分组主成分评价法

分组主成分评价法

0分组主成分评价法主成分分析是一种使用较少代表指数的统计方法，而不是许多原始指标，并在不同领域得到广泛应用。而在综合评价中,应用主成分分析方法既可以消除各指标不同量纲的影响,也可以消除由各指标之间相关性所带来的信息重叠。特别是它克服了综合评价中人为确定各指标权重系数的问题。因此,主成分分析在综合评价中显示了它的优越性。一般在主成分分析中,第一主成分作为原始指标变量的综合指标,其意义恰好与综合评价的意义相同,而其他主成分的意义则并不明显。所以很多的综合评价是以第一主成分的得分多少进行排序的,方法简捷,意义也直观。但是这种方法有两个缺陷:一是第一主成分的代表性问题。它主要取决于变量指标间相关性,若相关性较大,则第一特征根会相对较大,第一主成分的贡献率也会较大,效果较好,反之,则效果较差。二是在第一主成分中各指标变量的系数正负,可能与评价的实际意义不符,如文中,第一主成分代表综合财务指标,按其大小进行了排序。但是在第一主成分中指标资本公积(X9)的系数为负值,表明资本公积越多,综合得分会越少,这显然是矛盾的。因为该项指标是正向指标,它越大表示公司资本扩张能力越强,综合得分应越多。因此,如何利用主成分分析在综合评价中优点,克服其缺点,采取一些改进方法是必要的。本文提出了分组主成分评价法。即先用因子分析方法将变量分组,然后分别对各组变量进行主成分分析,最后建立综合评价模型。这样可以避免单纯应用主成分法出现的一些问题。用本文提出的方法对文中的数据重新进行了分析,建立了一个较好的综合评价模型。1方法介绍1.1相关阵r的一般规定设有n个样本,每个样本由p个指标(Xi1,xi2,…,xip)表示,则原始数据构成一个n×p维的矩阵。进而得到标准化矩阵Z=(Zij)1.1.1求Z的相关阵RR=(rij)p×p1.1.2求相关阵R的特征值λ1≥λ2≥…≥λp≥0和对应的特征向量。1.1.3按主成分法提取公因子。一般根据累计贡献率k∑j=1λj/p∑j=1λj≥80%∑j=1kλj/∑j=1pλj≥80%,提取前R个主成分为公因子,也称为初始因子。1.1.4因子旋转一般,初始因子不易解释,常作正交变换,即旋转,以便能得到一个更简单的结构。最理想的结构是每个变量只在一个因子上有较大的载荷,而其余因子载荷较小。各因子中具有较大载荷的变量作为一组,所有的变量都分别归于某一组中,每一个变量仅归于一个因子,各组间的变量也是线性无关的。1.2求各主成分得分分别对各组变量进行主成分分析。由于各组内的变量极其相关,故只取第一主成分也是综合主成分即可代表,求出各组第一主成分的得分Cj(j=1,2,…k)。1.3综合评价模型的建立通过上述步骤我们把p个变量指标分为k个组,以各组的第一主成分得分Cj(j=1,2,…k)为各组的得分,以2.1.4中因子旋转后各因子的方差贡献为权重Wj=λ′jkΣj=1λ′j(j=1‚2‚⋯k),建立综合评价模型Fi=kΣj=1WjCj,(i=1,2,⋯n)根据各评价单元综合得分Fi的多少进行排序。2因子添加量的主成分分析本例数据了以自文,该数据是以我国31种股票1997年上半年的财务指标作为分析的样本,上市公司所公布的十项主要财务指标为:主营业务收入(万元),主营业务利润(万元),利润总额(万元),净利润(万元),总资产(万元),净资产(万元),净资产收益率(%),每股净资产(元),每股资本公积(元),每股收益(元),依次记为变量X1—X10。我们以样本的相关阵为依据,采用主成分法提取初始公因子,再采用方差最大旋转方法得到的因子载荷矩阵,见表1:由表1可知,初始第一公因子L1(第一主成分)中X9的负荷系数为负值,若以第一主成分得分进行评价显然与实际情况不相符。况且其第一主成分的累计贡献率也仅为53.63%,达不到要求。所以通过因子正交旋转后在在各因子中负荷系数较大的变量作为一组,则分为如下三组(X1,X2,X3,X4,X5,X6)、(X7,X10)、(X8,X9)。下面分别对三组变量进行主成分分析,由于各组变量的第一主成分的贡献率都达到80%以上,故各组都只提取第一个主成分列于表2:由表1和表2的结果,我们建立的综合评价模型为Fi=4.98834.9883+2.0288+2.0271C1+2.02884.9883+2.0288+2.0271C2+2.02774.9883+2.0288+2.0271C3其中C1、C2、C3分别为C1=0.4036z1+0.4177z2+0.4442z3+0.4446z4+0.3382z5+0.3915z6C2=0.7071z8+0.7071z9,C3=0.7071z7+0.7071z10只要将各评价单元的标化后的数据代入即可进行评价。从上面的综合评价模型可看到,模型中包括了参与评价的所有变量指标,且每个指标在评价过程中只出现一次,各变量指标的权重也符合实际意义。所以,该模型既体现了综合评价系统的完备性,也具有简捷性。3多层次分组主成分综合评价模型的建立该评价方法是综合了主成分分析和因子分析的优点,同时又克服了它们各自的缺点。这主要表现在一是利用了主成分分析中第一主成分的综合作用,便于综合评价模型的解释;二是借用因子分析方法通过正交旋转对变量进行分组,构造评价体系结构,并且每个变量指标都包含在内,保证了评价体系的完备性,但并不一定要求使各因子必须具有实际意义。三是在建立的综合评价模型中,每个指标及对应的权重都很明确,便于实际应用。当对