非惯性系中的力学定理

陕步理工孽陲ShsiHiiMiUniversityofTeclmolo^y毕业论文题目 非惯性系中的力学定理学生姓名陈杰学号1110014110物理与电信工程学院所在学院物理与电信工程学院所在学院专业班级指导教师完成地点物理学1103

王剑华陕西理工学院2015年6月5日非惯性系中的力学定理陈杰（陕西理工学院物电学院物理学1103班，陕西汉中723001）指导教师：王剑华［摘要］在非惯性系中，力学系统的相关定理对于处理非惯性系中的某些动力学问题具有简洁、方便和易于求解的特点。因此，从发现牛顿定律以来，人们就对非惯性系中力学定理的研究十分重视。而本文从惯性系的牛顿方程出发，考虑了其在非惯性系中的变化；利用加速度合成定理，给出了非惯性系的牛顿方程，由此推导出了非惯性系中的动量定理，角动量定理，动能定理等。［关键词］非惯性系；动量定理；角动量定理；动能定理引言对于牛顿定律，我们已经知道它适用于所有的惯性参照系。但是实际上，人们并没有找到真正惯性参照系。我们通常所使用的惯性系，例如地球坐标系、太阳坐标系等实际上都是非惯性参照系。因此，我们需要推导出适用于非惯性参照系中的牛顿方程。在国内外力学的相关教材中大多数对于惯性系中的相关力学定理进行了详细介绍和解释，然而对非惯性系中的力学定理讨论不深，或者说介绍的不够全面。而对于非惯性系，在实际生活中，很多领域我们都需要用到非惯性系，如航空航天、外星空探求等范围的许多转子系统；还有许多文献资料对非惯性系做了大量研究，例如潘营利研讨了非惯性系下基本形式拉格朗日方程及其运用［1］。王耘涛，冯立芹等研究了非惯性系弹簧谐振子振动周期的计算［2］。这些文献和应用都有对非惯性系的相关问题进行了深入研究，但是对于非惯性系中的力学定理却采取各自的方法去推导，这就导致非惯性系中的力学定理相关理论繁杂，让人们很难学习到系统的非惯性系中的力学定理，这显然违背了物理学中化繁为简的规律。所以，本文希望通过一种统一的方法来研究非惯性系中力学系统的相关定理。人们在用经典力学来研究物体的机械运动时，为了描述物体的运动状态，首先要选择合适的坐标系。而人们知道了但凡牛顿第二定律可以运用的参照系称为惯性参照系，反之，牛顿第二定律不适用的参照系称为非惯性参照系。经过研讨，人们发现了但凡相对地面静止或做匀速直线运动的参照系都是惯性参照系，而相对某惯性参照系作非等速直线运动的参照系是非惯性参照系。事实上，人们通常所说的地面也是一个非惯性系。人们对惯性参照系进行了许多的讨论研究同时，也对非惯性参照系进行了讨论研究。为了能够在非惯性参照系中可以使用牛顿第二定律，假如物体受到一个力的作用，这个力是由加速度矢量及其物体的质量的乘积并冠以负号来决定。由于找不到施力物体，所以这个力不是一个实在的力，而是一个虚拟的力，把这个力称为“惯性力”。在很多情况下，惯性力的力矩和功可能为零。惯性力的存在使得我们可以将适用于惯性参照系的牛顿定律仍旧可以在非惯性参照系中可以使用，因此研究非惯性系的力学定理具有重要的意义。然而,随着科学进步和不断发展，对于非惯性系中力学系统的相关定理不仅仅有这些研究，有许多理论著作对此已经有了深入的研究，且人们已经慢慢将此运用于实际生活和各种尖端科学领域中。并且，它们对于人们的实际生活和生产，以及科学的进步发挥着重要作用，且在应用于许多领域。在机器人领域，欠驱动机器人以各种机器人如空间和水下机器人等多种形式出现在各行各业中⑷。还有许多领域都需要在非惯性系下建模，非惯性系在其中起着非常重要的作用El］。再比方基于非惯性运动状态的气象无人机测风方法研究，利用与非惯性坐标相关的非惯性力来描述铁路货车钩缓系统各部件的运动［12-13］。这些都是关于非惯性系的相关应用，当然非惯性系还在其他领域有着更多的应用。本文从惯性系的牛顿方程发，回顾了利用加速度合成定理推导非惯性系的牛顿方程的过程。利用惯性力，把惯性系中的力学理论稍加修改，移植到非惯性中，从而得到非惯性系中的动量定理、角动量定理、动能定理等。1.非惯性系中的牛顿方程的回顾我们已经知道牛顿运动定律是经典力学的基础，但是，牛顿运动定律只适用于惯性系。而我们所知道的惯性系如地球、太阳等都不是严格意义上的惯性系。因此，我们要建立一个适合于非惯性系的牛顿方程。假设运动坐标系为s'，固定坐标系为s，如果动坐标系S'相对于坐标系S做加速平移运动，坐标系S是惯性系，那么绝对加速度即加速度的合成定理：(1.1)则在这个加速平动坐标系中的牛顿方程是:(1.2)ma=F+(-ma)(1.2)在上式中，F是物体受到的作用力，但其中错误！未找到引用源。-mar不是力，其来源于s’相对于惯性系s的加速运动。这种形式上的力就是惯性力。惯性力依赖于气，即依赖于S'系的运动方式。如果从经典力学方面来看的话，惯性力在几何上有意义，而在物理上没有意义。由此而得出，我们可以引用惯性力，从而可以用经典力学理论来解决非惯性系中的运动问题。这也是本文所使用的主要推导方法，从而得出非惯性系中力学系统的相关定理。如果运动坐标系为S'和固定坐标系为S有共同的坐标原点O。且S'系绕原点以角速度石旋转。绝对加速度即加速度的合成定理为：a=a+a+a (1.3)rek在上式中，ar是相对加速度:(1.4)一 d2*r(1.4)a=—

rdt2

a是牵连加速度，只与s'坐标系的旋转有关，其后两项与切有关，是s'坐标系的转动造成的。而e第一项和d岳/dt有关，是s'坐标系的不稳定性形成的：a=—xr+3(3-r)一①2产 (15)edt若是物体既处于平动，同时也处于转动那么:d3ad3a=a+——xr+3(3-r)一32r(1.6)气是柯里奥利加速度，其由3气的相互影响产生的:(1.7)r-rd*r-_ra=23x=23xv(1.7)TOC\o"1-5"\h\zk dt r若固定坐标系S是一个惯性系，那么牛顿定律在其中成立。因而把（1.3）式带入牛顿方程，可得加速系中的牛顿方程：\o"CurrentDocument"ma=F+（-ma）+（-ma） （1.8）r e k上式中的-ma和-ma分别为牵连惯性力和柯里奥利惯性力。e k假如运动坐标系为s'和固定坐标为系S不仅有共同的坐标原点，且有一个坐标轴是重合的那么s'坐标系为平面旋转坐标系。此时，s'的运动绕固定z轴转动，3是S'坐标系的旋转角速度。若固定坐标s是一个惯性系，转动的s'是加速系坐标系，那么我们就可以得到平面旋转系中的动力学方程：ma=F+（-m3x『'）+（m32r'）+（-2m3xV） （1.9）r r上式为含有惯性力的牛顿方程。其中-m&xr'沿横向;惯性离心力m32r，沿矢径的正向；若以5,指向前方，那么柯氏惯性力-2m3xV指向右方。对于柯氏惯性力，其大小是由动坐标系旋转的角速r度和质点相对速度的大小及方向有关。综上所述，我们可以知道式（1.2）、式（1.6）和式（1.7）分别为加速平动坐标系、空间旋转坐标系和平面旋转坐标系的牛顿方程。如果牛顿方程既处于平动，也处于转动。那么根据牛顿定律，再代入式（1.4）、式（1.6）和式（1.7），那么就可以得到：ma=ma+F+（-m3xr'）+（m32r'）+（-2m3xV） （1.10）r o上式就是适用于平动和转动的牛顿方程。综上所述，我们可以知道式（1.2）、式（1.6）和式（1.7）分别为加速平动坐标系、空间旋转坐标系和平面旋转坐标系的牛顿方程。而式（1.10）适用于平动和转动.其中，我们可以看到它们都含有有惯性力。特别是空间旋转坐标有牵连惯性力和柯里奥利惯性力，而平面旋转坐标系惯性离心力和柯氏惯性力。就像之前所说，虽然惯性力在几何上有意义，而在物理上没有意义。但是，惯性力却对牛顿定律在实际应用中发挥着重要作用，也给我们研究非惯性系中力学系统的相关定理提供了极大的方便。2.非惯性系中的动量定理我们已经知道惯性系中的动量定理在对处理物体间的碰撞或冲击作用的问题有着非常重要的作用，且在经典力学中占有十分重要的地位。而接下来本文将会把惯性系中的动量定理引入惯性力进一步推广到非惯性系中，从而得到其表达式。动量定律，在惯性系中表述为:物体中系统总动量的变化率等于作用于该物体上的外力的矢量和.对于这一结论，在非惯性系中也是适用的，这就只要在外力中加上作用于该系统中所有物体上的惯性力就可。若某质点的质量为m，对固定惯性系S的速度为▽，那么其动量是p=mv。在经典力学中有一个基本假定就是物体的质量不随时间变化，因此有牛顿方程可得：(2.1)d,一、dp——(mv)=-(2.1)dtdt上式中的F0是物体所受外力的矢量和。这个方程给出了物体的动量和外力的瞬时关系，其被称为微分形式的动量定理。在前面我们已经理解到非惯性系中的动量定理，只要在外力中加上作用于该系统中所有物体上的惯性力就可以得到非惯性系中的动量定理。所以，对于非惯性系，某质点所受的力有物体所受的力F、惯性力错误！未找到引用源。ma0、惯性离心力错误！未找到引用源。和柯氏惯性力错误！未找到引用源。，根据牛顿定律，由此就可以得到方程(1.10)。那么接下来，引用(2.1)式，代入(1.10)式就可得：dp'一ka一,、 _,、/-__、 =ma+F+(-m由xr?+(m①2r?+(-2m3xv)dt。 r， (2.2)上式就是非惯性系中的动量定理，其为微分形式来表示。它的含义就是：物体中系统总动量的变化—►率等于作用于该物体上的外力和各种惯性力的矢量和，有物体所受的力F、惯性力错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。ma0、惯性离心力mo2——错误！未找到引用源。和柯氏惯性力错误！未找到引用源。等。上式既可用于平动，也可用于转动。下面对这个问题进行一些讨论。若a0=0，0—0，o=0，则式(2.2)变为惯性系中的动量定理，即：*-F (2.3)若o—0，o=0，但a0丰0，则式(2.2)变为：

(2.4)(2.5)虬沥+Fdt°(2.4)(2.5)那么上式中，其参照系是非惯性系中的平动加速参照系。3)若由=0，后=常矢量，ao=常矢量，那么式(2.2)变为:dp'一名, _,、/-__、—=ma+F+(m①2r。+(-2m3xv)

dt° r在上式中，其参照系是既作匀加速直线运动，又作匀角速转动的非惯性参照系。3.非惯性系中的角动量定理从以上推导过程，我们已经知道要使角动量定理适用于非惯性系，那么就要依据非惯性系的力学定律推导出适用于非惯性系的角动量定理。关于角动量，它是描述物体转动性质的物理量，也叫做动量矩。角动量定理是牛顿方程的一个重要推论，也是解决转动问题的基本定理。—► —►如果用J表示角动量，用M表示力矩，那么角动量定理可写为：dJ--—=M (3.1)dt它表示：某一质点对任意惯性点的角动量的时间的导数等于作用到该质点上的合力矩。在非惯性系中选某固定参考点。，设—'为质点的位置矢量。用—'矢乘非惯性系中的牛顿定律(1.10)，可以得到：dJ'r'xma=r'xma+r'xF+r'x(-mdbxr')+—'x(mW2r')+—'x(—2m。xV)(3.2)上式就是关于角动量的合力矩，也是外力矩和各惯性力矩的矢量和。再将式(3.2)代入式(1.10)中，则可以得到：dJ'(3.3)(3.4) =r'xma+r'xF+r'x(—mbxr')+r'x(mb2r')+r'x(—2m(——xV)dt(3.3)(3.4)上式就是非惯性系中的角动量定理，它可用于平动，也可用于转动。下面对这个问题进行一些讨论。则式(3.3)变为惯性系中的角动量定理，即:1)若a。=0，(^=0，(0=则式(3.3)变为惯性系中的角动量定理，即:dJ'

dt2)若°=0，0=0，而a°牛0，则式(3.3)变为:(3.5)那么上式中，其参照系是平动非惯性参照系。4.非惯性系中的动能定理关于非惯性系中的动能定理，我们可以根据以上的推导方法，由非惯性系中的牛顿定理来推导

出来。那么如果对于某一个质点，由牛顿方程可得:m、=Fdt0用矢量dr标乘上式，那么可以得到：(4.1)(4.2)(4.3)mV-dV=F-dr(4.1)(4.2)(4.3)0因为dv2=d(VV)=W・dV，所以上式可变为:7/1 、-7d(2mv2)=F-dr令T=-mv2，则:2 ►d(T)=Fdr此式是惯性系的质点的动能定理，表示：质点动能的增量等于外力的对质点做的功。那么关于非惯性系中动能定理，不只有外力做的功也有各种惯性力做的功。那么由(1.10)式和(4.3)式，可得：d(T)=ma-dr'+F-dr'+(—m亩xrf)-dr'+(m①2-')-dr'+(-2m3xV)-dr' (4.4)又因为(-2m3xV).d-'=0错误！未找到引用源。，即柯氏惯性力做功为零。这是因为，柯氏惯性r力始终与相对速度方向保持垂直，因此不做功。所以非惯性系中动能定理柯氏惯性力做功为零，不需要考虑它。则(4.4)式可变为：d(T)'=ma-dr'+F-dr'+(—mdbxr')-dr'+(m^2-')-dr' (4.5)上式就是非惯性系中的动能定理，表示对质点合力做的功。由此可看出，动能定理在惯性系和非惯性系中都可以使用。5.应用与展望通过本文，我们已经初步了解到非惯性系中的牛顿定理、动量定理、角动量定理和动能定理等。而以上这些定理却在物理学中有着重要的应用，例如在航空领域，处理非惯性系中的某些动力学的知识，起到非常重要的应用价值。特别是关于航空航天方面的牛顿力学问题，就需要非惯性系中的角动量定理来解决。还有动力刚化问题，通过应用非惯性系中力学系统的相关定理来研究，这也对研究航天器动力学和柔体动力学的研究有重大意义。在航天航空结构中，其中柔性梁这个部件应用的非常多，而其中的柔性多体系统的动力学问题就需要引用非惯性系中的相关力学定理来解决。随着对非惯性系中的力学定理的研究更加的深入，在实际生产和科学技术领域中，非惯性系中的力学定理将会有着越来越多的应用。现在人们对于非惯性系中力学系统的相关定理研究，已经从理论知识延伸到实际应用中，其在实际生活和科学科技领域都有着重要的应用。通过引用惯性力推导出非惯性系中的力学定理，这一过程不仅为解决非惯性系中动力学问题提了供一种有效的方法，也大大方便了人们对于非惯性系中的动力学问题在实际生活和科技应用等方面的研究。特别是航天航空结构中，柔性多体系统的动力学问题，非惯性系中的力学定理在其中发挥着重要的作用。当然，对于物理学的力学系统的研究也需要应用到非惯性系中的力学定理。所以，非惯性系中的相关力学系统对于物理学以及对实际生活和生产的应用，起着不可替代的作用。由此也可看出，非惯性系中的相关力学系统的应用前景非常的广阔，大部分都是如今非常尖端的科学技术，特别是航空航天事业。因此，对于非惯性系的研究应用，在未来将会发挥着更加重要的作用。6.结语本文主要从惯性系的牛顿方程发，首先描述了利用加速度合成定理推导非惯性系的牛顿方程的过程。之后再利用惯性力，把惯性系中的力学理论稍加修改，移植到非惯性中，从而得到非惯性系中的动量定理、角动量定理、动能定理等。通过这样一种统一的方法来研究非惯性系中力学系统的相关定理，从而使人们系统的，简单的了解非惯性系中的相关力学定理。参考文献潘营利.非惯性系下基本形式拉格朗日方程及其应用[J].渭南师范学院学报,2009,24(5):24—27.王耘涛，冯立芹.非惯性系弹簧谐振子振动周期的计算[J].内蒙古民族大学学报(自然科学版),2013,28(1):11—13.耿明超，赵铁石，赵飞等.非惯性系下弹性欠驱动机器人动力学建模及应用[J].中国机械工程,2014,25(15):2080—2085.张娟,舒亚峰，刘自强等.非惯性系下旋转压电层合悬臂梁的动力学建模及控制[J].陕西科技大学报,2014,32(3):143—147.和兴锁，宋明，邓峰岩.非惯性系下考虑剪切变形的柔性梁的动力学建模[J].物理学报,2011,60(4):044501-(1—6)XiaoLiu,TieshiZhao,ErweiLi,etal.ModelingandAnalysisofFoldableParallelStabilizedPlatforminNon-inertialSystem[J].JournalOfMechanicalEngineering,2013,49(17):101—109.PengchengWang,YongchunFang,JileiXiang,etal.DynamicsAnalysisandModelingofShip-mountedBoomCrane[J].JournalOfMechanicalEngineering,2011,47(20):34—40.肖宇,徐国华，招启军.基于非惯性系的悬停状态旋翼CFD/CSD耦合气动分析[J].空气动力学学报,2014,32(5):675681.宫厚军，杨星团，姜胜耀.运动条件下反应堆自然循环模型[J].清华学学报(自然科学版),2013,53(4):432—436.计新.Unruh单粒子态拥有左右成分时在振幅阻尼通道下的量子消相干[J].延边大学学报(自然科学版),2012,38(1):44—46.梁立孚，王鹏，宋海燕.在非惯性系中研究动力刚化问题[J].哈尔滨工程大学学报,2012,33(8):1052—1056.周树道，王彦杰，王敏，叶松，朱国涛.基于非惯性运动状态的气象无人机测风方法研究[J].传感技报,2011,24(11)：155—158.丁莉芬，谢基龙,AhmedA.SHABANA.非惯性坐标在列车纵向力分析中的运用[J].铁道学报,2012,34(1):1