第六章平面向量初步 综合复习卷-2024届高三数学一轮复习（含答案）

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一．选择题（共8小题）

1．已知O是四边形ABCD所在平面上任一点，则四边形ABCD一定为（）

A．菱形B．任意四边形C．平行四边形D．矩形

2．在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD的中点，若，则m+n的值是（）

A．1B．﹣1C．D．

3．设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则＝（）

A．B．C．D．

4．已知向量＝（x，2，3），＝（3，﹣4，﹣3），若（+）⊥，则x＝（）

A．﹣4B．4C．﹣4或1D．4或﹣1

5．已知A（0，1），B（3，﹣2），且，则的坐标为（）

A．（2，﹣1）B．（6，﹣5）C．（6，﹣6）D．（2，﹣2）

6．已知向量＝（m2，﹣9），＝（1，﹣1），则“m＝﹣3”是“∥”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

7．已知D是△ABC内部（不含边界）一点，若S△ABD：S△BCD：S△CAD＝5：4：3，＝x+y，则x+y＝（）

A．B．C．D．1

8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若sin2C＝sinC，b＝6，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为（）

A．38B．C．D．

二．多选题（共4小题）

9．半圆形量角器在第一象限内，且与x轴、y轴相切于D、E两点．设量角器直径AB＝4，圆心为C，点P为坐标系内一点．下列选项正确的有（）

A．C点坐标为（2，2）

B．

C．

D．若最小，则

10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为PB，PD的中点，则（）

A．在方向上的投影向量为

B．在方向上的投影向量为

C．在方向上的投影向量为

D．在方向上的投影向量为

11．已知向量，则（）

A．B．

C．若，则α+β＝2kπ（k∈Z）D．

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a+bcosC＝cosB+4cosC，，则的取值可能是（）

A．B．C．2D．

三．填空题（共4小题）

13．设，是空间两个不共线的向量，已知＝+k，＝5+4，＝﹣﹣2，且A，B，D三点共线，则实数k＝．

14．已知＝（1，2），＝（λ，1），若（+）⊥，则||＝．

15．如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'，E，F分别是上底面A'C'和侧面CD'的中心．若．则x+y＝．

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝4，CD⊥AB于点D，且ccosCcos（A﹣B）+4＝csin2C+bsinAsinC，则线段CD长度的最大值为．

四．解答题（共6小题）

17．化简下列各式：

（1）（+）+（）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）．

18．已知两个非零向量与不共线，

（1）若，，，求证：A、B、D三点共线；

（2）试确定实数k，使得与共线；

（3）若＝（1，2），＝（1，1），，且⊥，求实数λ的值．

19．已知两个非零向量与不共线．

（1）若与平行，求实数k的值；

（2）若，，且，求x．

20．四棱柱ABCD﹣A'B'C'D'的六个面都是平行四边形，点M在对角线A'B上，且|A'M|＝|MB|，点N在对角线A'C上，且|A'N|＝λ|A'C|．

（1）设向量＝，＝，＝，用、、表示向量、；

（2）若M、N、D'三点共线，求实数λ的取值．

21．已知坐标平面内三点A（﹣2，﹣4），B（2，0），C（﹣1，1）．

（1）若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标；

（2）若E（m，n）是线段AC上一动点，求（m﹣2）2+n2的取值范围．

22．在△ABC中，．

（Ⅰ）求∠A；

（Ⅱ）若△ABC的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求a的值．

条件①：；条件②：；条件③：

注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

参考答案

一．选择题（共8小题）

1--8CDACDAAB

二．多选题（共4小题）

9．ACD

10．ACD

11．ABD

12．BC

三．填空题（共4小题）

13．1

14．

15．

16．．

四．解答题（共6小题）

17．解：（1）原式＝；

（2）原式＝；

（3）＝；

（4）；

（5）＝．

18．（1）证明：∵，，，

∴＝

＝

＝＝5，

∴共线，

又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．

（2）解：∵与共线，

∴存在实数λ，使＝λ（），

即＝λ，∴（k﹣λ）＝，

∵是两个不共线的非零向量，

∴k﹣λ＝λk﹣1＝0，∴k2﹣1＝0，

解得k＝±1．

（3）∵＝（1，2），＝（1，1），，且⊥，

∴＝（1+λ，2+λ），

＝1+λ+2+λ＝0，解得λ＝﹣．

19．解：（1）因为与平行，且与不共线，

所以，

所以，解得k＝±1；

（2）因为，

所以，解得x＝2或﹣3，

经检验，均满足与不共线，故x＝2或﹣3．

20．解：（1）由题意有：＝＝，

由|A'M|＝|MB|，可得，

所以＝

＝＝；

（2）由（1）可知：，

又

＝＝

＝，

由M，N，D′三点共线，可得，

即，解得．

21．解：（1）设D（x，y）（x，y＞0），依题意可得，

又A（﹣2，﹣4），B（2，0），C（﹣1，1），

所以，，

所以，解得，即D（3，5）；

（2）设，λ∈[0，1]，

则（m+2，n+4）＝λ（1，5），

所以，则，

所以，

因为λ∈[0，1]，所以当时，（m﹣2）2+n2取最小值，

当λ＝0时，（m﹣2）2+n2取最大值32，

所以（m﹣2）2+n2的取值范围为．

22．解：（Ⅰ）因为bsin2A＝asinB，由正弦定理得，sinBsin2A＝sinAsinB，

又B∈（0，π），所以sinB≠0，得到sin2A＝sinA，

又sin2A＝2sinAcosA，所以2sinAcosA＝sinA，

又A∈（0，π），所以sinA≠0，得到cosA＝，所以A＝；

（Ⅱ）选条件①：sinC＝；

由（1）知，A＝，根据正弦定理知，＝＝＝＞1，即c＞a，

所以角C有锐角或钝角两种情况，△ABC存在，但不唯一，故不选此条件．

选条件②：；

因为S△ABC＝bcsinA＝bcsin＝bc＝3，所以bc＝12，

又，得到b＝c，代入bc＝12，得到c2＝12，解得c＝4，所以b＝3，

由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（3）2+42﹣2×3×4×＝27+16﹣36＝7，所以a＝．

选条件③：cosC＝；

因为S△ABC＝bcsinA＝bcsin＝bc＝3，所以bc＝12，

由cosC＝，得到sinC＝＝＝，

又sinB＝sin（π﹣A﹣C）