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文档简介
§2三角分解法/*MatrixFactorization*/
高斯消元法的矩阵形式/*MatrixFormofG.E.*/:Step1:记L1=,则Stepn
1:其中
Lk=§2MatrixFactorization–MatrixFormofG.E.记为L单位下三角阵/*unitarylower-triangularmatrix*/记
U=A
的
LU
分解/*LUfactorization*/Heyhasn’tGEgivenmeenoughheadache?WhydoIhavetoknowitsmatrixform??!WhenyouhavetosolvethesystemfordifferentwithafixedA.Couldyoubemorespecific,please?FactorizeAfirst,thenforeveryyouonlyhavetosolvetwosimpletriangularsystemsand.§2MatrixFactorization–MatrixFormofG.E.定理
若A的所有顺序主子式/*determinantofleadingprincipalsubmatrices*/
均不为0,则A
的
LU
分解唯一(其中L
为单位下三角阵)。证明:由§1中定理可知,LU分解存在。下面证明唯一性。若不唯一,则可设A=L1U1=L2U2
,推出Upper-triangularLower-triangularWithdiagonalentries1
注:L
为一般下三角阵而U
为单位上三角阵的分解称为Crout分解。实际上只要考虑A*的LU
分解,即
,则即是A的Crout分解。§2MatrixFactorization–Doolittle
道立特分解法/*DoolittleFactorization*/:
——LU
分解的紧凑格式/*compactform*/反复计算,很浪费哦……通过比较法直接导出L和
U的计算公式。思路§2MatrixFactorization–Doolittle固定i:对j=i,i+1,…,n
有lii=1a将i
,j对换,对j=i,i+1,…,n有b
Algorithm:DoolittleFactorizationStep1:u1j=a1j;lj1=aj1/u11;(j=1,…,n)Step2:computeandfori=2,…,n1;Step3:ab一般采用列主元法增强稳定性。但注意也必须做相应的行交换。§2MatrixFactorization–Choleski
平方根法/*Choleski’sMethod*/:
——对称
/*symmetric*/
正定
/*positivedefinite*/
矩阵的分解法定义一个矩阵A=(aij)n
n
称为对称阵,如果aij=aji
。定义一个矩阵A
称为正定阵,如果对任意非零向量都成立。
回顾:对称正定阵的几个重要性质
A1
亦对称正定,且aii>0
若不然,则存在非零解,即存在非零解。
对任意,存在,使得,即。
其中第i
位
A
的顺序主子阵/*leadingprincipalsubmatrices*/Ak
亦对称正定对称性显然。对任意有
,其中。
A
的特征值/*eigenvalue*/
i
>0
设对应特征值
的非零特征向量为,则。
A
的全部顺序主子式
det(Ak
)>0因为§2MatrixFactorization–Choleski将对称
正定阵
A
做LU
分解U=uij=u11uij/uii111u22unn记为
A对称即记D1/2=Whyisuii>0?Sincedet(Ak)>0则仍是下三角阵定理
设矩阵A对称正定,则存在非奇异下三角阵使得。若限定L对角元为正,则分解唯一。注:对于对称正定阵A,从可知对任意k
i
有。即L
的元素不会增大,误差可控,不需选主元。§2MatrixFactorization–CholeskiAlgorithm:Choleski’sMethodTofactorthesymmetricpositivedefiniten
nmatrixAintoLLT,whereL
islowertriangular.Input:thedimensionn;entriesaijfor1
i,j
nofA.Output:theentrieslijfor1
j
iand1
i
nofL.
Step1Set
;Step2Forj=2,…,n,
set;Step3Fori=2,…,n1,
dosteps4and5
Step4Set
;
Step5
Forj=i+1,…,n,
set
;Step6Set
;Step7Output(lijforj=1,…,iandi=1,…,n
);STOP.因为A对称,所以只需存半个A,即其中运算量为O(n3/6),比普通LU分解少一半,但有n次开方。用A=LDLT
分解,可省开方时间。HW:p.104#5,#9,#15§2MatrixFactorization–TridiagonalSystem
追赶法解三对角方程组
/*CroutReductionforTridiagonalLinearSystem*/Step1:对A作Crout分解直接比较等式两边的元素,可得到计算公式。Step2:追——即解:Step3:赶——即解:与G.E.类似,一旦
i=0
则算法中断,故并非任何三对角阵都可以用此方法分解。§2MatrixFactorization–TridiagonalSystem定理
若A
为对角占优
/*diagonallydominant*/的三对角阵,且满足,则追赶法可解以A
为系数矩阵的方程组。Hey,whatdoesdiagonallydominantmean???
ItmeansthatthediagonalentriesofthematrixareveryLARGE.Well,howlargeisLARGE?
Theysatisfythefollowinginequality:注:
如果A是严格对角占优阵,则不要求三对角线上的所有元素非零。
根据不等式可知:分解过程中,矩阵元素不会过分增大,算法保证稳定。
运算量为O(6n)。§2MatrixFactorization–TridiagonalSystemLab06.CroutReductionforTridiagonalLinearSystems ApplyCroutReductiontosolveagivenn×ntridiagonallinearsystemInput Thereareseveralsetsofinputs.Foreachset: The1stlinecontainsaninteger100
n
0whichisthesizeofamatrix.n=
1signalstheendoffile. The2ndlinecontainsn
1realnumbers. The3rdlinecontainsnrealnumbers. The4thlinecontainsn
1realnumbers. The5thlinecontainsnrealnumbers.Thenumbersareseparatedbyspaces.§2MatrixFactorization–TridiagonalSystemOutputEachentryofthesolutionistobeprintedasintheCfprintf:fprintf(outfile,"%16.8e\n",x);Ifthemethodfailstogiveasolution,printthemessage“The
Crout
method
failed.\n”./*here
representsaspace*/Theoutputsoftwotestcasesmustbeseperatedbyablankline.SampleInput
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