辽宁省大连市名校2023-2024学年高三上学期10月高考适应性测试（一）数学试题（含答案）

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大连市名校2023-2024学年高三上学期10月高考适应性测试（一）

数学

考生注意：

1.本试卷共150分,考试时间120分钟。分四大题，22小题，共4页

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容

一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）

1．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，点为的中点，为坐标原点，，，的面积为，则该双曲线的方程为（）

A．B．C．D．

2．已知函数，则下列说法正确的是

①函数图象的一条对称轴的方程为；②函数在闭区间上单调递增；

③函数图象的一个对称中心为点；④函数的值域为.

A．①②B．③④C．①③D．②④

3．定义在R上的函数和的导函数分别为，，则下面结论正确的是

①若，则函数的图象在函数的图象上方；

②若函数与的图象关于直线对称，则函数与的图象关于点（，0）对称；

③函数，则；

④若是增函数，则.

A．①②B．①②③C．③④D．②③④

4．的展开式中的系数为（）

A．B．C．D．

5．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（）

A．4B．3C．2D．1

6．设函数，若，，，则（）

A．B．

C．D．

7．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，若g（x）满足，则的可能值为（）

A．B．C．D．

8．如图，函数、、的图象和直线将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数的图象经过的部分是④⑧，则可能是（）

A．y＝x2B．C．D．y=x-2

二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）

9．已知，若函数在处取得极小值，则下列结论正确的是（）

A．当时，B．当时，

C．D．

10．下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（）

A．B．

C．D．

11．如图，小明、小红分别从街道的、处出发，到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则（）

A．小红到老年公寓可以选择的最短路径条数为

B．小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

C．若小明不经过处，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

D．若小明先到处与小红会合，再与小红一起到老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

12．已知函数的定义域为，且．若的图象关于点对称，，则（）

A．B．的图象关于直线对称

C．D．

三、填空题（每题5分，共20分）

13．已知F是双曲线的右焦点，直线与双曲线E交于A，B两点，O为坐标原点，P，Q分别为，的中点，且，则双曲线E的离心率为．

14．为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了6个小队在校园最具有代表性的3个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有1支小队拍摄，则不同的分配方法有种（用数字作答）

15．已知，则.

16．已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为．

四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）

17．如图，已知四棱锥，是等边三角形，，，，，是的中点．

（1）求证：直线平面；

（2）求直线与平面所成角的值．

18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求B；

(2)若，的周长的取值范围．

19．已知双曲线（，）的焦距为，且双曲线右支上一动点到两条渐近线，的距离之积为．

（1）求双曲线的方程；

（2）设直线是曲线在点处的切线，且分别交两条渐近线，于、两点，为坐标原点，证明：面积为定值，并求出该定值．

20．如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且.

(1)求二面角的余弦值；

(2)求四棱锥外接球的体积.

21．已知函数，

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）判断函数在区间上的单调性．

22．已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足，求证：

(1)数列为等差数列；

(2)数列中任意三项均不能构成等比数列.大连市名校2023-2024学年高三上学期10月高考适应性测试（一）

数学参考答案

一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）

12345678

CACBCDBB

二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）

9101112

ADACABDBC

三、填空题（每题5分，共20分）

13．14．54015．16．

四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）

17．【详解】（1）取的中点，连接、，

根据中位线定理，，且，

又，所以，，则四边形为平行四边形，∴，

∵平面，平面，∴平面；

（2）以为原点，、、过且垂直底面的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

设，则、、、，设，

由，，，

上面联立解方程组得，，，

故点，所以，得到，

平面的法向量为，由．

故直线与平面所成角的正弦值为．

18．【详解】(1)

解：由正弦定理得．

因为，所以．

由，可得，

所以．

因为，所以，

所以，

(2)

解：由于，，有正弦定理，

所以，，

由于，

因为，所以．

因此

19．【详解】解：（1）双曲线（，）的渐近线方程为和，

由动点到两条渐近线，的距离之积为，

则，

又，即，

解得，，

则双曲线的方程为．

（2）证明：设直线的方程为，

与双曲线的方程联立，可得，

直线与双曲线的右支相切，可得，可得，

设直线与轴交于，则，

，

又双曲线的渐近线方程为，

联立，可得，

同理可得，

则．

即有面积为定值2．

20．【详解】（1）解：在等腰梯形中，作于，

则，所以，

连接，则，

因为，所以，所以，所以，

又因为，且，平面，所以平面，

又由平面，所以，

因为且，平面，所以平面，

又因为平面，所以，

因为，所以就是二面角的平面角，

在直角中，，

所以二面角的余弦值为.

（2）解：取的中点，连接，可得证四边形、均为平行四边形，

所以，所以为等腰梯形的外心，

取的中点，连接，可得，

因为平面，所以平面，

又因为，所以为四棱锥外接球的球心，

所以球的半径为，所以.

21．【详解】（1）令，即，

解得或，所以的定义域为，

而

，

所以为奇函数.

（2）令，则，

又，

设，且，

则

因为，且，

所以，，

因此，即在上单调递增，

又因为在上单调递增，

所以在上单调递增.

22．【详解】（1）解：因为数列为等