插值法(拉格朗日插值)课件

问题的提出拉格朗日插值埃尔米特插值曲线拟合的最小二乘法第三章插值法

/*Interpolation*/插值法(拉格朗日插值)§1问题的提出函数y=f(x)1）解析式未知；2）虽有解析式但表达式较复杂，通过实验计算得到的一组数据，即在某个区间[a,b]上给出一系列点的函数值yi=f(xi)，xx0x1x2……xny=f(x)y0y1y2……yn3）列表函数问题：无法求出不在表中的点的函数值，也不能进一步研究函数的其他性质，如函数的积分和导数等。因此需寻找y=f(x)的近似函数p(x),但要求p(xi)=f(xi)。——插值问题插值法(拉格朗日插值)已知精确函数y=f(x)在一系列节点x0…xn

处测得函数值y0

=f(x0),…yn

=f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数p(x)

f(x)，满足条件p(xi)=f(xi)(i=0,…n)。这里的p(x)

称为f(x)的插值函数。最常用的插值函数是…?多项式x0x1x2x3x4xp(x)

f(x)插值法(拉格朗日插值)§1.1Taylor插值函数y=f(x)在点x0处展开有Taylor

多项式:可见:Pn(k)(x0)=f

(k)(x0)k=0,1,…,n因此,Pn(x)在点x0邻近会很好的逼近f(x).

Taylor展开方法就是一种插值方法.泰勒插值要求提供

f(x)在点x0处的各阶导数,这仅仅适用于f(x)相当简单的情况.插值法(拉格朗日插值)

设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义，且给出一系列点上的函数值yi=f(xi)(i=0,1,2,…,n)，求作n次多项式pn(x)

使得

pn

(xi)=yi(i=0,1,2,…,n)

函数pn

(x)为f(x)的插值函数；称x0,x1,…xn称为插值节点或简称节点。插值节点所界的区间[a,b]称为插值区间。pn

(xi)=yi

称为插值条件。

构造的n次多项式可表示为:

Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

§1.2Lagrange插值插值法(拉格朗日插值)定理(插值多项式的存在唯一性)满足的n

阶插值多项式是唯一存在的。证明：(利用Vandermonde

行列式论证)这是一个关于a0,a1,…an的n+1元线性方程组,其系数行列式:由于i≠j时,xi≠

xj,因此,即方程组有唯一解.

插值法(拉格朗日插值)§2拉格朗日插值公式niyxPiin,...,0,)(==求n

次多项式使得条件：无重合节点，即n=1已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求使得111001)(,)(yxPyxP==可见P1(x)是过(x0,y0

)和(x1,y1

)两点的直线。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0

+y1l0(x)l1(x)

==10)(iiiyxl称为拉氏基函数插值法(拉格朗日插值)直线方程的两点式：线性插值l0(x)l1(x)

==10)(iiiyxlL1(x)插值法(拉格朗日插值)抛物插值l0(x)l1(x)l2(x)插值法(拉格朗日插值)n

1li(x)每个li有n

个根x0…

xi…xn

=-=---=njj

ijiniiixxCxxxxxxCxl00)())...()...(()(

-==j

ijiiiixxCxl)(11)(N次拉格朗日插值多项式与有关，而与无关节点f希望找到li(x)，i=0,…,n

使得

li(xj)=

；然后令

==niiinyxlxP0)()(，则显然有Pn(xi)=

yi

。n次多项式插值法(拉格朗日插值)

插值余项/*Remainder*/设节点在[a,b]内存在,考察截断误差，且f

满足条件,用简单的插值函数Ln(x)代替原复杂函数f(x),其精度取决于截断误差,即插值余项.——拉格朗日余项定理插值法(拉格朗日插值)注：

通常不能确定

,而是估计,

x(a,b)

将作为误差估计上限。

当

f(x)为任一个次数

n

的多项式时，,可知，即插值多项式对于次数

n的多项式是精确的。插值法(拉格朗日插值)例：已知分别利用sinx的1次、2次Lagrange插值计算sin50

并估计误差。解：n=1分别利用x0,x1

以及x1,x2

计算

利用这里而

sin50=0.7660444…)185(50sin10

pL0.77614外推

/*extrapolation*/

的实际误差

0.01001

利用sin50

0.76008,内插

/*interpolation*/

的实际误差

0.00596内插通常优于外推。选择要计算的x

所在的区间的端点，插值效果较好。插值法(拉格朗日插值)n=2)185(50sin20

pL0.76543

sin50=0.7660444…2次插值的实际误差

0.00061高次插值通常优于低次插值但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿……插值法(拉格朗日插值)

拉格朗日插值多项式编程容易，只需双重循环

如果发现当前的插值方法不够精确，就要增加插值点的个数，则拉格朗日插值基函数li(x)都将重新计算。

牛顿插值法将讨论该问题。插值法(拉格朗日插值)例：已知数据表

xk10111213f(xk)2.30262.39792.48492.5649试用二次插值计算f(11.75)(计算过程保留4位小数)．

解：因为11.75更接近12，故应取11，12，13三点作二次插值．先作插值基函数．已知x0=11,y0=2.3979，x1=12,y0=2.4849，x2=13,y2=2.5649

Ｌ2(x)=f(11.75)

Ｌ2(11.75)=

插值法(拉格朗日插值)例已知x=1,4,9的平方根值，用拉格朗日插值公式求71/2解：x0=1,x1=4,x2=9f(x0)=1,f(x1)=2,f(x2)=3L2(7)=(1–4)(1–9)(7–4)(7–9)*1+(4–1)(4–9)(7–1)(7–9)*2+(9–1)(9–4)(7–1)(7–4)*3=2.7(x0–x1