.13）（2.2.14）即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。

共轭反对称序列15

【例2.2.2】

试分析x(n)=ejωn的对称性。

解:因为x*(－n)=ejωn=x(n)满足(2.2.9)式，所以x(n)是共轭对称序列，如展成实部与虚部，则得到：x(n)=cosωn+jsinωn上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。16一般序列可用其共轭对称与共轭反对称分量之和表示，即（2.2.15）将（2.2.15）式中的n用－n代替，再取共轭,得到：（2.2.16）利用（2.2.15）和（2.2.16）式，得到：（2.2.17）（2.2.18）利用上面两式，可以用x(n)分别求出其xe(n)和xo(n)。

任意序列的共轭对称与共轭反对称分量17

对于频域函数X(ejω)，也有和上面类似的概念和结论：

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)（2.2.19）Xe(ejω)为共轭对称部分（函数），Xo(ejω)共轭反对称部分（函数）它们满足：（2.2.20）（2.2.21）（2.2.22）（2.2.23）同样有下面公式成立：+Xe(ejω)、Xo(ejω)的表示，

ω连续域18

(1)将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，即x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行傅里叶变换，得到:X(ejw)=Xe(ejw)+Xo(ejw)

式中，xr(n)和xi(n)都是实数序列。Xe(ejω)具有共轭对称性，它的实部是偶函数，虚部是奇函数；Xo(ejω)具有共轭反对称性质，它的实部是奇函数，虚部是偶函数。最后得到结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对应的傅里叶变换具有共轭对称性，虚部和j一起对应的傅里叶变换具有共轭反对称性。式中FT的共轭对成性19

(2)将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即

x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.24)将（2.2.17）和（2.2.18）式重写如下：因此（2.2.24）式的FT为（2.2.25）将上面两式分别进行傅里叶变换，得到：20

因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ejω)，共轭反对称部分为零。因此实序列的FT是共轭对称函数,其实部是偶函数，虚部是奇函数，用公式表示为显然，其模：偶函数相位函数：奇函数

这和实模拟信号的FT有同样的结论。实因果序列h(n)的频谱的对称性21

按照（2.2.17）和（2.2.18）式得到：因为h(n)是实因果序列，he(n)和ho(n)可用下式表示：

（2.2.26）（2.2.27）实因果序列h(n)的对称性22

实因果序列h(n)可以分别用he(n)和ho(n)表示为（2.2.28）（2.2.29）式中

（2.2.30）

因为h(n)是实序列，上面公式中he(n)是偶函数，ho(n)是奇函数。按照（2.2.28）式，实因果序列完全由其偶序列恢复，但按照（2.2.29）式，ho(n)中缺少n=0点h(n)的信息。因此由ho(n)恢复h(n)时，要补充一点h(h)δ(n)信息。实因果序列h(n)的对称性23实因果序列h(n)的

FT对称性总结共轭对称序列、函数共轭反对称序列、函数一般序列与共轭对称与共轭反对称序列的关系实因果序列h(n)（2.2.26）（2.2.27）24

【例2.2.3】x(n)=anu(n),0<a<1。求其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)。

解

x(n)=xe(n)+xo(n)

按（2.2.26）式，得到：25按（2.2.27）式，得到：

x(n)、xe(n)和xo(n)波形如图2.2.3所示。

图2.2.3例2.2.3图26

5．时域卷积定理

设y(n)=x(n)*h(n)则

Y(ejω)=X(ejω)H(ejω)（2.2.31）证明令k=n－m，则两序列卷积的FT服从相乘的关系（时域卷积，频域相乘）27

6．频域卷积定理

设y(n)=x(n)h(n)则(2.2.32)证明(2.2.33)交换积分与求和的次序：(2.2.34)

该定理表明，在时域两序列相乘，频域时服从卷积关系。287．帕斯维尔（Parseval）定理（2.2.35）证明

帕斯维尔定理表明了信号时域的能量与频域的能量关系。29表2.2.1序列傅里叶变换的性质定理302.3周期序列的傅里叶级数表示及其FT

周期序列定义：周期序列不是绝对可和的，狭义的FT不存在周期序列的傅里叶级数表示ak:傅里叶级数的系数基频序列:e1(n)k次谐波序列:ek(n)312.3.1周期序列的离散傅里叶级数离散傅里叶级数只有N个独立谐波分量:

且因为复指数序列是k的周期函数所以，周期序列:只取k＝0到N-1的N个独立谐波分量足以表示原信号

32周期序列离散傅里叶级数正变换

周期序列离散傅里叶级数反变换

周期序列的离散傅里叶级数33【例2.3.1】

设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列，周期为8，求DFS［］。解按照（2.3.6）式,有其幅度特性如图2.3.1(b)所示。

34图2.3.1例2.3.1图2.3.2周期序列的傅里叶变换在模拟系统中，的傅里叶变换是在处的一个冲激，强度为2

，即对于时域离散系统中的复指数序列，仍假设它的傅里叶变换是在处的一个冲激，强度为2

，考虑到时域离散信号傅里叶变换的周期性，因此的傅里叶变换应写为：假设的周期为N，将它用傅里叶级数来表示，即上式的求和号中的每一项都是复指数序列，其中第K项即为第K次谐波的傅里叶变换，根据其周期性能够表示为：周期序列由N次谐波组成，因此它的傅里叶变换可以表示成式中，k=0,1,2,…,N-1,r=-3,-2,-1,0,1,2,…

以N为周期，而r变化时，δ函数变化2

r，因此如果让k在(-∞,∞)变化，上式可以简化为上式就是一般周期序列的傅里叶变换表达式。一般周期序列的傅里叶变换表达式38例2.1：令，为有理数，求其傅里叶变换。解:将用欧拉公式展开为由得余弦序列的傅里叶变换为上式表明，余弦信号的傅里叶变换是在处的冲激函数，强度为

，同时以2

为周期进行周期性延拓，如下图所示。对于正弦序列，为有理数，它的傅里叶变换为2.4的FT与的FT之间的关系41对上式进行傅里叶变换得到理想采样信号：

2.4的FT与的FT之间的关系42

对比时域离散信号x(n)的傅里叶变换：得到：并且在数值上

，上式也可以表示成上面三个公式均表示时域离散信号的傅里叶变换和模拟信号傅里叶变换之间的关系43■时域离散信号的频谱也是由模拟信号的频谱周期性延拓形成的，延拓周期是，因此由采样得到x(n)也要满足采样定理，否则也会产生频域混叠现象，频率混叠在附近最严重，在数字域，则是在π附近最严重。模拟频率与数字频率之间的定标关系：442.5序列的Z变换Z变换及其收敛域的定义几种序列的Z变换及其收敛域逆Z变换Z变换的性质和定理利用Z变换求解差分方程利用Z变换分析信号和系统的频响特性452.5.1Z变换及其收敛域的定义

序列x(n)的Z变换定义双边Z变换单边Z变换

因果序列的Z变换:因果序列的单边Z变换与双边Z变换相同Z平面:Z变换定义式中z所在的复平面z是一个连续复变量，具有实部和虚部

变量z的极坐标形式

|z|=1为单位圆：

46Z变换的收敛域根据级数理论，式(2.1)收敛的充分必要条件是满足绝对可和条件，即收敛域:对于给定的任意序列x(n)，使其Z变换收敛的所有z值的集合组成的区域。

根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域

收敛半径Rx-可以小到0，Rx+可以大到∞收敛域以原点为中心，Rx-和Rx+为半径的环域

47

序列Z变换与序列傅里叶变换关系

单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换，但z的收敛域必须包含单位圆。

对比傅里叶变换定义式：

得到：48例:求序列的Z变换

例2.5.3求序列的Z变换。

解：序列x(n)是因果序列，根据Z变换的定义

分析收敛性：X(z)是无穷项幂级数。X(z)可用封闭形式，即解析函数形式表示为

当|z|≤a时级数发散，当|z|＞|a|时级数收敛。49例:求序列的Z变换

例2.5.4求序列的Z变换。

解：序列x(n)是一个左序列,

X(z)存在要求502.5.2序列特性对收敛域的影响结论：Z变换相同，收敛域不同，对应的序列也不同。序列的X(z)与其收敛域是一个不可分离的整体，求Z变换就要包含其收敛域。对比例2.5.3和例2.5.4结果：51有限长序列

有限长序列只在有限区间n1≤n≤n2内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零：Z变换

收敛域与n1、n2取值情况有关：

52例：求有限长序列的Z变换例2.5.2求序列的Z变换及收敛域。

讨论：X(z)有一个z=1的极点，但也有一个z=1的零点，所以零极点对消，X(z)在单位圆上收敛

。收敛域为0＜|z|≤+∞。

解：根据Z变换的定义

53右边序列

右边序列只在有限区间n≥n1

内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零Z变换

上式中第一项为有限长序列，收敛域为，第二项为因果序列，收敛域为，共有收敛域为。54左边序列

左边序列只在有限区间n≤n2内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零Z变换

如果，z=0点收敛，但z=∞点不收敛，收敛域为

如果，收敛域为55双边序列

双边序列指n从-∞到+∞都具有非零的有限值，可看成左边序列和右边序列之和Z变换

讨论：X1(z)收敛域为|z|＜Rx+；X2(z)收敛域为Rx-＜|z|。双边序列Z变换的收敛域是二者的公共部分。如果满足Rx-<Rx+

，则X(z)的收敛域为环状区域，即Rx-＜|z|＜Rx+

；如果满足Rx-≥Rx+，则X(z)无收敛域。

56例：求双边序列的Z变换例2.5.5己知序列，a为实数，求其Z变换及其收敛域。

解：上式第一项收敛域为：

上式第一项收敛域为：如果如果无公共收敛域，不存在当时，x(n)和的图形如右图所示572.5.3逆Z变换

逆Z变换:

由X(z)及其收敛域求序列x(n)的变换求逆Z变换的方法:围线积分法(留数定理)部分分式展开法幂级数法(长除法)58序列的Z变换逆Z变换用留数定理求逆Z变换c是X(z)收敛域中一条包围原点的逆时针的闭合曲线用F(z)表示被积函数：F(z)=X(z)zn-1图2.5.3围线积分路径59如果F(z)在围线c内的极点用zk表示，则根据留数定理有1、如果zk是单阶极点，则根据留数定理有2、如果zk是N阶极点，则根据留数定理有式中,Res［F(z),zk］表示被积函数F(z)在极点z=zk的留数，逆Z变换是围线c内所有的极点留数之和。逆Z变换对于N阶极点，需要求N－1次导数，这是比较麻烦的。如果c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，则可以根据留数辅助定理改求c外的所有极点留数之和。60

如果F(z)在z平面上有N个极点，在收敛域内的封闭曲线c将z平面上的极点分成两部分：一部分c是内极点，设有N1个极点，用z1k表示；另一部分是c外极点，有N2个，用z2k表示。N=N1+N2。根据留数辅助定理，下式成立：成立的条件:F(z)的分母阶次应比分子阶次高二阶以上。设X(z)=P(z)/Q(z),P(z)和Q(z)分别是M与N阶多项式。成立的条件是N－M－n+1≥2因此要求n<N－Mc圆内极点中有多阶极点，而c圆外没有多阶极点，则逆Z变换的计算可以按该式，改求c圆外极点留数之和，最后加一个负号。61【例2.5.6】

已知X(z)=(1－az－1)－1，|z|>a,求其逆Z变换x(n)。

解

分析F(z)的极点：

1、n≥0时，F(z)在c内只有1个极点：z1=a；

2、n<0时，F(z)在c内只有2个极点：z1=a,z2=0是一个n阶极点。所以，应当分段计算x(n)

n≥0时，62n<0时，z=0是n阶极点，不易求留数。采用留数辅助定理求解，先检查n≤N-M-1是否满足。可以采用留数辅助定理求解，改求圆外极点留数，但对于F(z)，该例题中圆外没有极点。故n<0,x(n)=0。最后得到该例题的原序列为x(n)=anu(n)事实上，该例题由于收敛域是|z|>a，根据前面分析的序列特性对收敛域的影响知道，x(n)一定是因果序列，这样n<0部分一定为零，无需再求。本例如此求解是为了证明留数辅助定理法的正确性。63【例2.5.7】已知,求其逆变换x(n)。解该例题没有给定收敛域，为求出唯一的原序列x(n)，必须先确定收敛域。分析X(z)，有两个极点：z=a和z=a－1，这样收敛域有三种选法，它们是（1）|z|>|a－1|，对应的

x(n)是因果序列（2）|z|<|a|，对应的

x(n)是左序列（3）|a|<|z|<|a－1|，对应的

x(n)是双边序列64下面分别按照不同的收敛域求其x(n)。（1）收敛域为|z|>|a－1|:

这种情况的原序列是因果的右序列，无须求n<0时的x(n)。当n≥0时，F(z)在c内有两个极点：z=a和z=a-1，因此最后表示成：x(n)=(an－a-n)u(n)。65（2）收敛域为|z|<|a|:这种情况原序列是左序列，无须计算n≥0情况。实际上，当n≥0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。n<0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和。

n<0时,最后将x(n)表示成封闭式：x(n)=(a-n－an)u(－n－1)66（3）收敛域为|a|<|z|<|a－1|:这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n≥0和n<0两种情况分别求x(n)。

n≥0时，c内只有1个极点：z=a,x(n)=Res［F(z),a］=an

n<0时，c内极点有2个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a－1，因此x(n)=－Res［F(z),a－1］=a－n最后将x(n)表示为即x(n)=a|n|67部分分式展开法

对于大多数单阶极点的X(z)，常用部分分式展开法求逆Z变换。方法：将有理分式X(z)，展开成简单常用的部分分式之和，求各简单分式的逆Z变换，再相加

得到x(n)。假设有N个一阶极点，可展成如下部分分式:68部分分式展开法

观察上式，/z在z=0的极点留数等于系数，在极点的留数就是系数。求出系数后，查表2.5.1可求得序列x(n)6970最后得到的原序列为：712.5.4Z变换的性质和定理

１．线性：满足叠加原理

ZT[ax(n)+by(n)]=aX(z)+bY(z)，R-＜|z|＜R+

(2.20)

例2.12求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的Z变换。由于出现零极点抵消，收敛域增大了。由于x(n)是n≥0的有限长序列，收敛域是除|z|=0之外的全部z平面。

72Z变换性质２．序列的移位：证明３．乘以指数序列

：证明73Z变换性质４．序列的线性加权（乘以n的ZT）

：证明

5．复共轭序列的ZT设X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+则ZT［x*(n)］=X*(z*)

Rx－<|z|<Rx+

74Z变换性质－－初值定理

６．初值定理：若x(n)是因果序列，即x(n)=0，n＜0，则证明：x(n)是因果序列，有

显然

若x(n)是逆因果序列，即x(n)=0，n＞0，有

75Z变换性质－－终值定理

７．终值定理：若x(n)是因果序列，且X(z)的全部极点，除在z=1处可以有一阶极点外，其余极点都在单位圆内，则

证明：由移位性质可得

x(n)是因果序列，则有

76Z变换性质８．时域卷积定理

：W(z)=ZT[x(n)*y(n)]=X(z)·Y(z)，R-＜|z|＜R+

证明交换求和次序，并代入m=n-k得77

【例2.5.9】已知网络的单位脉冲响应h(n)=anu(n)，|a|<1,网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。解

y(n)=h(n)*x(n)（1）直接求解线性卷积

78

（2）Z变换法由收敛域判定y(n)=0

n<0n≥0时，将y(n)表示为：

79

9．复卷积定理

如果ZT［x(n)］=X(z)

Rx－<|z|<Rx+

ZT［y(n)］=Y(z)

Ry－<|z|<Ry+

w(n)=x(n)y(n)则（2.5.24）W(z)的收敛域为

Rx－Ry－<|z|<Rx+Ry+

(2.5.25)（2.5.24）式中υ平面上，被积函数的收敛域为Z变换性质80证明

由X(z)的收敛域和Y(z)的收敛域得到：因此81【例2.5.10】已知x(n)=u(n)，y(n)=a|n|,若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZT［w(n)］，0＜a＜1。

解

W(z)的收敛域为|a|<|z|≤∞；被积函数υ平面上的收敛域为max(|a|,0)<|υ|<min(|a－1|,|z|)，υ平面上极点：a、a－1，c内极点：z=a。令则：82

10．帕斯维尔（Parseval）定理设X(z)=ZT［x(n)］Rx－<|z|<Rx+

Y(z)=ZT［x(n)］Ry－<|z|<Ry+

Rx－Ry－<1,Rx+Ry+>1那么（2.5.27）υ平面上，c所在的收敛域为利用复卷积定理可以证明上面的重要的帕斯维尔定理Z变换性质832.5.5利用Z变换求解差分方程

N阶线性常系数差分方程

x(n)是系统的输入序列y(n)是系统的输出序列ak和bk均为常数y(n－k)和x(n－k)项只有一次幂，也没有相互交叉相乘项，（2.5.30）a0=184N阶线性常系数差分方程的求解时域求解（递推解）

Z变换移位性质

Z变换求解

差分方程代数方程Z变换式输出序列逆Z变换解方程85

1．求稳态解

如果输入序列x(n)是在n=0以前∞时加上的，n时刻的y(n)是稳态解，对（2.5.30）式求Z变换，得到：式中：

X(z)86

2．求暂态解

对于N阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始条件。设x(n)是因果序列，即x(n)=0,n<0，已知初始条件:y(－1),y(－2),

,y(－N)。设

（2.5.33）

-(n-m)（2.5.30）87（2.5.34）零状态解:上式第一部分(与系统初始状态无关)零输入解:上式第二部分(与输入信号无关)求零状态解时，可用双边Z变换求解也可用单边Z变换求解，求零输入解却必须考虑初始条件，用单边Z变换求解。88Z变换求差分方程

例2.5.11

已知一个线性时不变系统的差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)，设初始条件y(-1)=2，输入求系统的输出y(n)。

解：于是

零输入解和零状态解分别为，

892.6利用Z变换分析信号和系统的频响特性频率响应函数与系统函数系统的零、极点分布与系统的频率响应特性特殊系统的系统函数及其特点系统函数的极点分布与系统的因果性和稳定性2.6.1频率响应函数与系统函数系统的时域特性用单位脉冲响应表示，对进行傅里叶变换，得到

称为系统的频率响应函数，或称系统的传输函数，它表征系统的频率响应特性。

将进行Z变换，得到一般称为系统的系统函数，它表征系统的复频域特性。91频率响应函数的表示

复函数

是以2π为周期的连续周期函数，用实部和虚部表示为

用幅度与相位表示为

的幅度响应

的相位响应

92

系统函数的表示

系统函数的定义系统函数

H(z):表示系统的零状态响应与输入序列z变换的比值

线性时不变系统93N阶差分方程的系统函数因果输入序列，零初始状态，差分方程取z变换，得到N阶差分方程的系统函数：线性时不变系统输入和输出满足差分方程

94

与频率响应

在数值上等于H(z)在z平面单位圆上的取值（H(z)必须在单位圆上收敛）。

如果已知系统函数H(z)，则可求得其频率响应，即

95频率响应的物理意义设输入序列是频率为ω的复指数序列，则由线性卷积公式，得到系统的响应y(n)即：离散线性时不变系统对输入为单频复指数序列的响应，仍为同频率ω的单频复指数序列。其幅度放大倍，相移变化为。

是一个与系统频率特性有关的量，如果输入为一般x(n)，则系统响应为对输入x(n)的所有频率成分响应的加权和。96正弦输入序列的系统频率响应可见，当离散线性时不变系统输入单频正弦序列时，输出仍为同频率的单频正弦序列，其幅度为频率响应幅度

的乘积，而相位为输入相位θ与系统相位响应之和。

972.6.2系统的极点分布与因果性和稳定性

如何根据H(z)的极点分布判断系统的因果性和稳定性?因果稳定的充分必要条件：一个因果稳定系统H(z)的收敛域必须在某个圆的外部，该圆包含H(z)所有的极点，而且<1（收敛域必须包含单位圆）。即

Rx-＜|z|≤+∞，0＜Rx-＜1

如果系统函数H(z)的所有极点都在单位圆内，则系统是因果稳定的。如果系统因果稳定，则系统的所有极点都在单位圆内。收敛域包含单位圆，系统稳定；收敛域包含无穷远，系统因果。98例：分析系统的因果性和稳定性例：已知一个线性时不变系统的系统函数，试确定系统的收敛域，并分析系统的因果性和稳定性。

解：对H(z)的分母进行因式分解得极点为-0.25，-0.5；零点为0，0.5，如右图所示。两个极点把平面划分为三个区域，所以H(z)的收敛域有三种可能的情况，下面分别进行讨论。99

如果收敛域是极点-0.5所在的圆的外部区域，收敛域包含∞点，有，因此系统是因果的。系统函数的收敛域为0.5＜|z|≤+∞

，而且包含单位圆，所以对应系统是稳定的。如果收敛域是极点-0.25所在的圆的内部区域，有，因此系统是逆因果的，收敛域为0≤|z|＜0.25。收敛域不包含单位圆，所以对应系统不是稳定的。如果收敛域是极点-0.25和-0.5所在的两个圆之间的环域，即0.25≤|z|＜0.5，收敛域不包含∞点，单位圆也没有位于收敛域内，所以对应系统是非因果且不稳定的。100

【例2.6.1】已知，分析其因果性和稳定性。

解

H(z)的极点为z=a,z=a－1，如图2.5.5所示。（1）收敛域为a－1<|z|≤∞:对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an－a－n)u(n)，这是一个因果序列，但不收敛。（2）收敛域为0≤|z|<a:对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a－n－an)u(－n－1)，这是一个非因果且不收敛的序列。（3）收敛域为a<|z|<a-1:对应一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列。1012.6.3系统的零极点分布与系统频率响应

对系统函数的分子、分母多项式进行因式分解

H(z)在z=cr处有零点，在z=dr处有极点

N＞M时，在z=0处有一个(N-M)阶零点

零点和极点分别由差分方程的系数ai和bi决定

除常数A外，系统函数完全由零点cr极点dr唯一确定

零、极点也是描述系统的一种方法，因为已知系统的零、极点分布，就可以大致了解系统的性能

102

将上式分子、分母同乘以zN+M，得到：设系统稳定，将z=ejω代入上式，得到频率响应函数2频率响应的几何确定法

零点矢量

：极点矢量：矢量的模即矢量长度；矢量的幅角是对应矢量与正实轴的夹角。

103频率响应几何确定法系统频率响应式可表示

幅度响应等于各零点矢量长度之积除以各极点矢量长度之积，再乘以常数A

相位响应等于各零点矢量的相角之和减去各极点矢量的相角之和，再加上线性分量ω(N-M)。

104频率响应几何确定法图示105零极点位置对频率响应的影响零点位置:

主要影响幅度响应的谷点值及形状。当B点旋转到某个零点cr

附近时，如果零点矢量长度最短，则幅度响应在该点可能出现谷点；零点cr

越靠近单位圆，零点矢量长度越短，则谷点越接近零；如果零点cr

在单位圆上，零点矢量长度为零，则谷点为零。

极点位置:

主要影响幅度响应的峰值及尖锐程度。当B点旋转到某个极点dr附近时，如果极点矢量长度最短，则幅度响应在该点可能出现峰值；极点dr越靠近单位圆，极点矢量长度越短，则幅度响应在峰值附近越尖锐；如果极点dr在单位圆上，极点矢量长度为零，则幅度响应的峰值趋于无穷大，此时系统不稳定。

106小结单位圆附近的零点位置对幅度响应波谷的位置和深度有明显的影响，零点可在单位圆外。在单位圆内且靠近单位圆附近的极点对幅度响应的波峰的位置和高度则有明显的影响，极点在单位圆上，则不稳定。利用直观的几何确定法，适当地控制零、极点的分布，就能改变系统频率响应的特性，达到预期的要求，因此它是一种非常有用的分析系统的方法。107

【例2.6.2】

已知H(z)=z-1，分析其频率特性。

解：由H(z)=z－1，可知极点为z=0，幅频特性|H(ejω)|=1,相频特性φ(ω)=－ω，当ω=0转到ω=2π时，极点向量的长度始终为1。

图2.6.2

H(z)=z－1的频响特性当ω=0转到ω=2π时，极点向量的长度始终为1。由该例可以得到结论：位于原点处的零点或极点，由于零点向量长度或者极点向量长度始终为1，因此原点处的零极点不影响系统的幅频响应特性，但对相频特性有贡献。108【例2.6.3】

设一阶系统的差分方程为y(n)=by(n－1)+x(n)用几何法分析其幅度特性。解由系统差分方程得到系统函数为

式中，0<b<1。系统极点z=b，零点z=0，当B点从ω=0逆时针旋转时，在ω=0点，由于极点向量长度最短，形成波峰；在ω=π点形成波谷；z=0处零点不影响幅频响应。极零点分布及幅度特性如图所示。如果-1<b<0，则峰值点出现在ω=π处，形成高通滤波器。

109【例2.6.4】已知H(z)=1－z－N，试定性画出系统的幅频特性。解

H(z)的极点为z=0，这是一个N阶极点，它不影响系统的幅频响应。零点有N个，由分子多项式的根决定

即N个零点等间隔分布在单位圆上，设N=8，极零点分布如图2.6.5所示。当ω从0变化到2π时，每遇到一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成峰值。幅度谷值点频率为：ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,

,N－1。110例2.6.4的梳状滤波器的极零点分布及幅频、相频特性N个零点等间隔分布在单位圆上，设N=8，极零点分布如图2.6.4所示。当ω从0变化到2π时，每遇到一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成峰值。幅度谷值点频率为：ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,

,N－1。根据其形状，称之为梳状滤波器。1112.6.4几种特殊系统的系统函数及其特点全通滤波器梳状滤波器最小相位系统1121全通系统（全通网络，全通滤波器）

定义：如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或1.

表明信号通过全通滤波器后，幅度谱保持不变，仅相位谱随φ(ω)改变，起纯相位滤波作用全通滤波器系统函数的一般形式：

频率响应函数1131全通系统（全通网络，全通滤波器）

或写成二阶滤波器级联形式：全通滤波器零点与极点互为共轭倒易关系用零极点表示如下：

全通滤波器一组零极点示意

可以证明上式表示的滤波器具有全通幅频特性114例：二阶全通系统

例：

设二阶全通系统的系统函数求系统的频率响应函数，并画出相应曲线。

解：2梳状滤波器系统函数，其频率响应函数以2π为周期，将

的变量

用代替，得到的，其频率响应是以为周期的，所以在区间【0，2π】上就有

N个相同的频率特性周期，从而可以构成各种梳状滤波器。115梳状滤波器可以滤除输入信号中的的频率分量。可用于消除信号中的电网谐波干扰和其它频谱的等间隔分布的干扰。11