lp案例ab钢铁配矿问题教学用排队论

2023/11/7管理运筹学课程组391§3.2系统容量有限制的模型

[M/M/1]：[N/∞/FCFS]

当系统容量最大为N时，排队多于N个的顾客将被拒绝。当N=1时，即为损失制，N→∞时，即为容量无限制的情况。2023/11/7管理运筹学课程组392

现在研究系统中有n个顾客的概率Pn(t)。………(2)对于(1)式，当n=1,2,…N-1时，也仍能成立。……(1)(n=1,2,…N-1)但当n=N时，有下面两种情况：对于P0(t)，前面的（2）式仍然成立。2023/11/7管理运筹学课程组393∴………(8)其状态转移图为:2023/11/7管理运筹学课程组394在稳态情况下有：………(9)解（9）式得：………∵

而等比数列2023/11/7管理运筹学课程组395(ρ≠1,n≤N)……(10)∴

注：当ρ=1时，试讨论其概率Pn。(1)平均队长Ls：(ρ≠1)练习试证ρ=1时,Ls=N/2其运行指标：2023/11/7管理运筹学课程组396(2)有效到达率λe

系统容量有限，当满员时，顾客将被拒绝，实际的顾客到达率与λ不一样，还可验证：∴

此种情况的公式与前类似,只有Ls不同,λe与λ不同。求λe必须先求得P0或PN才行。有效到达率为λe。

可以证明：Ls2023/11/7管理运筹学课程组397例2．某单人理发馆共有六把椅子接待顾客排队，无座时将离去，顾客平均到达率为3人/h，理发时间平均为15分钟，求：(1)求某一顾客到达就能理发的概率;(2)求需要等待的顾客数的期望值;(3)求有效到达率;(4)求一顾客在系统中的逗留时间和排队时间平均值;(5)在可能到来的顾客中，有百分之几不等待就离开？解：N=?N=6+1=7，λ=3，μ=42023/11/7管理运筹学课程组398(1)求某一顾客到达就能理发的概率:(2)求需要等待的顾客数的期望值:(3)求有效到达率:(4)求一顾客在系统中的逗留时间和排队时间平均值:2023/11/7管理运筹学课程组399P0=0.27780P1=0.20836P2=0.15627P3=0.11720=0.9629=96.29%P4=0.08790故拒绝的概率为3.71%P5=0.06593P6=0.04944(5)在可能到来的顾客中，有百分之几不等待就离开？顾客为何不等待就离去？因为系统已经满员2023/11/7管理运筹学课程组3910§3.3顾客源有限的模型

[M/M/1/∞/m]

以机器修理模型为例，设有m台机器(总体)，故障待修表示机器到达，修理工是服务员。机器修好后有可能再坏，形成循环。虽然系统没有容量限制，但系统中的顾客也不会超过m，故又可写成：[M/M/1/m/m]2023/11/7管理运筹学课程组3911

对于有限源应按每个顾客单独考虑，求出其有效到达率λe。∴

这样λe是随系统内顾客数而变化的。其状态转移图为：设系统内顾客数为Ls，则系统外的顾客为m-Ls。设每个顾客的平均到达率是相同的λ。

(这里λ的含义是单台机器在单位时间里发生故障的概率或平均次数)2023/11/7管理运筹学课程组39121≤n≤m-10状态n状态m状态

这样λe是随系统内顾客数而变化的。其状态转移方程为：2023/11/7管理运筹学课程组3913

用递推方法解此差分方程，并注意条件，可以得到如下公式：10=å=miiP(1≤n≤m)各项运行指标为：2023/11/7管理运筹学课程组3914例3某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布。平均连续运转时间15分钟，有一个修理工，修理时间服从负指数分布，平均每次12分钟。求：(1)修理工空闲时间解:(1)∵m=5,λ=1/15,μ=1/12,ρ=4/5=0.82023/11/7管理运筹学课程组3915台台(3)出故障的平均台数(4)等待修理的平均台数(5)平均停工时间分钟(2)五台机器都出现故障的概率2023/11/7管理运筹学课程组3916分钟

机器等待过长，忙期长，应增加维修工人或提高效率。(6)平均等待修理时间(7)评价这些结果2023/11/7管理运筹学课程组3917例．某工厂为职工设立了24小时都能看病的医疗室（按单服务台处理）。有两把椅子供病人等候，如果没有椅子就站立等候，病人到达的平均间隔时间为15分钟，平均看病时间为12分钟，且服从负指数分布，因为工人看病每小时给工厂造成的损失为30元。(1)病人到达医务室就能看病的概率；（２）病人需要站立等候的概率；（３）试求工厂每天损失期望值；（４）平均服务率提高多少，方可使上述损失减少一半？标准的M/M/1模型每天的期望损失=24LS30=24WS302023/11/7管理运筹学课程组3918例某只有一名服务员的排队系统，等待空间总共可容纳3名顾客。已知对每名顾客的服务时间服从负指数分布，平均为5min,顾客到达服从泊松分布，平均10人/h.。求（1)系统中顾客分别为0，1，2，3，4的概率;（2）系统中平均顾客数；（3）1名新到的顾客需要排队等待的概率；（4）1名新到的顾客未能进入该排队系统的概率。2023/11/7管理运筹学课程组