基于初中数学建模能力培养的教学设计探索

基于初中数学建模能力培养的教学设计探索上海市华东理工大学附属中学王铭杰摘要：通过沪教版八年级第十九章“几何证明”的学习，学生已具备建立几何模型去解决生活中一些实际问题的基本知识。笔者通过梳理相关知识点，设计探索符合学生实际生活认知、数学能力的相关问题，通过解决这些问题，来培养、提升学生建模方面的数学核心素养。关键词：问题解决；核心素养；几何建模一、问题思考与提出数学学习过程就是从现实世界中来，最终又回归到解决实际问题中去。数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建模主要表现为：发现和提出问题、建立和求解模型、检验和完善模型、分析和解决问题。①①中华人民共和国教育部——普通高中数学课程标准[M].人民教育出版社.2020在实际的教学过程中，学生往往被动地去接受问题、求解问题，从而变为解题技巧的训练，无法达成数学建模能力培养的教学目标。因此，需要在日常教学中创设真实的情境，提供数据分析和数学建模等活动，让学生经历数学作为工具应用于解决问题的过程，认识数学与现实之间的关系，突出发展数学应用意识和创新观念。在建构主义视角下，学生对课程内容的“认识构建”不再是“储蓄”的过程，而是个体已有认知经验与外部刺激反复作用的过程。学习者不是对原有经验和知识的简单提取和运用，而是需要根据外部信息对原有经验进行调整和改造。建构知识不是对知识的重现，而是为了个体在真实情境中解决问题或者合理解释现实世界。这种教学模式要求教师从建模的角度来分析和处理教学内容，把数学知识的学习和应用结合起来，使之符合“具体——抽象——具体”的认识规律。②②徐晓燕.概念性理解与数学概念教学——基于数学任务设计的视角[M].上海教育出版社.2020二、教学设计与实践本课教学内容安排在沪教版八年级上册第十九章“几何证明”后，是对八年级第一学期相关知识的综合运用，遵循数学建模的一般过程，将教学内容分为“情境引入、分析问题、建立模型、求解模型、检验完善”五个环节，试图探索培养八年级学生数学建模能力的有效方法。（一）情境引入任务一：自行车在泥泞的路面上行驶，会形成轮胎的痕迹。如图所示，点、点分别是前、后轮的轮轴中心，点为自行车车头。自行车在转弯的过程中，车头向右偏一定角度保持不变，前、后轮形成的痕迹可视作两段圆弧，分别是圆弧、圆弧。已知整辆自行车绕着点O转动，且点O始终在车轮轮轴所在的直线上。1.通过过尺规作图，找出这辆自行车的旋转中心点O。2.若车头向右偏转角度为，旋转角度为，线段长约为米，分别求圆弧、圆弧的长度。（参考数据：）利用多媒体教学工具，让学生对题目所在的背景和条件进行分析，通过掌握题目的各类信息。将实际问题数学化，初步体会数学建模的思想方法。在将数学思想融入在问题的过程中，引导学生思考并分析下面几个问题：（1）已知一段曲线是圆弧，如何确定这段弧所在圆的圆心位置？它的数学原理是什么？（2）“车头向右偏一定角度保持不变”这一条件有什么作用？如果没有这一条件，会产生什么问题？（3）能否将自行车简化为几何图形？能否将实际过程简化为几何图形的运动过程？（4）点A、B、O组成的三角形是什么三角形？各个角度是多少？由哪些条件决定？通过以上问题，帮助学生建立整个转弯运动过程的数学模型：直角三角形ABO绕着点O顺时针旋转，AB是车身长，OB⊥AB，OA⊥AP，直线AP与直线AB的夹角是车头偏转的角度，若已知车身长度，当偏转角为特殊角（例如30°、45°）时和旋转角时，可以根据所学几何模型，求得所需的长度、角度。最后，将此题所求得的数学模型结果，回代现实情境，进一步理解生活中车辆的转弯问题，也为引入后续的问题做好准备。（二）分析问题任务二：某小区在进行道路设计规划，要在停车位（停车位长约5.4米，宽约2.5米，车辆一般停在停车位正中央）的另一边种植绿化带，还需考虑方便车辆停靠，你认为此段小区道路宽几米较合适？引导学生根据问题的需要，对问题提出一些恰当的假设。以假设为基础，量与量之间的关系作纽带，正确理解、体会、感知数学模型的建立过程。在这个过程中，引导学生思考并分析下面几个问题：（1）如果道路太窄会产生什么问题？确定道路的宽度需要满足怎样的条件？（2）车辆停靠可能需要进行哪些的位置移动？怎样移动才算满足“方便停靠”？（3）车辆是如何转弯的？能否简化为几何图形的运动？和自行车转弯模型有何异同？（4）条件是否充足？你还想知道哪些信息？通过上述启发式的问题，引导、启发学生从实际中抽象、概括问题的本质，简化一些不可控实际因素，了解哪些环节可能造成不同程度的误差，同时渗透建模思想。过程中学生成为学习数学的主体，教师成为学生的组织者、引导者、合作者与共同研究者。（三）建立模型任务三：普通家用汽车可视作一个长方形，长约为4米，宽约为1.7米（轮胎大小忽略不计），车辆在行驶的过程中，后轮无法偏转，只有前轮可以偏转，偏转角度越大，转弯半径就越小，一般外轮的最大转角约为30°，内轮的最大转角约为40°（参考数据：）任务四：当车辆两侧有其它大小相同的车辆，也停在停车位正中央时，若直接以最大偏转角转弯，还能否顺利驶离停车位？如果不能顺利驶离，车辆可以先直行一段距离，再以最大偏转角转弯（参考数据：）根据任务二中几个问题的思考，结合任务三的相关信息，利用任务一的相关建模思想，尝试让学生独立建立车辆转弯的数学模型，再给出任务四的相关信息，再次尝试让学生独立建立车辆转弯的数学模型，结合学生建立的模型，引导学生思考并分析下面几个问题，深化对实际问题的理解和求解：（1）二轮自行车和四轮车辆在转弯过程中有什么异同？能否简化成几何图形的运动？（2）30°和40°哪个角度是问题中需要考虑的偏转角？如何确定旋转中心的位置？（3）当车辆以最大偏转角转弯时，车辆的转弯半径是哪条线段的长度？（4）当车辆右侧有障碍车辆时，如何判断转弯时是否与其碰撞？能否转化成数学问题？在这个环节中，教师为主导，学生为主体，运用启发式、尝试指导法等方法共同对问题尝试建立的数学模型、做出图像并进行研究和分析，使学生获得了基本的数学知识、思想和方法。其中四轮车辆的转弯过程，可以视作两辆二轮自行车并排、等距的转弯过程，即两个直角三角形绕着重合的一个顶点旋转。外侧的有可能与绿化碰撞，需计算点A的轨迹，内侧的可能与障碍车辆碰撞，需计算点C的轨迹，帮助学生理解此类问题的本质。（四）求解模型问题1：转弯半径OA的长度。答：利用含30°角的直角三角形AOB，可得OA的长度为8米。问题2：当车辆右侧无障碍时，小区道路宽度至少需要保留多少米？答：利用转弯半径OA的长度8米，减去车身本身的长度4米和提车位前端长度0.7米，可以得到小区道路宽度至少需要保留3.3米。问题3：当车辆右侧有障碍时，小区道路宽度至少需要保留多少米？答：若直接转弯，后轮C会与相邻车碰撞，利用直角三角形相关知识，求得碰撞点与相邻车车头距离为1.3米，再利用平移思想与问题2中道路的最小宽度3.3米，可得结果为4.6米。利用学习中获得的数学知识解答课堂最初提出的实际应用问题。学生在整个建模活动中体会到了数学在解决生活实际问题中的价值，体验到了所学知识的用途和巨大作用，使学生进一步体会数学在生活中无处不在，以及数学建模在解决实际问题中的优越性，培养学生发现问题、解决问题的能力。（五）检验完善实际应用中,数学模型是否合适,必须对其解的意义进行分析与检验。为进一步优化模型,可以数值合理性分析，假设合理性分析,误差分析等方面探讨，对模型的改进与完善。上述问题中，在数值合理性分析方面，会发现建模计算得到的数值，与实际问题中观察到的数值相比偏大，引导学生从假设合理性分析,误差分析等方面进行思考，找出产生问题的原因，比如实际车辆的大小与轮胎的位置、最大偏转角的取值、近似值的精确度、实际转弯时更复杂多样的运动方式等。通过探讨上述这些问题，不仅是对整个建模过程的思考与回顾，更是激发学生对更深层次数学知识的兴趣，和培养学生使用数学知识解决问题的思维习惯。三、实践收获与反思在数学学科的教学过程中，“题”应作为提高学生能力的载体，但实际教学中，缺往往会把“题”作为教学的本体，强化学生在代数计算、几何图形计算等应试能力的训练，而忽略了数学核心素养的培养，上述设计的若干问