辽宁省沈阳市和平区重点中学2024届高三上学期第二次模拟考试数学试题（含答案）

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数学

考试时间：150分钟分数：150分

一、单选题

1．已知集合，则（）

A．B．C．D．

2．欧拉是世界上伟大的数学家，而欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式．其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式，即将复数、指数函数与三角函数联系起来，公式内容为：，则，（）

A．B．C．2D．1

3．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（）

A．B．C．D．

4．设分别是两个等差数列的前项和．若对一切正整数恒成立，（）

A．B．C．D．

5．赤岗塔是广州市级文物保护单位，是广州市明代建筑中较具特色的古塔之一，与琶洲塔、莲花塔并称为广州明代三塔，如图，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于北偏西方向上在同一水平面），则塔的高度约为（）（参考数据：）

A．B．C．D．

6．已知函数，若把的图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍后，再将图象向右平移个单位，可以得到，则下列说法不正确的是（）

A．B．的周期为

C．的一个单调递增区间为

D．在区间上有5个不同的解，则的取值范围为

7．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若对任意有，且，则不等式的解集为（）

A．B．C．D．

8．已知函数，给出下列四个结论：①存在无数个零点；②在上有最大值；③若，则，④区间是的递减区间．其中所有正确结论的序号为（）

A．①②③B．②③④C．①③D．①②③④

二、多选题

9．下列说法正确的是（）．

A．函数的图像恒过定点

B．“”的必要不充分条件是“”

C．函数满足，则的最小正周期为2

D．函数的最小值为2

10．已知等差数列的前项和为，公差．若，则（）

A．B．C．D．

11．函数的部分图象如图，则下列说法中正确的是（）

A．的最小正周期是B．的值为

C．在上单调递增D．若为偶函数，则最小值为

12．已知函数，则下列说法正确的是（）

A，当时，有两个极值点

B．当时，们图象关于中心对称

C．当，且时，可能有三个零点

D．当在上单调时，

三、填空题

13．复平面上两个点分别对应两个复数，它们满足下列两个条件：①，②两点连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为______

14．已知正项等差数列，公差为，前项和为，若也是公差为的等差数列，则______

15．已知中，，点是边上一点，若，则______．

16．已知函数有两个极值点，且，则实数的取值范围是______

四、解答题

17．如图，在四边形中，与互补，．

（1）求；（2）求四边形的面积．

18．已知平面向基，记．

（1）对于，不等式（其中）恒成立，求的最大值．

（2）若的内角所对的边分别为，且成等比数列，求的值．

19．记为数列的前项和．已知．

（1）求的通项公式：

（2）设单调递增的等差数列满足，且成等比数列．

（ｉ）求的通项公式；（ⅱ）设，证明；．

20．已知的内角的对边分别为．

（1）若，求的值；

（2）是否存在以为直角顶点的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

21．函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中）．定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凸函数．已知函数的图像过点，且在点处的切线斜率为，（1）判断在区间上是否为凸函数，说明理由；

（2）求证：当时，函数有两个不同的零点．

22．已知函数．

（1）若，求实数的取值范围；（2）存在正实数，使得成立，（为自然对数的底数），求实数的取值范围．

参考答案：

1．B2．D3．C4．A

5．C6．C7．B8．A

9．AB10．ABD11．BD12．BC

13．2014．15．1816．

17．（1）

【详解】（1）连接，如图，与互补，与互补，在中，，

即，得，

在中，，即

，

得，又与互补，，故；

（2）由（1）得，

由（1）得，

．

18．（1）（2）

【详解】（1）

．

，则，故，

恒成立，故，

当时，有最大值为．

（2），即，

，故，

成等比数列，则，

19．（1）（2）（ⅰ）（ⅱ）证明见解析．

【详解】（1）解：因为，可得，

两式相减可得，即，则，

又因为，可得，

所以当时，，即．

当时，不满足上式，

所以数列的通项公式为

（2）解：（ⅰ）设数列的公差为，

因为成等比数列，且，

所以

整理得，解得或，因为，可得，

又因为，所以数列的通项公式为，

（ⅱ）由（ⅰ）知，，

可得，

当时，；

当时，

，

综上可得，对于任意，都有．

20．（1）不存在，理由见解析

【详解】（1）（法一），由正弦定理得，又因为，

所以，即，由余弦定理知

（法二）因为，所以，又，

所以，即．

所以，即，所以，

因为，所以．

（2）不存在以为直角顶点的直角三角形，理由如下：

因为，

由正弦定理，得，

若，则，且，

所以，

将上式两边平方得：，所以

因为，所以，且，方程无解．

故不存在满足条件的三角形．

21．（1）在区间上是凸函数，理由见解析：（2）证明见解析

【详解】（1）由，得，

而，依题意，，

因为，

在区间上为凸函数．

（2）证明：由（1）知在区间内单调递减，又，

，使得，

当时，：当时，，

在内单调递增，在内单调递减，

因为，

在及内各有一个零点，即在内有两个不同的零点．

22．（1）

【详解】（1）函数恒成立，即，在上恒成立

令，则，

当时，单调递增，当时，单调递减，

所以当时取得最大值，即，即，故的取值范围是；

（2）因为时，存在正实数