油罐横截面弓形长半轴体积的探讨

油罐横截面弓形长半轴体积的探讨

1油罐内的油的体积在油田里，经常可以看到各种储油罐的水平段是圆形（圆形）。对这类问题,如果油罐里面的油是满的,只要用横截面椭圆形(圆形)的面积乘以油罐的长度,即可求出储油的体积。但有时油罐里的油不是满的,要求出其体积,往往成为工人和技术人员的麻烦事。如果我们能用钢尺量出油的深度h和椭圆(圆)的长半轴a,短半轴b(圆的半径R)及油罐的长度L。就能用简单的计算方法求出储油的体积,这在实际工作中显然是有价值的。2契比晓夫级数的n阶回收函数x1-2的形式设横截面椭圆的方程为:x2a2+y2b2=1椭圆弓形的高为h,图中带阴影部分为储油横截面,先用定积分求储油体积。设椭圆弓形的面积为S(h),则:S(h)=2ab∫h-b-b√b2-y2dy=[π2+h-bb√1-(h-bb)2+arcsinh-bb]ab设x=h-bb(由0≤h≤2b,可知-1≤x≤1),油罐的长为L,储油的体积为V(x),可得:V(x)=(π2+x√1-x2+arcsinx)abL(1)从式(1)能准确的算出储油的体积,但算式里含有反正弦函数,一般计算不方便。由于多项式的值计算简单也方便,下面我们用多项式逼近(x√1-x2+arcsinx)给出储油体积的近似值。由于函数(x√1-x2+arcsinx)在[-1,1]连续,其一阶导数(x√1-x2+arcsinx)′=2√1-x2在[-1,1]有界,由文献可知(x√1-x2+arcsinx)的契比晓夫级数12a0Τ0(x)+∞∑n=1anΤn(x),(其中:an=2π∫1-1(x√1-x2+arcsinx)Τn(x)√1-x2dx‚Τn(x)为n阶契比雪夫多项式)一致收敛于函数x√1-x2+arcsinx。由式(1)即得:V(x)=(π2+x√1-x2+arcsinx)abL=[π2+12a0Τ0(x)+∞∑n=1anΤn(x)]abL(2)由文献还可知用函数(x√1-x2+arcsinx)的契比晓夫级数的部分和也就是(x√1-x2+arcsinx)的最佳平方逼近多项式:12a0Τ0(x)+a1Τ1(x)+a2Τ2(x)+⋯+anΤn(x)代替(x√1-x2+arcsinx),从(2)可得出在[-1,1]上效果较好的V(x)的近似计算公式:V(x)≈[π2+12a0Τ0(x)+a1Τ1(x)+a2Τ2(x)+⋯+anΤn(x)]abL(3)下面讨论an的求法。当n为偶数时,由于Tn(x)为偶函数,又(x√1-x2+arcsinx)为奇函数,√1-x2为偶函数,可知an=∫1-1(x√1-x2+arcsinx)Τn(x)√1-x2dx中的被积函数为奇函数,又积分区间[-1,1]为对称的,因此当n为奇数时,设x=cost,则:a2k+1=2π∫π0sintcostcos(2k+1)tdt+π2∫π0(π2-t)cos(2k+1)tdt用分步积分法不难从上式得出:a2k+1=16(2k+1)2[4-(2k+1)2]π(k=0,1,2‚⋯⋯)(5)综合(4)式和(5)式得:an={0n=2k16(2k+1)2[4-(2k+1)2]πn=2k+1(k=0,1,2‚⋯⋯)(6)由(3)式和(6)式可得V(x)的近似计算公式:V(x)≈{π2+16π[13Τ1(x)-145Τ3(x)-1525Τ5(x)+⋯+1(2k+1)2[4-(2k+1)2]Τ2k+1(x)]}abL(k=0‚1,2⋯⋯)(7)当k=1时,即用Ρ3(x)=π2+a1Τ1(x)+a3Τ3(x)代替x√1-x2+arcsinx+π2,得V(x)的近似值为:V(x)≈[π2+3245π(9x-2x2)]abL(8)当k=2时,即用Ρ5(x)=π2+a1Τ1(x)+a3Τ3(x)+a5Τ5(x)代替x√1-x2+arcsinx+π2,得V(x)的近似值为:V(x)≈[π2+161575π(615x-80x3-48x5)]abL(9)3qk-1+2由(2)式和(6)式得近似计算公式(7)的误差估计|V(x)-{π2+16π[13Τ1(x)-145Τ3(x)-1525Τ5(x)+⋯+1(2k+1)2[4-(2k+1)2]Τ2k+1(x)]}abL|=|a2(k+1)+1Τ2(k+1)+1(x)+a2(k+2)+1Τ2(k+2)+1(x)+⋯|abL设Ρ2k+1(x)=π2+16π{13Τ1(x)-145Τ3(x)-1525Τ5(x)+⋯+1(2k+1)2[4-(2k+1)2]Τ2k+1(x)}由于|Tn(x)|≤1(n=0,1,2…)可知:|max-1≤x≤1V(x)-Ρ2k+1(x)abL|≤(|a2(k+1)+1|+|a2(k+2)+1|+⋯)abL进而得max-1≤x≤1|V(x)-Ρ2k+1(x)abL|≤4abLπ×{(1[2(k+1)+1]2-22+1[2(k+2)+1]2-22+⋯)-(1[2(k+1)+1]2+1[2(k+2)+1]2+⋯)}=4abLπ{14[(12k+1-12(k+2)+1)+(12(k+1)+1-12(k+3)+1)+(12(k+2)+1-12(k+4)+1)+(12(k+3)+1-12(k+5)+1)+⋯]-[π28-(1+132+152+⋯+1(2k+1)2)]}=4abπ{1+132+152+⋯+1(2k+1)2-π28+k+1(2k+1)[2(k+1)+1]}(由文献可知1+132+152+⋯+1(2k+1)2=π28)即得出用(7)式计算V(x)的误差估计:max-1≤x≤1|V(x)-Ρ2k+1(x)abL|≤4abLπ{1+132+152+⋯+1(2k+1)2-π28+k+1(2k+1)[2(k+1)+1]}(k=0,1,2‚⋯)(10)设Q(k)={1+132+152+⋯+1(2k+1)2+k+1(2k+1)[2(k+1)+1]-π28}为了便于对式(7)给出的V(x)近似值进行误差估计,现将Q(k)的过剩近似值列表给出(见表1)。从V(x)的近似计算公式(7)不难得出横截面为圆形(半径为R)的储油罐(管道)储油体积V*(x)的近似计算公式:V*(x)≈{π2+16π(13Τ1(x)-145Τ3(x)-1525Τ5(x)+⋯+1(2k+1)2[4-(2k+1)2]Τ2k+1(x))}R2L(x=h-RR‚h为圆的弓形高‚k=0,1,2⋯)(11)从(10)式可得出(11)式的误差估计式:max-1≤x≤1|V*(x)-Ρ2k+1(x)R2L|≤4R2Lπ×{1+132+152+⋯+1(2k+1)2-π28+k+1(2k+1)[2(k+1)+1]}(x=h-RR‚h为圆的弓形高,k=0,1,2…)(12)4离散近似值检验在实际问题中,如果手中缺少计算工具,从(1)式可得出V(x)的离散近似值如表2。如果油罐横截面为圆形(半径为R),则只要将表2中的ab换成R2,即可得V*(x)的近似值。5储油体积的近似值如果储油罐横截面椭圆的长半轴a=2m,短半轴b=1m,储油横截面弓形的高h=0.5m,油罐长为2m,问用Ρ5(x)=π2+a1Τ1(x)+a3Τ3(x)+a5Τ5(x)代替x1-x2+arcsinx+π2求得储油体积的近似值为多少?并进行误差估计。解:从b=1m,h=0.5m得x=h-bb=-0.5‚L=2m。从(9)式可得:V(