关于材料应表面张力的讨论

关于材料应表面张力的讨论

1应力-应变双轨检测对于图1所示的单元体的适应性，x、y、x、y和0的符号在一般材料力学教材中是一致的。为了简化描述，它并不失去普遍性，在xy平面上记录了最大和最小正电压（即主应力）。1和2同时，将1和x轴的正角标记为1，2和x轴的正角标记为2。这是文献。σ1σ2=σmaxσmin=σx+σy2±√(σx-σy2)2+τ2xy(1)σ1σ2=σmaxσmin=σx+σy2±(σx−σy2)2+τ2xy−−−−−−−−−−−√(1)tan2α0=-2τxyσx-σy(2)tan2α0=−2τxyσx−σy(2)由公式(1)、(2),两个主应力的大小和方向可以求得。但问题在于由式(2)求出的是相差90度的两个角度,即图1中两个主应力与两个主方向角α1、α2如何对应。由文献可知:在平面应变状态分析中的εx、εy、γxy2γxy2、γyx2γyx2分别相当于二向应力状态中的σx、σy、τxy、τyx且有公式:ε1=εmaxε2=εmin}=εx+εy2±√(εx-εy2)2+(γxy2)2(3)ε1=εmaxε2=εmin}=εx+εy2±(εx−εy2)2+(γxy2)2−−−−−−−−−−−−−√(3)tan2α0=-γxyεx-εy(4)tan2α0=−γxyεx−εy(4)同样存在着仅由公式无法确定主应变ε1、ε2与主应变方向角α1、α2之间的对应关系。近年来也有不少论文对该问题做了论述,归纳起来有以下几中方法:1.借助应力圆或应变圆通过图解法来判断第一主应力或主应变及其方位角。2.先利用式(2)或式(4)求出α0、α0+π2代入任意斜截面的应力或应变公式求出两个代数值,根据代数值的大小来判定何为σ1(ε1)、σ2(ε2),以及α1、α2。3.由式(2)中分子及分母的正负号判断2α0所在的象限,再结合图1中τxy与τyx的矢量方向确定σ1、σ2的方向。4.利用高等数学中求极值的方法,由式(2)求得α0以及α0+π2,代入d2σαdα2并确定其代数值的正负符号,从数学角度判断σ的极大、极小值后确定σ1、σ2的方向。5.由力的叠加原理知:σ1的方位在τxy和τyx作用下,单元体伸长的趋势方向和代数值较大的正应力σx或σy的方位线之间。综上所述的常用方法中:图解法精度难以保证且不便电算;给出一般判别式后,还需要附加单元体图加以判断,虽然物理意义较清楚,但操作略显繁琐;纯数学推导虽简洁明了,但物理意义不清楚,理解上偏难。因此本文在给出简捷判断方法的同时也通过应力圆加以证明,既保证学生易于理解,又有明确的物理意义,在理解的基础上很容易掌握该方法。2第二主应力方向角首先由公式(1)可求出两个主应力,然后由下式(5)、(6):tanα1=τxyσy-σ1(5)tanα2=τxyσy-σ2(6)即可直接求得第一、第二主应力方向角α1、α2。其中各物理量的正负规定与教材所规定的一致。事实上,规定|x1|,|x2|均在π4以内,由于相邻的主平面互相垂直,则|α1|+|α2|=90°,所以只需用式(5)确定出第一主应力方向与x轴之夹角α1,而自x轴向与α1相反的方向旋转(90°-|α1|)角度就可确定第二主应力方向。从而在实际运用中确定出第一主应力方向角α1,利用互余关系,可以方便地确定第二主应力方向角α2。现在用莫尔应力图法证明公式(5)。由圆弧ada1的提供,未明确各向点s1的对应关系1.按莫尔作圆画出应力圆如图2所示。图2中D(σx,τxy)、E(σy,τyx)分别表示单元体上以x、y为法线的平面上的应力,A1(σ1,0)、A2(σ2,0)分别对应第一、第二主平面上的应力。2.过点D作A1A2的平行线交莫尔应力圆于D1点,自点D1向点A1引直线段D1A1。3.由圆弧A1D同弧所对圆周角∠DD1A1与圆心角∠DCA1之间的关系可知∠DD1A1=α0,并由几何关系得到:tanα0=¯BA1¯D1B=-¯A1B(¯D2D1+¯D1D+¯DB)-¯D2D1=-τxyσ1-σy=τxyσy-σ1(7)由于α0定义在[-π4,π4]中,故证明过程各线段是有向线段的值,它们的参考正向分别与σ、τ的正向一致。由于图2中,确定的是π1的方向,故α1=α0。(4)由于平面应变公式与平面应力公式在数学结构上一致,即εx、εy、γxy2分别与σx、σy、τxy相对应,从而第一主应变方向角公式为:tanα1=γxy2εy-ε1=γxy2(εy-ε1)(8)3应用算例例1已知基本单元体的应力状态如图3所示,其中应力单位为MPa,试用解析法求主应力大小及方向。解释1.axmin15555555555555555555555.5.4.4.4.5.4.4.35.55.5.55.5.3.3.3.3.35.5.3.3.3.3.3.3.3.5.4.5.4.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5ax7.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.3.3.5.4.5.4.5.4.5.4.5.5.5.5.5.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.σx=-70MPa,σy=0,τxy=50MPa,于是由公式(1)得:σmaxσmin=-70+02±√(-70-02)2+502=26ΜΡa-96ΜΡaσ1=26MPa,σ2=0,σ3=-96MPa第一主应力方位角为:α1=arctan(τxyσy-σ1)=arctan(500-26)=-62.5°2.确定主应力方向角与坐标系的选择关系σx=0,σy=-70MPa,τxy=-50MPa,同样代入公式(1)易得:至于另一主应力的方向直接自x轴向与α1(或α′1)相反的方向旋转90°-|α1|或90°-|α′1|就可以得到。该算例证明,用笔者介绍的方法,确定主应力方向角与坐标系的选择无关,解决了本文开始提出的问题。例2用直角应变花测得一点处的三个应变为:ε0°=-300×10-6,ε45°=-200×10-6,ε90°=200×10-6,试求主应变及其方向。解:令εx=ε0°=-300×10-6,εy=ε90°=200×10-6,则γxy=ε0°+ε90°-2