基于拉格朗日方程的扭振系统建模

基于拉格朗日方程的扭振系统建模

0机械扭振系统的组成对于带有单翼涵道的无人机，双发动机的对称配置是图1所示的。该直升机的两个发动机通过由减速器及传动轴等组成的传动系统驱动旋翼和风扇,这些部分联系在一起构成了一个机械扭振系统。由于机体扭振的非线性与强耦合性,采用拉格朗日方程建立其数学模型,最后通过闭环系统矩阵特征值判断法和系统输出曲线验证所建模型的正确性。1飞机动力扭曲尾轴系统的数学模型建设1.1结构的非线性模拟(1)计入桨叶弹性变形(桨叶弹性指桨叶旋转平面的弹性),不考虑桨叶弯扭的耦合影响以及桨叶安装角改变对旋转平面内刚度的影响;(2)各片桨叶在传动系统中所产生的影响是一致的(即各片桨叶的运动和变形情况是一致的);(3)计入摆振运动的前二阶模态;(4)不考虑风扇的弹性影响;(5)不考虑挥舞运动以及挥/摆耦合;(6)计入主桨叶减摆器的阻尼、桨叶的气动阻尼;(7)直升机在旋停状态工作;(8)结构部分均作线弹性处理;(9)悬翼摆振气动阻尼、燃调特性、发动机特性等非线性问题按平衡点小扰动线性化处理;(10)以发动机的起飞状态、地面静止、标准大气作为计算的平衡工作状态。1.2系统分析模式1.2.1第i阶振型的表征Τ=32[Ιye˙φ2gu+2˙φgu2∑i=1˙εi(t)Νi+2∑i=1˙εi(t)2Μi]+Ι1˙φ21+12Ι2˙φ22+12[8Ιfye˙φ2fz+Ιfz˙φ2fz]+12Ιgu˙φ2gu(1)T=32[Iyeφ˙2gu+2φ˙gu∑i=12ε˙i(t)Ni+∑i=12ε˙i(t)2Mi]+I1φ˙21+12I2φ˙22+12[8Ifyeφ˙2fz+Ifzφ˙2fz]+12Iguφ˙2gu(1)V=Κ1(φ1-φ0)2+12Κ2(φ2-φ0)2+12Κ3(φfz-φ2)2+12Κ4(φgu-φfz)2+322∑i=1ε2i(t)⋅γ2i⋅Μi(2)V=K1(φ1−φ0)2+12K2(φ2−φ0)2+12K3(φfz−φ2)2+12K4(φgu−φfz)2+32∑i=12ε2i(t)⋅γ2i⋅Mi(2)式中:I1,I2,Ifz,Igu分别为发动机功率涡轮、主减速器、风扇及主桨毂的转动惯量;Iye,Ifye分别为主桨叶风扇叶片的转动惯量;φ0,φ1,φ2,φfz,φgu分别为发动机出轴节点、发动机功率涡轮轴、主减速器进轴处、风扇及主桨毂的扰动角位移;γi为主桨叶摆振第i阶模态的固有频率;εi为主桨叶在旋转平面内的第i阶振型的广义位移;Mi为桨叶微元的转动惯量,Ni为桨叶微元的势能,K1～K4分别为发动机功率涡轮至发动机出轴节点、发动机出轴节点至主减速器、主减速器至风扇及风扇至旋翼(轴)的扭转刚度。1.2.2桨叶叶型升力系数t气动模型采用诱导速度均匀分布,线性空气动力及准定常假设。旋翼气动阻尼力在桨叶摆振一阶振型上做的功为F1=-Κ{∫R012C2yθρv0⋅(˙φgur+2∑i=1ηi(r)εi(t))η1(r)ε1(t)bdr+∫R0CxρΩr(˙φgur+2∑i=1ηi(r)˙εi(t))η1(r)⋅F1=−K{∫R012C2yθρv0⋅(φ˙gur+∑i=12ηi(r)εi(t))η1(r)ε1(t)bdr+∫R0CxρΩr(φ˙gur+∑i=12ηi(r)ε˙i(t))η1(r)⋅ε1(t)bdr}(3)旋翼气动阻尼力在桨叶摆振二阶振型上做的功为F2=-Κ{∫R012C2yθρv0⋅(˙φgur+2∑i=1ηi(r)˙εi(t))η2(r)ε2(t)bdr+∫R0CxρΩr(˙φgur+2∑i=1ηi(r)˙εi(t))η2(r)⋅F2=−K{∫R012C2yθρv0⋅(φ˙gur+∑i=12ηi(r)ε˙i(t))η2(r)ε2(t)bdr+∫R0CxρΩr(φ˙gur+∑i=12ηi(r)ε˙i(t))η2(r)⋅ε2(t)bdr}(4)式中:K为桨叶片数,Cx为主桨叶翼型阻力系数,Cy为主桨叶翼型升力系数。v0为桨盘处的诱导速度,r为主桨叶上某剖面与旋翼中心的距离,b为桨叶宽度,R为旋翼半径,θ为桨叶剖面的安装角,ρ为空气密度,ηi为主桨叶在旋转平面内第i阶振型,Ω为旋翼角速度,Cαyαy为主桨叶翼型的升力曲线斜率。1.2.3桨叶粘弹减摆器阻尼力的计算主桨叶粘弹减摆器的当量阻尼系数为C1,u为桨叶微段的弹性轴轴线到坐标OX1的距离:u=2∑i=1ηi(r)εi(t)u=∑i=12ηi(r)εi(t)桨叶粘弹减摆器提供的阻尼力为Qc=C1˙u|r=0.205(5)Qc=C1u˙|r=0.205(5)桨叶粘弹减摆器的阻尼力在桨叶摆振一阶振型上做的功为W1c=-KQcu1|r=0.205桨叶粘弹减摆器的阻尼力在桨叶摆振二阶振型上做的功为W2c=-KQcu2|r=0.205则桨叶粘弹减摆器阻尼力做的功为Wc=W1c+W2c。1.2.4由于桨叶动力的原因，船翼的动力力摇动方向M=K∫R0rdF(6)1.2.5b1222表12,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,10c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,5c2,10.2,10.2.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,10.2,由拉格朗日方程ddt(∂˙Τ∂˙φi)-∂Τ∂φi+∂V∂φi-∂Wc∂φi=-Μ(7)ddt(∂T˙∂φ˙i)−∂T∂φi+∂V∂φi−∂Wc∂φi=−M(7)又因为在节点O处扭矩平衡方程K1(φ1-φ0)+K2(φ2-φ0)=0(8)得线性微分方程组:2Ι1¨φ1+2Κ1[(1-Κ1/Κ0)φ1-(Κ2/Κ)φ2]=0Ι2¨φ2+Κ2[(-Κ1/Κ0)φ1-(1-Κ2/Κ0)φ2]-Κ3(φfz-φ2)=02I1φ¨1+2K1[(1−K1/K0)φ1−(K2/K)φ2]=0I2φ¨2+K2[(−K1/K0)φ1−(1−K2/K0)φ2]−K3(φfz−φ2)=0Ιgu¨φgu+Κ[Ιye¨φgu+¨ε1(t)Ν1+¨ε2(t)Ν2]+Κ4(φgu-φfz)+Κ[14CxρΩR4b+16Cαyθρv0R3b]˙φgu+Κ[CxρΩbΗ1+12Cαyθρv0bG1]˙ε1(t)+Κ[CxρΩbΗ2+12Cαyθρv0bG2]˙ε2(t)=0(Ιfz+ΝΙfye)¨φfz+Κ3(φfz-φ2)+Κ4(φfz-φgu)=0Κ{Μ1¨ε1(t)+Ν1¨φgu+[C1E11+CxρΩbL11+12Cαyθρv0bJ11]˙ε1(t)+[C1E12+CxρΩbL12+12Cαyθρv0bJ12]˙ε2(t)+[CxρΩbΗ1+12Cαyθρv0bG1]˙φgu+[γ21Μ1ε1(t)]}=0Κ{Μ2¨ε2(t)+Ν2¨φgu+[C1E21+CxρΩbL21+12Cαyθρv0bJ21]˙ε2(t)+[C1E22+CxρΩbL22+12Cαyθρv0bJ22]˙ε2(t)+[CxρΩbΗ2+12Cαyθρv0bG2]˙φgu+[γ22Μ2ε2(t)]}=0(9)Iguφ¨gu+K[Iyeφ¨gu+ε¨1(t)N1+ε¨2(t)N2]+K4(φgu−φfz)+K[14CxρΩR4b+16Cαyθρv0R3b]φ˙gu+K[CxρΩbH1+12Cαyθρv0bG1]ε˙1(t)+K[CxρΩbH2+12Cαyθρv0bG2]ε˙2(t)=0(Ifz+NIfye)φ¨fz+K3(φfz−φ2)+K4(φfz−φgu)=0K{M1ε¨1(t)+N1φ¨gu+[C1E11+CxρΩbL11+12Cαyθρv0bJ11]ε˙1(t)+[C1E12+CxρΩbL12+12Cαyθρv0bJ12]ε˙2(t)+[CxρΩbH1+12Cαyθρv0bG1]φ˙gu+[γ21M1ε1(t)]}=0K{M2ε¨2(t)+N2φ¨gu+[C1E21+CxρΩbL21+12Cαyθρv0bJ21]ε˙2(t)+[C1E22+CxρΩbL22+12Cαyθρv0bJ22]ε˙2(t)+[CxρΩbH2+12Cαyθρv0bG2]φ˙gu+[γ22M2ε2(t)]}=0(9)其中:Gi=R∫R0ηirdr,Hi=R∫R0ηir2dr;Jij=R2∫R0ηiηjdr,Lij=R2∫R0ηiηjrdr;Eij=η0i′η0j′,η0i′=dη1(r)dr|r=0.205。1.2.6发动机特征模型发动机系统包含有两个自由度:自由涡轮及燃气发生器。(1)发动机燃气发生器的转速扰动及可燃性分析Ιg⋅Δ˙ΝG=AQgΔΝG⋅ΔΝG+AQgWf⋅Wf(10)式中:Ig为发动机燃气发生器的转动惯量,ΔNG为发动机的燃气发生器的转速扰动量,AQgΔΝG、AQgWf为发动机特性参数,Wf发动机燃调系统的供油量。推出其传递函数为ΔΝGWf=AQgWfΙg⋅S-AQgΔΝG(11)(2)u3000cet为发动机发动机气动阻尼的1-0Ι1⋅¨φ1+CeΤ⋅˙φ1+Κ1(φ1-φ0)-AQgWf⋅Wf-AQgΔΝG⋅ΔΝG=0(12)式中:CeT为发动机功率涡轮的气动阻尼。1.2.7发动机燃烧系统的模型发动机燃调控制系统包括自由涡轮转速调节器和燃油调节器控制两部分。(1)发动机燃气发生器转速随转速扰动的规律G(s)=ΔΝGRξ1=0.89940.0653s+1(13)式中:ξ1=ΔNTFR-ΔNTF;ΔNGR为发动机燃气发生器的参考转速扰动量;ΔNTFR为发动机功率涡轮出轴的参考转速;ΔNTF为发动机的功率涡轮出轴的转速扰动量。(2)油压力控制器的传送函数G(s)=Wfξ2=0.0008233(0.789s+1)s(0.0681s+1)(14)式中:ξ2=ΔNGR-ΔNG。1.2.8型所组成的设计描述动力/传动/旋翼(风扇)机械扭振系统与发动机燃调控制系统耦合的整个闭环系统完整的数学模型是由以上各个子系统的数学模型所组成。对于采用单旋翼涵道风扇双发动机布局的新型无人直升机,整个闭环系统完整的数学模型由14个状态变量组成:{φ1,˙φ1,φ2,˙φ2,φgu,˙φgu,φfz,˙φfz,ε1,˙ε1,ε2,˙ε2,Wf,˙Wf}对系统的平衡状态线性化处理后,整个闭环系统完整的数学模型可以用状态方程写出:{˙X}=[A]{X}(15)式中:X为整个闭环系统所选取的状态变量。2外场试验仿真由上文推导出的传递函数,选取某新型单旋翼涵道风扇无人直升机的真实参数设置,在Simulink环境下对系统进行仿真,效果如图2所示。图