第四章 指数函数与对数函数 基础复习卷2024届高三数学一轮复习（含答案）

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一．选择题（共8小题）

1．若p：实数a使得“”为真命题，q：实数a使得“x∈[0，+∞），2x﹣a＞0”为真命题，则p是q的（）

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2．著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏．今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是1%，一年后是1.01365；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是1%，一年后是0.99365，可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍．那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进步”是“落后”的10000倍，大约需要经过（lg2≈0.301，lg3≈0.477）（）

A．17天B．19天C．23天D．25天

3．函数y＝logax+ax﹣1+2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（k，b），若m+n＝b﹣k且m＞0，n＞0，则的最小值为（）

A．9B．8C．D．

4．哈尔滨市实行“阶梯水价”，具体收费标准如表所示：

年用水量价格

不超过150m3的部分2.4元/m3

超过150m3不超过250m3的部分3.6元/m3

超过250m3的部分7.2元/m3

若小李同学年用水量为200m3，则应交水费为（）

A．720元B．540元C．480元D．560元

5．已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，则tmin后物体的温度θ℃满足公式（其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）．某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在20℃空气中，冷却2min后牛奶的温度是50℃，则下列说法正确的是（）

A．k＝ln2

B．k＝2ln2

C．牛奶的温度降至35℃还需4min

D．牛奶的温度降至35℃还需2min

6．某甜品店举行促销活动，3个提拉米苏与4个蛋糕卷的价格之和大于85元，4个提拉米苏与5个蛋糕卷的价格之和小于110元，则（）

A．2个提拉米苏的价格比3个蛋糕卷的价格高

B．3个蛋糕卷的价格比2个提拉米苏的价格高

C．2个提拉米苏的价格与3个蛋糕卷的价格相同

D．不能确定2个提拉米苏的价格与3个蛋糕卷的价格哪个更高

7．已知a＝2，c＝ln2，则（）

A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a

8．设，则（）

A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜c＜a

二．多选题（共4小题）

9．下列函数满足f（log23）＝﹣f（log32）的是（）

A．B．C．f（x）＝lnxD．f（x）＝1﹣x

10．已知a＝lg2，b＝lg3，则（）

A．a+b＝lg6B．

C．D．

11．关于函数，下列说法正确的有（）

A．f（x）在区间上单调递增

B．f（x）在区间上单调递增

C．函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）

D．方程f（x）＝2有无穷多个解

12．已知函数f（x）＝xex﹣ax﹣1，则关于f（x）的零点，叙述错误的是（）

A．当a＝0时，函数f（x）有两个零点

B．函数f（x）必有一个零点是正数

C．当a＜0时，函数f（x）有两个零点

D．当a＞0时，函数f（x）只有一个零点

三．填空题（共4小题）

13．函数y＝lg（1+x）﹣lg（x﹣1）的定义域是．

14．已知log3a+log3b＝log3（a+2b），则log3（2a+b）的最小值为．

15．已知a＞1，b＞1，且lga+3lgb＝2，则loga10+logb1000的最小值为．

16．计算：＝．

四．解答题（共6小题）

17．解下列各题：

（1）化简：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2；

（2）因式分解：3x2﹣6xy+3y2﹣27m2；

（3）计算：．

18．求满足下列条件的各式的值：

（1）若xlog34＝1，求4x+4﹣x的值；

（2）若f（x）＝3x，求f（log32）的值．

19．已知函数．

（1）利用“五点法”，完成以下表格，并画出函数f（x）在区间上的图象；

0π

x

f（x）000

（2）求出函数f（x）的单调减区间；

（3）当时，f（x）﹣a＝0有解，求实数a的取值范围．

20．某公园为了加强园区文化建设，计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD放置一组文化雕刻石，规定ABCD的每条边长均不超过20米．如图所示，矩形EFGH为石雕放置区，且A，B，E，F四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径．设AB＝x（单位：米），石雕放置区域EFGH的面积为S（单位：平方米）．

（1）将S表示为x的函数，并写出x的取值范围；

（2）当AB为多长时，S取得最大值？并求出此最大值．

21．为响应国家“以国内循环为主体，国内国际双循环相互促进，推动中国高质量发展”的政策，某企业拟在2023年举行产品促销活动，助力企业经济发展．经调查测算，该产品的年销量（即该企业的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是2万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，企业将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本仅包括固定投入和再投入两部分）．

（1）求常数k的值；

（2）将该企业2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数（利润＝总销售额﹣产品成本﹣年促销费用）；

（3）该企业2023年的年促销费用投入多少万元时企业利润最大？并求出最大值．

22．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，50≤x≤100（单位：千米/小时）．假设汽油的价格是每升8元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时80元．

（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；

（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1--8ACBBDBBC

二．多选题（共4小题）

9．AC

10．AD

11．ABD

12．ACD．

三．填空题（共4小题）

13．（1，+∞）

14．2

15．8

16．．

四．解答题（共6小题）

17．解：（1）原式＝x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣3xy﹣4y2＝﹣7xy；

（2）原式＝3（x2﹣2xy+y2﹣9m2）＝3[（x﹣y）2﹣（3m）2]＝3（x﹣y+3m）（x﹣y﹣3m）；

（3）原式＝．

18．解：（1）若xlog34＝1，

则x＝＝＝log43，

所以；

（2）因为f（x）＝3x，

所以．

19．解：（1）列表、画图如下：

0π2π

x

f（x）000

（2）由，k∈Z，得：，k∈Z，

∴f（x）的单调减区间为：，，k∈Z，

（3）∵，

∴，0]，

∴，．

∴，1]．

∵f（x）﹣a＝0有解，即a＝f（x）有解，

∴，1]．

20．解：（1）因为AB＝x，所以，

所以，

因为，解得5≤x≤20，

所以，x的取值范围为[5，20]；

（2），

当且仅当时取等号，

当米时，S取得最大值，最大值为．

21．解：（1）由题意得当t＝0时，x＝2，

代入，∴，

解得k＝2；

（2）由（1）得当k＝2时，，

由题意可得y＝1.5x﹣（8+16x）﹣t，

∴y＝（16x+8）×﹣t＝8x+4﹣t＝36﹣﹣t（t≥0）；

（3）由（2）得，

∴，

又＝8，

当且仅当，即t＝