江苏省宿迁市沭阳县如东实验学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含解析）

第第页江苏省宿迁市沭阳县如东实验学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含解析）2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县如东实验学校九年级第一学期第一次月考数学试卷

一、选择题

1．一元二次方程5x2＝6x﹣8的二次项系数、一次项系数及常数项分别是（）

A．5，6，8B．5，6，﹣8C．5，﹣6，﹣8D．5，﹣6，8

2．方程3x2＝1的解为（）

A．±B．±C．D．±

3．下列说法正确的是（）

A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧

B．平分弦的直径垂直于弦

C．垂直于直径的弦平分这条直径

D．弦的垂直平分线经过圆心

4．已知⊙O的半径为4，若PO＝3，则点P与⊙O的位置关系是（）

A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断

5．在平面直角坐标系中，以点（﹣3，4）为圆心，3为半径的圆（）

A．与x轴相离，与y轴相切

B．与x轴相离，与y轴相交

C．与x轴相切，与y轴相交

D．与x轴相切，与y轴相离

6．若一组数据2，3，5，x，7的平均数为5，则x的值是（）

A．6B．7C．4D．8

7．甲乙两班的学生人数相等，参加了同一次数学测试，两班的平均分都是89分，方差分别为S甲2＝2.56，

S乙2＝1.92，那么成绩比较整齐的班级是（）

A．甲班B．乙班

C．两班一样整齐D．无法确定

8．已知a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b的值是（）

A．19B．20C．14D．15

二、填空题

9．已知是关于x的一元二次方程，则m＝．

10．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是．

11．已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，则x1x2＝．

12．某药店一月份销售口罩500包，三月份销售口罩605包，设该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为x，则可列方程．

13．如图摆放着正五边形ABCDE和正三角形△EFG，其中点A、B、F在同一直线上，EG∥BF，则∠DEG的度数是．

14．一个扇形的圆心角为135°，半径为2，则该扇形的面积为．

15．学校举行科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，再按照创新设计占60%，现场展示占40%计算选手的综合成绩（百分制）．小华本次比赛的各项成绩分别是：创新设计85分，现场展示90分，则他的综合成绩是分．

16．一组数据2，1，3，1，2，的中位数是．

17．若一组数据1、3、x、5、8的众数为8，则这组数据的方差是．

18．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点O为正方形的中心，点E为AD边上的动点，连接OE，作OF⊥OE交CD于点F，连接EF，P为EF的中点，C为边CD上一点，且CD＝3CG，连接PA，PG，则PA+PG的最小值为．

三、解答题

19．解一元二次方程：

（1）2x2﹣1＝7；

（2）x2﹣x﹣7＝0．

20．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，AB＝CD，OE⊥CD，OF⊥AB，垂足分别为E，F．比较CE和AF的大小，并证明你的结论．

21．为了发展体育运动，培养学生的综合能力，某学校成立了足球队、篮球队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩记录如下表：

射击次序（次）一二三四五六七八九十

甲的成绩（环）8979867a108

乙的成绩（环）679791087710

（1）经计算甲和乙的平均成绩都是8环，请求出表中的a＝；

（2）甲射击成绩的中位数和乙射击成绩的众数各是多少？

（3）若甲成绩的方差是1.2，请求出乙成绩的方差，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？

22．请你根据给出的信息解答下列问题：某市疫情统计如下：共有200名患者，图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图不完整，图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．

（1）轻症患者的人数是多少？

（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？

（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？

23．某商品每件进价为30元，当销售单价为50元时，每天可以销售60件．市场调查发现：销售单价每提高1元，日销售量将会减少2件，物价部门规定该商品销售单价不能高于65元，设该商品的销售单价为x（元），日销售量为y（件）．

（1）y与x的函数关系式为；

（2）要使日销售利润为800元，销售单价应定为多少元？

24．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，

（1）画出过A，B，C三点的圆的圆心P，并求出圆心P的坐标为．

（2）求出圆的直径．

25．对于在平面直角坐标系xOy中的两点P（x1，y1）和Q（x2，0），给出如下定义：若OP＝3﹣x2（0＜x2≤1），则称点P为点Q的依附点．

（1）当x2＝1时，在点P1（2，0），P2（﹣1，），P3（1，﹣1）中，点Q的依附点是；

（2）若直线y＝x上的点P是点Q的依附点，求点P横坐标的取值范围；

（3）若直线y＝﹣x+m上存在点Q的依附点，直接写出m的取值范围．

26．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．

27．如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，弧CF＝弧CB，BF与CD交于点G．

（1）求证：CD＝BF；

（2）若BE＝2，BF＝8，求GE的长；

（3）连接GO，OF，如图2，求证：2∠∠AOF＝90°．

28．阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．

（1）问题：方程6x3+14x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝，x3＝；

（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；

（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝14m，宽AB＝12m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为28m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．

参考答案

一、选择题

1．一元二次方程5x2＝6x﹣8的二次项系数、一次项系数及常数项分别是（）

A．5，6，8B．5，6，﹣8C．5，﹣6，﹣8D．5，﹣6，8

【分析】把方程化为一元二次方程的一般形式后，即可写出各项系数．

解：原方程化为一般形式为：5x2﹣6x+8＝0，

则二次项系数、一次项系数及常数项分别是5，﹣6，8．

故选：D．

【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确化为一元二次方程的一般形式是解题的关键．

2．方程3x2＝1的解为（）

A．±B．±C．D．±

【分析】先把系数化1，再直接开平方．

解：先把系数化1，x2＝，

再直接开平方，x＝±＝±．

故选：D．

【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

3．下列说法正确的是（）

A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧

B．平分弦的直径垂直于弦

C．垂直于直径的弦平分这条直径

D．弦的垂直平分线经过圆心

【分析】根据垂径定理对A、C进行判断；根据垂径定理的推论对B、D进行判断．

解：A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误；

B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；

C、垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误；

D、弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确．

故选：D．

【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

4．已知⊙O的半径为4，若PO＝3，则点P与⊙O的位置关系是（）

A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断

【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．

解：∵⊙O的半径为4，若PO＝3，

而3＜4，

∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内部，

故选：A．

【点评】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．

5．在平面直角坐标系中，以点（﹣3，4）为圆心，3为半径的圆（）

A．与x轴相离，与y轴相切

B．与x轴相离，与y轴相交

C．与x轴相切，与y轴相交

D．与x轴相切，与y轴相离

【分析】由已知点（﹣3，4）可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．

解：点（﹣3，4）到x轴为4，大于半径3，

点（﹣3，4）到y轴的距离为3，等于半径3，

故该圆与x轴相离，与y轴相切，

故选：A．

【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．

6．若一组数据2，3，5，x，7的平均数为5，则x的值是（）

A．6B．7C．4D．8

【分析】根据算术平均数的定义列出关于x的方程，解之即可．

解：∵数据2，3，5，x，7的平均数为5，

∴＝5，

解得x＝8．

故选：D．

【点评】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义．

7．甲乙两班的学生人数相等，参加了同一次数学测试，两班的平均分都是89分，方差分别为S甲2＝2.56，

S乙2＝1.92，那么成绩比较整齐的班级是（）

A．甲班B．乙班

C．两班一样整齐D．无法确定

【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

解：∵S甲2＝2.56，S乙2＝1.92，

∴S2甲＞S乙2，

∴成绩较为整齐的是乙班．

故选：B．

【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

8．已知a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b的值是（）

A．19B．20C．14D．15

【分析】把x＝a与x＝b分别代入方程得到a2＝a+1，b2＝b+1，根据根与系数的关系得到a+b＝1，原式变形后代入计算即可求出值．

解：∵a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，

∴a2﹣a﹣1＝0，b2﹣b﹣1＝0，a+b＝1，

∴a2＝a+1，b2＝b+1，

则原式＝2aa2+5a+3bb2+3b

＝2a（a+1）+5a+3b（b+1）+3b

＝2a2+7a+3b2+6b

＝2（a+1）+3（b+1）+7a+6b

＝9a+9b+5

＝9×1+5

＝14．

故选：C．

【点评】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，以及代数式求值，熟练掌握方程解的定义以及根与系数的关系是解本题的关键．

二、填空题

9．已知是关于x的一元二次方程，则m＝﹣1．

【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．直接利用一元二次方程的定义得出m2+1＝2，m﹣1≠0，进而得出答案．

解：∵方程是关于x的一元二次方程，

∴m2+1＝2，m﹣1≠0，

解得：m＝﹣1．

故答案为：﹣1．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握未知数的次数与系数是解题关键．

10．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是k＞﹣且k≠0．

【分析】根据一元二次方程根的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．

解：根据题意得k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣2）＞0，

解得k＞﹣且k≠0．

即实数k的取值范围是k＞﹣且k≠0．

故答案为：k＞﹣且k≠0．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．

11．已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，则x1x2＝3．

【分析】直接根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系求解即可．

解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，

∴x1x2＝＝3．

故答案为3．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．

12．某药店一月份销售口罩500包，三月份销售口罩605包，设该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为x，则可列方程500（1+x）2＝605．

【分析】根据题意列出方程即可作答．

解：根据题意，可得：500（1+x）2＝605，

故答案为：500（1+x）2＝605．

【点评】本题考查理解题意的能力，本题是个增长率问题，发生了两次变化，先找出一月份的产量和三月份的产量，从而可列出方程．

13．如图摆放着正五边形ABCDE和正三角形△EFG，其中点A、B、F在同一直线上，EG∥BF，则∠DEG的度数是144°．

【分析】利用平行线的性质求出∠AEG＝108°，可得结论．

解：在正五边形ABCED中，∠BAE＝∠AED＝108°，

∵EG∥BF，

∴∠AEG＝∠BAE＝108°，

∴∠DEG＝360°﹣108°﹣108°＝144°．

故答案为：144°．

【点评】本题考查正多边形与圆，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

14．一个扇形的圆心角为135°，半径为2，则该扇形的面积为．

【分析】利用扇形的面积公式求解即可．

解：扇形的面积＝＝．

故答案为：．

【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积：S＝．

15．学校举行科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，再按照创新设计占60%，现场展示占40%计算选手的综合成绩（百分制）．小华本次比赛的各项成绩分别是：创新设计85分，现场展示90分，则他的综合成绩是87分．

【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可．

解：根据题意可得，他的综合成绩是85×60%+90×40%＝87（分），

故答案为：87．

【点评】本题考查加权平均数，理解加权平均数的定义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．

16．一组数据2，1，3，1，2，的中位数是2．

【分析】把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．

解：把这组数据从小到大排序后为1，1，2，2，3，

∴这组数据的中位数为2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

17．若一组数据1、3、x、5、8的众数为8，则这组数据的方差是7.6．

【分析】根据众数的定义先求出x的值，再根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，然后根据方差公式进行计算即可得出答案．

解：一组数据1、3、x、5、8的众数为8，

所以x＝8．

于是这组数据为1、3、8、5、8．

该组数据的平均数为：（1+3+8+5+8）＝5，

方差S2＝[（1﹣5）2+（3﹣5）2+2×（8﹣5）2+（5﹣5）2]＝7.6．

故答案为：7.6．

【点评】本题考查了平均数、众数、方差的意义．①平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”；②众数是一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，有时众数在一组数中有好几个；③方差是用来衡量一组数据波动大小的量．

18．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点O为正方形的中心，点E为AD边上的动点，连接OE，作OF⊥OE交CD于点F，连接EF，P为EF的中点，C为边CD上一点，且CD＝3CG，连接PA，PG，则PA+PG的最小值为．

【分析】如图，连接OA，OD，由题意知，∠OAE＝∠ODF＝45°，∠AOD＝90°，OA＝OD，由∠AOE＝∠AOD﹣∠DOE，∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE得，∠AOE＝∠DOF，证明△AOE≌△DOF（ASA），则OE＝OF，△EOF是等腰直角三角形，由P是EF中点，则OP⊥EF，∠OPF＝90°，∠PFO＝45°＝∠POF，如图，过O作OM⊥AD于M，过O作ON⊥CD于N，由∠OPF+∠ONF＝180°，可知O，P，F，N四点共圆，由，可得∠PNF＝∠POF＝45°，进而可得P在线段MN上运动，如图，延长MN，作点A关于MN对称的点A′，过A′作A′H⊥CD于H，连接A′G交MN于P′，连接AP′，由题意知DH＝A′H＝AB＝3，，A′P′＝AP′，且A′P′+P′G＝AP′+P′G，可知当A′，P′，G三点共线时，AP′+P′G值最小，在Rt△A′GH中，由勾股定理得，，计算求解A′G的值即可．

解：如图，连接OA，OD，

由题意知，∠OAE＝∠ODF＝45°，∠AOD＝90°，OA＝OD，

∵OF⊥OE，

∴∠EOF＝90°＝∠AOD，

∵∠AOE＝∠AOD﹣∠DOE，∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE，

∴∠AOE＝∠DOF，

在△AOE和△DOF中，

，

∴△AOE≌△DOF（ASA），

∴OE＝OF，

∴△EOF是等腰直角三角形，

∵P是EF中点，

∴OP⊥EF，

∴∠OPF＝90°，∠PFO＝45°＝∠POF，

如图，过O作OM⊥AD于M，过O作ON⊥CD于N，

∴∠ONF＝90°，

∵∠OPF+∠ONF＝180°，

∴O，P，F，N四点共圆，

∵，

∴∠PNF＝∠POF＝45°，

∴P在线段MN上运动，

如图，延长NM，作点A关于MN对称的点A′，过A′作A′H⊥CD于H，连接A′G交MN于P′，连接AP′，

由题意知DH＝A′H＝AB＝3，A′P′＝AP′，

∴A′P′+P′G＝AP′+P′G，

∴A′，P′，G三点共线时，AP′+P′G值最小，

∵HG＝DH+DG＝3+4＝7，

在Rt△A′GH中，由勾股定理得，A′G＝，

∴AP+PG的最小值为，

故答案为：．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆的内接四边形，对称的性质，等腰三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识．解题的关键在于确定点P的运动轨迹．

三、解答题

19．解一元二次方程：

（1）2x2﹣1＝7；

（2）x2﹣x﹣7＝0．

【分析】（1）移项，合并同类项，方程两边都除以2，再开方即可；

（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可．

解：（1）2x2﹣1＝7，

2x2＝7+1，

2x2＝8，

x2＝4，

解得：x1＝2，x2＝﹣2；

（2）x2﹣x﹣7＝0，

这，里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣7，

∵b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣7）＝29＞0，

∴x＝＝，

∴x1＝，x2＝．

【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．

20．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，AB＝CD，OE⊥CD，OF⊥AB，垂足分别为E，F．比较CE和AF的大小，并证明你的结论．

【分析】由OE⊥CD，得到CE＝CD，同理：AF＝，而AB＝CD，即可证明问题．

解：CE＝AF，理由如下：

∵OE⊥CD，

∴CE＝CD，

∵OF⊥AB，

∴AF＝，

∵AB＝CD，

∴CE＝AF．

【点评】本题考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．

21．为了发展体育运动，培养学生的综合能力，某学校成立了足球队、篮球队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩记录如下表：

射击次序（次）一二三四五六七八九十

甲的成绩（环）8979867a108

乙的成绩（环）679791087710

（1）经计算甲和乙的平均成绩都是8环，请求出表中的a＝8；

（2）甲射击成绩的中位数和乙射击成绩的众数各是多少？

（3）若甲成绩的方差是1.2，请求出乙成绩的方差，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？

【分析】（1）根据平均数的定义列出关于a的方程，解之即可；

（2）根据中位数和众数的定义求解即可；

（3）先计算出乙成绩的方差，再根据方差的意义判断即可．

解：（1）根据题意知，×（6+7×2+8×3+9×2+10+a）＝8，

解得a＝8，

故答案为：8；

（2）甲成绩排序后最中间的两个数据为8和8，

所以甲成绩的中位数是×（8+8）＝8；

乙成绩中出现次数最多的为7，

故乙成绩的众数是7；

（3）乙成绩的方差为×[（﹣1）2×4+12×2+22×2+（﹣2）2+02]＝1.8，

∵甲和乙的平均成绩都是8环，而甲成绩的方差小于乙成绩的方差，

∴甲的成绩更为稳定．

【点评】本题考查了方差、中位数以及众数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

22．请你根据给出的信息解答下列问题：某市疫情统计如下：共有200名患者，图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图不完整，图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．

（1）轻症患者的人数是多少？

（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？

（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？

【分析】（1）由总人数乘以轻症患者所占的百分比即可；

（2）首先求出危重症患者的人数，再根据每人的平均花费可得答案；

（3）先求出重症患者的人数和危重症患者的人数，再用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可．

解：（1）200×80%＝160（人），

答：轻症患者的人数是160人；

（2）200×（1﹣15%﹣80%）＝10（人），

10×10＝100（万元），

答：该市为治疗危重症患者共花费100万元；

（3）轻症患者的人数是200×80%＝160（人），

×（1.5×160+3×30+100）＝2.15（万元），

答：所有患者的平均治疗费用是2.15万元．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图、扇形统计图的应用．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．

23．某商品每件进价为30元，当销售单价为50元时，每天可以销售60件．市场调查发现：销售单价每提高1元，日销售量将会减少2件，物价部门规定该商品销售单价不能高于65元，设该商品的销售单价为x（元），日销售量为y（件）．

（1）y与x的函数关系式为y＝﹣2x+160（30≤x≤65）；

（2）要使日销售利润为800元，销售单价应定为多少元？

【分析】（1）由题意易得日销售量与销售单价成反比，得到y＝60﹣2（x﹣50），即可解得；

（2）根据一次函数的性质即可求解．

解：（1）根据题意得，y＝60﹣2（x﹣50）＝﹣2x+160，

故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+160（30≤x≤65），

故答案为：y＝﹣2x+160（30≤x≤65）；

（2）（x﹣30）（﹣2x+160）＝800，

解得：x1＝40，x2＝70（舍去），

答：销售单价应定为40元．．

【点评】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．

24．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，

（1）画出过A，B，C三点的圆的圆心P，并求出圆心P的坐标为（﹣1，﹣2）．

（2）求出圆的直径．

【分析】（1）连接AB，BC，分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点P，就是过A，B，C三点的圆的圆心，有图形可得P的坐标；

（2）由勾股定理即可求得圆的直径．

解：（1）如图所示：连接AB，BC，分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点P，

则点P就是过A，B，C三点的圆的圆心，有图形可知P的坐标为P（﹣1，﹣2），

故答案为：（﹣1，﹣2）；

（2）连接PB，设CB和过P点的垂线的交点为C，

由勾股定理得PB＝＝，

故圆的直径为2．

【点评】此题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是根据垂径定理得出圆心位置．

25．对于在平面直角坐标系xOy中的两点P（x1，y1）和Q（x2，0），给出如下定义：若OP＝3﹣x2（0＜x2≤1），则称点P为点Q的依附点．

（1）当x2＝1时，在点P1（2，0），P2（﹣1，），P3（1，﹣1）中，点Q的依附点是P1，P2；

（2）若直线y＝x上的点P是点Q的依附点，求点P横坐标的取值范围；

（3）若直线y＝﹣x+m上存在点Q的依附点，直接写出m的取值范围．

【分析】（1）根据依附点的定义判定即可；

（2）根据勾股定理得出|2x|＝3﹣x2，即可得出x＝±，根据0＜x2≤1即可求得点P横坐标的取值范围；

（3）求得直线y＝﹣x+m与以O为圆心，3为半径的⊙O的切点坐标，代入直线解析式求得m的值，然后根据OP＝3﹣x2（0＜x2≤1），结合图象即可求得m的取值范围．

解：（1）当x2＝1时，则OP＝3﹣1＝2，

∵P1（2，0），P2（﹣1，），P3（1，﹣1），

∴OP1＝2，OP2＝2，OP≠2，

∴点Q的依附点是P1（2，0），P2（﹣1，），

故答案为P1，P2；

（2）若直线y＝x上的点P是点Q的依附点，则P（x，x），

∵OP＝3﹣x2（0＜x2≤1），

∴＝3﹣x2，

∴|2x|＝3﹣x2，

当x＞0时，x＝，

∵0＜x2≤1，

∴1≤x＜；

当x＜0时，﹣x＝，

∵0＜x2≤1，

∴﹣＜x≤﹣1；

∴点P横坐标的取值范围为1≤x＜或﹣＜x≤﹣1；

（3）∵OP＝3﹣x2（0＜x2≤1），

∴2≤OP＜3，

如图，以O为圆心，3为半径作圆O，然后作直线y＝﹣x+m与圆O相切，则切点为（，）或（﹣，﹣），

把切点坐标代入y＝﹣x+m求得m＝±3，

∴若直线y＝﹣x+m上存在点Q的依附点，则m的取值范围为﹣3＜m＜3．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理的应用、“依附点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．

26．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．

【分析】（1）若要证明CD是⊙O的切线，只需证明CD与半径垂直，故连接OE，证明OE∥AD即可；

（2）根据等腰直角三角形的性质和扇形的面积公式即可得到结论．

【解答】（1）证明：连接OE．

∵OA＝OE，

∴∠OAE＝∠OEA，

又∵∠DAE＝∠OAE，

∴∠OEA＝∠DAE，

∴OE∥AD，

∴∠ADC＝∠OEC，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC＝90°，

故∠OEC＝90°．

∴OE⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵∠C＝45°，

∴△OCE是等腰直角三角形，

∴CE＝OE＝2，∠COE＝45°，

∴阴影部分面积＝S△OCE﹣S扇形OBE＝2×2﹣＝2﹣．

【点评】本题主要考查了切线的性质和应用，同时也考查了三角函数知识点的应用和平行线的性质，具有一定的综合性，但难度不是太大．

27．如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，弧CF＝弧CB，BF与CD交于点G．

（1）求证：CD＝BF；

（2）若BE＝2，BF＝8，求GE的长；

（3）连接GO，OF，如图2，求证：2∠∠AOF＝90°．

【分析】（1）由AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E得，又由，得到，从而得到，即，即可得证；

（2）连接BC，由（1）得：，CD＝BF＝8，从而得到∠FBC＝∠BCD，则BG＝CG，设EG＝x，则BG＝CG＝4﹣x，在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+22＝（4﹣x）2，即可得到答案；

（3）连接OC交BF于I，则OC⊥BF，通过证明△OCG≌△OBG（SSS），得到∠IOB＝2∠EOG，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可得到，最后由∠IOB+∠IBO＝90°，即可得到答案．

【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴BF＝