【考试必备】河北衡水中学中考提前自主招生数学模拟试卷(6套)附解析

中学自主招生数学试卷一．选择题（每题3分，满分36分）1．﹣的倒数是（）A． B．﹣ C． D．﹣2．下列标志的图形中，是轴对称图形的是但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．下列运算中，结果是a6的式子是（）A．a2•a3 B．a12﹣a6 C．（a3）3 D．（﹣a）64．下列调查方式，你认为最合适的是（）A．了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式 B．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式 C．了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，采用全面调查方式 D．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式5．若x＝﹣4，则x的取值范围是（）A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜66．已知|a|＝3，b2＝16，且|a+b|≠a+b，则代数式a﹣b的值为（）A．1或7 B．1或﹣7 C．﹣1或﹣7 D．±1或±77．无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（）A． B． C． D．8．在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）9．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2 B．3 C．4 D．510．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S111．如图，已知菱形ABCD中，∠A＝40°，则∠ADB的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．70°12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0二．填空题（满分18分，每小题3分）13．据测算，我国每年因沙漠造成的直接经济损失超过5400000万元，这个数用科学记数法表示为万元．14．已知扇形的弧长为4π，圆心角为120°，则它的半径为．15．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝2cm，∠BCD＝22°30′，则⊙O的半径为cm．16．如图，将直线y＝x向下平移b个单位长度后得到直线l，l与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2的值为．17．若一次函数y＝（1﹣2m）x+m的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＜y2，且与y轴相交于正半轴，则m的取值范围是．18．如图（1）是重庆中国三峡博物馆，又名重庆博物馆，中央地方共建国家级博物馆图（2）是侧面示意图．某校数学兴趣小组的同学要测量三峡博物馆的高GE．如（2），小杰身高为1.6米，小杰在A处测得博物馆楼顶G点的仰角为27°，前进12米到达B处测得博物馆楼顶G点的仰角为39°，斜坡BD的坡i＝1：2.4，BD长度是13米，GE⊥DE，A、B、D、E、G在同一平面内，则博物馆高度GE约为米．（结果精确到1米，参考数据tan27°≈0.50，tan39°≈0.80）三．解答题19．（6分）计算：（1）sin30°﹣cos45°+tan260°（2）2﹣2+﹣2sin60°+|﹣|20．（6分）求不等式组的非负整数解．21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△△CDF；（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．22．（8分）今年西宁市高中招生体育考试测试管理系统的运行，将测试完进行换算统分改为计算机自动生成，现场公布成绩，降低了误差，提高了透明度，保证了公平．考前张老师为了解全市初三男生考试项目的选择情况（每人限选一项），对全市部分初三男生进行了调查，将调查结果分成五类：A、实心球（2kg）；B、立定跳远；C、50米跑；D、半场运球；E、其它．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）将上面的条形统计图补充完整；（2）假定全市初三毕业学生中有5500名男生，试估计全市初三男生中选50米跑的人数有多少人？（3）甲、乙两名初三男生在上述选择率较高的三个项目：B、立定跳远；C、50米跑；D、半场运球中各选一项，同时选择半场运球、立定跳远的概率是多少？请用列表法或画树形图的方法加以说明并列出所有等可能的结果．23．（9分）随着经济水平的不断提升，越来越多的人选择到电影院去观看电影，体验视觉盛宴，并且更多的人通过淘票票，猫眼等网上平台购票，快捷且享受更多优惠，电影票价格也越来越便宜．2018年从网上平台购买5张电影票的费用比在现场购买3张电影票的费用少10元，从网上平台购买4张电影票的费用和现场购买2张电影票的费用共为190元．（1）请问2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格各为多少元？（2）2019年“元旦”当天，南坪上海城的“华谊兄弟影院”按照2018年在网上平台购票和现场购票的电影票的价格进行销售，当天网上和现场售出电影票总票数为600张．“元旦”假期刚过，观影人数出现下降，于是该影院决定将1月2日的现场购票的价格下调，网上购票价格保持不变，结果发现现场购票每张电影票的价格每降价0.5元，则当天总票数比“元旦”当天总票数增加4张，经统计，1月2日的总票数中有通过网上平台售出，其余均由电影院现场售出，且当天票房总收益为19800元，请问该电影院在1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了多少元？24．（9分）如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．（1）求证：DC＝BC；（2）若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．25．（10分）若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）与y轴交于点C，其图象的顶点为点M，O是坐标原点．（1）若A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）求此二次函数的解析式并写出二次函数的对称轴；（2）如图1，若a＞0，b＞0，△ABC为直角三角形，△ABM是以AB＝2的等边三角形，试确定a，b，c的值；（3）设m，n为正整数，且m≠2，a＝1，t为任意常数，令b＝3﹣mt，c＝﹣3mt，如果对于一切实数t，AB≥|2t+n|始终成立，求m、n的值．26．（10分）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案一．选择题1．解：﹣的倒数是：﹣．故选：B．2．解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意．故选：D．3．解：A、a2•a3＝a5，故本选项错误；B、不能进行计算，故本选项错误；C、（a3）3＝a9，故本选项错误；D、（﹣a）6＝a6，正确．故选：D．4．解：A、了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式，正确；B、旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式，故错误；C、了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，抽样调查方式，故错误；D、日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用抽样调查方式，故错误；故选：A．5．解：∵36＜37＜49，∴6＜＜7，∴2＜﹣4＜3，故x的取值范围是2＜x＜3．故选：A．6．解：∵|a|＝3，∴a＝±3；∵b2＝16，∴b＝±4；∵|a+b|≠a+b，∴a+b＜0，∴a＝3，b＝﹣4或a＝﹣3，b＝﹣4，（1）a＝3，b＝﹣4时，a﹣b＝3﹣（﹣4）＝7；（2）a＝﹣3，b＝﹣4时，a﹣b＝﹣3﹣（﹣4）＝1；∴代数式a﹣b的值为1或7．故选：A．7．解：当a＝0时，a2＝0，故A、B中分式无意义；当a＝﹣1时，a+1＝0，故C中分式无意义；无论a取何值时，a2+1≠0，故选：D．8．解：∵将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，∴点A′的横坐标为1﹣2＝﹣1，纵坐标为﹣2+3＝1，∴A′的坐标为（﹣1，1）．故选：A．9．解：∵△ABO∽△CDO，∴＝，∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，∴＝，解得：AB＝4．故选：C．10．解：作OD⊥BC交BC与点D，∵∠COA＝60°，∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°．∴S扇形AOC＝；S扇形BOC＝．在三角形OCD中，∠OCD＝30°，∴OD＝，CD＝，BC＝R，∴S△OBC＝，S弓形＝＝，＞＞，∴S2＜S1＜S3．故选：B．11．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∠ADB＝∠CDB，∴∠A+∠ADC＝180°，∵∠A＝40°，∴∠ADC＝140°，∴∠ADB＝×140°＝70°，故选：D．12．解：A、∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，∴a＜0，c＞0，∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，故本选项错误；B、∵图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；C、∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；D、∵当x＝3时，y＝0，∵b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c，把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，故选：D．二．填空题13．解：5400000＝5.4×106万元．故答案为5.4×106．14．解：因为l＝，l＝4π，n＝120，所以可得：4π＝，解得：r＝6，故答案为：615．解：连结OB，如图，∵∠BCD＝22°30′，∴∠BOD＝2∠BCD＝45°，∵AB⊥CD，∴BE＝AE＝AB＝×2＝，△BOE为等腰直角三角形，∴OB＝BE＝2（cm）．故答案为：2．16．解：∵平移后解析式是y＝x﹣b，代入y＝得：x﹣b＝，即x2﹣bx＝5，y＝x﹣b与x轴交点B的坐标是（b，0），设A的坐标是（x，y），∴OA2﹣OB2＝x2+y2﹣b2＝x2+（x﹣b）2﹣b2＝2x2﹣2xb＝2（x2﹣xb）＝2×5＝10，故答案为：10．17．解：∵当1＜2时，y1＜y2，∴函数值y随x的增大而增大，∴1﹣2m＞0，解得m＜∵函数的图象与y轴相交于正半轴，∴m＞0，故m的取值范围是0＜m＜故答案为0＜m＜18．解：如图，延长CF交GE的延长线于H，延长GE交AB的延长线于J．设GE＝xm．在Rt△BDK中，∵BD＝13，DK：BK＝1：2.4，∴DK＝5，BK＝12，∵AC＝BF＝HJ＝1.6，DK＝EJ＝5，∴EH＝5﹣1.6＝3.4，∵CH﹣FH＝CF，∴﹣＝12，∴﹣＝12，∴x＝12.6≈13（m），故答案为13．三．解答题19．解：（1）原式＝＝（2）原式＝＝20．解：解不等式组得﹣2＜x≤5，所以原不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，5．21．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．22．解：（1）被调查的学生总人数：150÷15%＝1000人，选择B的人数：1000×（1﹣15%﹣20%﹣40%﹣5%）＝1000×20%＝200；补全统计图如图所示；（2）5500×40%＝2200人；（3）根据题意画出树状图如下：所有等可能结果有9种：BB、BC、BD、CB、CC、CD、DB、DC、DD，同时选择B和D的有2种可能，即BD和DB，P（同时选择B和D）＝．23．解：（1）设现场购买每张电影票为x元，网上购买每张电影票为y元．依题意列二元一次方程组∵经检验解得（2）设1月2日该电影院影票现场售价下调m元，那么会多卖出张电影票．依题意列一元二次方程：（45﹣m）[（600+）×（1﹣）]＝19800﹣25×（600+）（1﹣）整理得：16m2﹣120m＝0m（16m﹣120）＝0解得m1＝0（舍去）m2＝7.5答：（1）2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格分别为25元和45元；（2）1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了7.5元．24．（1）证明：连接OC．（1分）∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°．（2分）∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠OCE＝90°．∴OC∥AE．∴∠OCA＝∠CAD．∴∠CAD＝∠BAC．（4分）∴．∴DC＝BC．（5分）（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴BC＝＝3．（6分）∵∠CAE＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，∴△ACE∽△ABC．（7分）∴．∴，．（8分）∵DC＝BC＝3，∴．（9分）∴tan∠DCE＝．（10分）25．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），则﹣8a＝3，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；（2）如图所示，△ABC为直角三角形，则∠ACB＝90°，∵△AMB是等边三角形，则点C是MB的中点，则BC＝MC＝1，则BO＝BC＝，同理OC＝，OA＝2﹣＝，则点A、B、C的坐标分别为（﹣，0）、（，0），（0，﹣），则函数的表达式为：y＝a（x+）（x﹣）＝a（x2+x﹣），即﹣a＝﹣，解得：a＝，则函数表达式为：y＝x2+x﹣；（3）y＝ax2+bx+c＝x2+（3﹣mt）x﹣3mt，则x1+x2＝mt﹣3，x1x2＝﹣3mt，AB＝x2﹣x1＝＝|mt+3|≥|2t+n|，则m2t2+6mt+9≥4t2+4tn+n2，即：（m2﹣4）t2+（6m﹣4n）t+（9﹣n2）≥0，由题意得：m2﹣4＞0，△＝（6m﹣4n）2﹣4（m2﹣4）（9﹣n2）≤0，解得：mn＝6，故：m＝3，n＝2或m＝6，n＝1．26．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0）∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3∴A（0，3）∴直线AB解析式为y＝x+3∵点P在线段AB上方抛物线上∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）∴F（t，t+3）∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF＝PF•OH+PF•BH＝PF•OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+∴点P运动到坐标为（﹣，），△PAB面积最大（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴对称轴为直线x＝﹣1∵PE∥x轴交抛物线于点E∴yE＝yP，即点E、P关于对称轴对称∴＝﹣1∴xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°∴PD＝PE①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2∴P（﹣2，3）②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t∴﹣t2﹣3t＝2+2t解得：t1＝，t2＝（舍去）∴P（，）综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时使△PDE为等腰直角三角形．中学自主招生数学试卷一．选择题（每题3分，满分36分）1．﹣的倒数是（）A． B．﹣ C． D．﹣2．下列标志的图形中，是轴对称图形的是但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．下列运算中，结果是a6的式子是（）A．a2•a3 B．a12﹣a6 C．（a3）3 D．（﹣a）64．下列调查方式，你认为最合适的是（）A．了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式 B．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式 C．了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，采用全面调查方式 D．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式5．若x＝﹣4，则x的取值范围是（）A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜66．已知|a|＝3，b2＝16，且|a+b|≠a+b，则代数式a﹣b的值为（）A．1或7 B．1或﹣7 C．﹣1或﹣7 D．±1或±77．无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（）A． B． C． D．8．在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）9．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2 B．3 C．4 D．510．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S111．如图，已知菱形ABCD中，∠A＝40°，则∠ADB的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．70°12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0二．填空题（满分18分，每小题3分）13．据测算，我国每年因沙漠造成的直接经济损失超过5400000万元，这个数用科学记数法表示为万元．14．已知扇形的弧长为4π，圆心角为120°，则它的半径为．15．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝2cm，∠BCD＝22°30′，则⊙O的半径为cm．16．如图，将直线y＝x向下平移b个单位长度后得到直线l，l与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A，与x轴相交于点B，则OA2﹣OB2的值为．17．若一次函数y＝（1﹣2m）x+m的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＜y2，且与y轴相交于正半轴，则m的取值范围是．18．如图（1）是重庆中国三峡博物馆，又名重庆博物馆，中央地方共建国家级博物馆图（2）是侧面示意图．某校数学兴趣小组的同学要测量三峡博物馆的高GE．如（2），小杰身高为1.6米，小杰在A处测得博物馆楼顶G点的仰角为27°，前进12米到达B处测得博物馆楼顶G点的仰角为39°，斜坡BD的坡i＝1：2.4，BD长度是13米，GE⊥DE，A、B、D、E、G在同一平面内，则博物馆高度GE约为米．（结果精确到1米，参考数据tan27°≈0.50，tan39°≈0.80）三．解答题19．（6分）计算：（1）sin30°﹣cos45°+tan260°（2）2﹣2+﹣2sin60°+|﹣|20．（6分）求不等式组的非负整数解．21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△△CDF；（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．22．（8分）今年西宁市高中招生体育考试测试管理系统的运行，将测试完进行换算统分改为计算机自动生成，现场公布成绩，降低了误差，提高了透明度，保证了公平．考前张老师为了解全市初三男生考试项目的选择情况（每人限选一项），对全市部分初三男生进行了调查，将调查结果分成五类：A、实心球（2kg）；B、立定跳远；C、50米跑；D、半场运球；E、其它．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）将上面的条形统计图补充完整；（2）假定全市初三毕业学生中有5500名男生，试估计全市初三男生中选50米跑的人数有多少人？（3）甲、乙两名初三男生在上述选择率较高的三个项目：B、立定跳远；C、50米跑；D、半场运球中各选一项，同时选择半场运球、立定跳远的概率是多少？请用列表法或画树形图的方法加以说明并列出所有等可能的结果．23．（9分）随着经济水平的不断提升，越来越多的人选择到电影院去观看电影，体验视觉盛宴，并且更多的人通过淘票票，猫眼等网上平台购票，快捷且享受更多优惠，电影票价格也越来越便宜．2018年从网上平台购买5张电影票的费用比在现场购买3张电影票的费用少10元，从网上平台购买4张电影票的费用和现场购买2张电影票的费用共为190元．（1）请问2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格各为多少元？（2）2019年“元旦”当天，南坪上海城的“华谊兄弟影院”按照2018年在网上平台购票和现场购票的电影票的价格进行销售，当天网上和现场售出电影票总票数为600张．“元旦”假期刚过，观影人数出现下降，于是该影院决定将1月2日的现场购票的价格下调，网上购票价格保持不变，结果发现现场购票每张电影票的价格每降价0.5元，则当天总票数比“元旦”当天总票数增加4张，经统计，1月2日的总票数中有通过网上平台售出，其余均由电影院现场售出，且当天票房总收益为19800元，请问该电影院在1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了多少元？24．（9分）如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD．（1）求证：DC＝BC；（2）若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．25．（10分）若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）与y轴交于点C，其图象的顶点为点M，O是坐标原点．（1）若A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）求此二次函数的解析式并写出二次函数的对称轴；（2）如图1，若a＞0，b＞0，△ABC为直角三角形，△ABM是以AB＝2的等边三角形，试确定a，b，c的值；（3）设m，n为正整数，且m≠2，a＝1，t为任意常数，令b＝3﹣mt，c＝﹣3mt，如果对于一切实数t，AB≥|2t+n|始终成立，求m、n的值．26．（10分）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案一．选择题1．解：﹣的倒数是：﹣．故选：B．2．解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意．故选：D．3．解：A、a2•a3＝a5，故本选项错误；B、不能进行计算，故本选项错误；C、（a3）3＝a9，故本选项错误；D、（﹣a）6＝a6，正确．故选：D．4．解：A、了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式，正确；B、旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式，故错误；C、了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，抽样调查方式，故错误；D、日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用抽样调查方式，故错误；故选：A．5．解：∵36＜37＜49，∴6＜＜7，∴2＜﹣4＜3，故x的取值范围是2＜x＜3．故选：A．6．解：∵|a|＝3，∴a＝±3；∵b2＝16，∴b＝±4；∵|a+b|≠a+b，∴a+b＜0，∴a＝3，b＝﹣4或a＝﹣3，b＝﹣4，（1）a＝3，b＝﹣4时，a﹣b＝3﹣（﹣4）＝7；（2）a＝﹣3，b＝﹣4时，a﹣b＝﹣3﹣（﹣4）＝1；∴代数式a﹣b的值为1或7．故选：A．7．解：当a＝0时，a2＝0，故A、B中分式无意义；当a＝﹣1时，a+1＝0，故C中分式无意义；无论a取何值时，a2+1≠0，故选：D．8．解：∵将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，∴点A′的横坐标为1﹣2＝﹣1，纵坐标为﹣2+3＝1，∴A′的坐标为（﹣1，1）．故选：A．9．解：∵△ABO∽△CDO，∴＝，∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，∴＝，解得：AB＝4．故选：C．10．解：作OD⊥BC交BC与点D，∵∠COA＝60°，∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°．∴S扇形AOC＝；S扇形BOC＝．在三角形OCD中，∠OCD＝30°，∴OD＝，CD＝，BC＝R，∴S△OBC＝，S弓形＝＝，＞＞，∴S2＜S1＜S3．故选：B．11．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∠ADB＝∠CDB，∴∠A+∠ADC＝180°，∵∠A＝40°，∴∠ADC＝140°，∴∠ADB＝×140°＝70°，故选：D．12．解：A、∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，∴a＜0，c＞0，∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，故本选项错误；B、∵图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；C、∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；D、∵当x＝3时，y＝0，∵b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c，把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，故选：D．二．填空题13．解：5400000＝5.4×106万元．故答案为5.4×106．14．解：因为l＝，l＝4π，n＝120，所以可得：4π＝，解得：r＝6，故答案为：615．解：连结OB，如图，∵∠BCD＝22°30′，∴∠BOD＝2∠BCD＝45°，∵AB⊥CD，∴BE＝AE＝AB＝×2＝，△BOE为等腰直角三角形，∴OB＝BE＝2（cm）．故答案为：2．16．解：∵平移后解析式是y＝x﹣b，代入y＝得：x﹣b＝，即x2﹣bx＝5，y＝x﹣b与x轴交点B的坐标是（b，0），设A的坐标是（x，y），∴OA2﹣OB2＝x2+y2﹣b2＝x2+（x﹣b）2﹣b2＝2x2﹣2xb＝2（x2﹣xb）＝2×5＝10，故答案为：10．17．解：∵当1＜2时，y1＜y2，∴函数值y随x的增大而增大，∴1﹣2m＞0，解得m＜∵函数的图象与y轴相交于正半轴，∴m＞0，故m的取值范围是0＜m＜故答案为0＜m＜18．解：如图，延长CF交GE的延长线于H，延长GE交AB的延长线于J．设GE＝xm．在Rt△BDK中，∵BD＝13，DK：BK＝1：2.4，∴DK＝5，BK＝12，∵AC＝BF＝HJ＝1.6，DK＝EJ＝5，∴EH＝5﹣1.6＝3.4，∵CH﹣FH＝CF，∴﹣＝12，∴﹣＝12，∴x＝12.6≈13（m），故答案为13．三．解答题19．解：（1）原式＝＝（2）原式＝＝20．解：解不等式组得﹣2＜x≤5，所以原不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，5．21．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．22．解：（1）被调查的学生总人数：150÷15%＝1000人，选择B的人数：1000×（1﹣15%﹣20%﹣40%﹣5%）＝1000×20%＝200；补全统计图如图所示；（2）5500×40%＝2200人；（3）根据题意画出树状图如下：所有等可能结果有9种：BB、BC、BD、CB、CC、CD、DB、DC、DD，同时选择B和D的有2种可能，即BD和DB，P（同时选择B和D）＝．23．解：（1）设现场购买每张电影票为x元，网上购买每张电影票为y元．依题意列二元一次方程组∵经检验解得（2）设1月2日该电影院影票现场售价下调m元，那么会多卖出张电影票．依题意列一元二次方程：（45﹣m）[（600+）×（1﹣）]＝19800﹣25×（600+）（1﹣）整理得：16m2﹣120m＝0m（16m﹣120）＝0解得m1＝0（舍去）m2＝7.5答：（1）2018年在网上平台购票和现场购票的每张电影票的价格分别为25元和45元；（2）1月2日当天现场购票每张电影票的价格下调了7.5元．24．（1）证明：连接OC．（1分）∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°．（2分）∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠OCE＝90°．∴OC∥AE．∴∠OCA＝∠CAD．∴∠CAD＝∠BAC．（4分）∴．∴DC＝BC．（5分）（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴BC＝＝3．（6分）∵∠CAE＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，∴△ACE∽△ABC．（7分）∴．∴，．（8分）∵DC＝BC＝3，∴．（9分）∴tan∠DCE＝．（10分）25．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），则﹣8a＝3，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；（2）如图所示，△ABC为直角三角形，则∠ACB＝90°，∵△AMB是等边三角形，则点C是MB的中点，则BC＝MC＝1，则BO＝BC＝，同理OC＝，OA＝2﹣＝，则点A、B、C的坐标分别为（﹣，0）、（，0），（0，﹣），则函数的表达式为：y＝a（x+）（x﹣）＝a（x2+x﹣），即﹣a＝﹣，解得：a＝，则函数表达式为：y＝x2+x﹣；（3）y＝ax2+bx+c＝x2+（3﹣mt）x﹣3mt，则x1+x2＝mt﹣3，x1x2＝﹣3mt，AB＝x2﹣x1＝＝|mt+3|≥|2t+n|，则m2t2+6mt+9≥4t2+4tn+n2，即：（m2﹣4）t2+（6m﹣4n）t+（9﹣n2）≥0，由题意得：m2﹣4＞0，△＝（6m﹣4n）2﹣4（m2﹣4）（9﹣n2）≤0，解得：mn＝6，故：m＝3，n＝2或m＝6，n＝1．26．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0）∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3∴A（0，3）∴直线AB解析式为y＝x+3∵点P在线段AB上方抛物线上∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）∴F（t，t+3）∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF＝PF•OH+PF•BH＝PF•OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+∴点P运动到坐标为（﹣，），△PAB面积最大（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴对称轴为直线x＝﹣1∵PE∥x轴交抛物线于点E∴yE＝yP，即点E、P关于对称轴对称∴＝﹣1∴xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°∴PD＝PE①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2∴P（﹣2，3）②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t∴﹣t2﹣3t＝2+2t解得：t1＝，t2＝（舍去）∴P（，）综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时使△PDE为等腰直角三角形．中学自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）（第2题）1．下列计算结果是x（第2题）A．x2•x3B．x6－xC．x10÷x2D．(x3)22．如图，一个有盖的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的形状不可能是A．B．C．D．3．eq\r(258eq\f(1,256))的值等于A．15eq\f(1,16)B．±15eq\f(1,16)C．16eq\f(1,16)D．±16eq\f(1,16)4．点P（m，n）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标（m＋1，n－1）对应的点可能是A．AB．BC．CD．DABCABCDPOyx（第4题）（第6题）yxOABCMmn（第5题）5．完全相同的4个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为m，n的大长方形，则图中阴影部分的周长是A．4mB．4nC．2m＋nD．m＋2n6．如图，□OABC的周长为14，∠AOC＝60°，以O为原点，OC所在直线为x轴建立直角坐标系，函数y＝eq\f(k,x)（x＞0）的图像经过□OABC的顶点A和BC的中点M，则k的值为A．2eq\r(3)B．4eq\r(3)C．6D．12

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．已知某种纸一张的厚度为0.0087cm．用科学记数法表示0.0087是▲．8．分解因式2x2－4xy＋2y2的结果是▲．9．若式子eq\r(1－2x)在实数范围内有意义，则x的取值范围是▲．10．计算(EQ\R(,6)－eq\r(18))×eq\r(\f(1,3))＋2eq\r(6)的结果是▲．11．若x1，x2是一元二次方程x2－2x－4＝0的两个实数根，则x1＋x2－x1x2＝▲．12．如图，点I为△ABC的重心，过点I作PQ∥BC交AB于点P，交AC于点Q．若AB＝6，AC＝4，BC＝5，则PQ的长为▲．13．已知甲、乙两组数据的折线图如图所示，则甲的方差▲乙的方差（填“＞”、“＝”或“＜”）．序号序号（第13题）12345612345670数据甲组数据乙组数据甲、乙数据折线统计图ABCIPQ（第12题）14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，eq\o(\s\up5(⌒),AC)的长为π，则∠ADC的大小是15．如图，将边长为8正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M处，点D落在点D'处，MD'与AD交于点G，则△AMG的内切圆半径的长为▲．AADCBO（第14题）（第15题）ABCDEFGMD'O16．若关于x的不等式组eq\b\lc\{(\a\vs3\al(eq\f(2x＋1,2)＋3＞－1,x＜m))的所有整数解的和是－7，则m的取值范围是▲．

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）先化简，再求值：(eq\f(1,x2－4)＋eq\f(1,x＋2))÷eq\f(x－1,x－2)，其中－2≤x≤2，且x为整数，请你选一个合适的x值代入求值．18．（7分）解方程eq\f(2,3x－1)－1＝eq\f(3,6x－2)．19．（8分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF．BCDAEFP（第19题）BCDAEFP（第19题）（2）EF与AD交于点P，∠DPE＝48°，求∠CBE的度数．20．（8分）某品牌电脑销售公司有营销员14人，销售部为制定营销人员月销售电脑定额，统计了这14人某月的销售量如下（单位：台）：销售量200170130805040人数112532（1）该公司营销员销售该品牌电脑的月销售平均数是▲台，中位数是▲台，众数是▲台．（2）销售部经理把每位营销员月销售量定为90台，你认为是否合理？说明理由．21．（8分）甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打第一场比赛．（1）若由甲挑一名选手打第一场比赛，选中乙的概率是▲；（2）任选两名同学打第一场，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．ABCM（第22题）22．（7分）如图，已知M为△ABC的边BC上一点，请用圆规和直尺作出一条直线l，使直线l过点M，且B关于ABCM（第22题）23．（8分）某校学生步行到郊外春游．一班的学生组成前队，速度为4km/h，二班的学生组成后队，速度为6km/h．前队出发1h后，后队才出发，同时，后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为akm/h．若不计队伍的长度，如图，折线A﹣B﹣C、A﹣D﹣E分别表示后队、联络员在行进过程中，离前队的路程y(km)与后队行进时间x(h)之间的部分函数图像．（1）联络员骑车的速度a＝▲；（2）求线段AD对应的函数表达式；（3）求联络员折返后第一次与后队相遇时的时间？AABCDEO12x/heq\f(3,2)eq\f(1,2)y/km4（第23题）24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；ABCDEO（第24题）（2）若AC∥DE，当AB＝ABCDEO（第24题）25．（8分）如图，A、B、C三个城市位置如图所示，A城在B城正南方向180km处，C城在B城南偏东37°方向．已知一列货车从A城出发匀速驶往B城，同时一辆客车从B城出发匀速驶往C城，出发1小时后，货车到达P地，客车到达M地，此时测得∠BPM＝26°，两车又继续行驶1小时，货车到达Q地，客车到达N地，此时测得∠BNQ＝45°，求两车的速度．（参考数据：sin37°≈eq\f(3,5)，cos37°≈eq\f(4,5)，tan37°≈eq\f(3,4)，sin26°≈eq\f(2,5)，cos26°≈eq\f(9,10)，tan26°≈eq\f(1,2)）（第（第25题）A37°45°BPC北东MQN26°26．（8分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2＋mx＋n的图像上，当x1＝1、x2＝3时，y1＝y2．（1）若P（a，b1），Q（3，b2）是函数图象上的两点，b1＞b2，则实数a的取值范围是（▲）A．a＜1B．a＞3C．a＜1或a＞3D．1＜a＜3（2）若抛物线与x轴只有一个公共点，求二次函数的表达式．（3）若对于任意实数x1、x2都有y1＋y2≥2，则n的范围是▲．27．（11分）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BDC＝90°，AB＝AD，∠DCB＝60°，CD＝8．（1）若P是BD上一点，且PA＝CD，求∠PAB的度数．（2）①将图1中的△ABD绕点B顺时针旋转30°，点D落在边BC上的E处，AE交BD于点O，连接DE，如图2，求证：DE2＝DO•DB；②将图1中△ABD绕点B旋转α得到△A'BD'(A与A'，D与D'是对应点)，若CD'＝CD，则cosα的值为▲．ABABCD（图1）ABCDEO（图2）参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）题号123456答案ADCBBB二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．8.7×10－38．2(x－y)29．x≤eq\f(1,2)10．eq\r(2)＋eq\r(6)11．612．eq\f(10,3)13．＞14．135°15．eq\f(4,3)16．－3＜m≤－2或2＜m≤3三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（本题7分）解：(eq\f(1,x2－4)＋eq\f(1,x＋2))÷eq\f(x－1,x－2)＝eq\f(1＋x－2,(x＋2)(x－2))eq\f(x－2,x－1)＝eq\f(x－1,(x＋2)(x－2))eq\f(x－2,x－1)＝eq\f(1,x＋2)． 5分当x＝0时，原式＝eq\f(1,0＋2)＝eq\f(1,2)或当x＝－1时，原式=eq\f(1,－1+2)＝1． 7分18．（本题7分）解：eq\f(2,3x－1)－1＝eq\f(3,6x－2)两边同时乘以2(3x－1)，得4－2(3x－1)＝3 2分4－6x＋2＝3－6x＝－3x＝eq\f(1,2) 5分检验：当x＝eq\f(1,2)时，2(3x－1)＝2×(3×eq\f(1,2)－1)≠0．所以，x＝eq\f(1,2)是原方程的解． 7分19.（本题8分）（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC．∵△BEF是等边三角形，∴BF＝BE，∠FBE＝∠FEB＝60°．∵∠ABC＝60°，∴∠ABC＝∠FBE，∴∠ABC－∠ABE＝∠FBE－∠ABE，即∠EBC＝∠FBA．∴△EBC≌△FBC（SAS）．∴CE＝AF． 4分（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°．∴∠C＝180°－∠D＝120°．在△PDE中，∠D＋∠DPE＋∠PED＝180°，∴∠DEP＝72°．由（1）得，∠FEB＝60°，∴∠BED＝∠DEP＋∠BEP＝72°＋60°＝132°．∴∠CBE＝∠BED－∠C＝132°－120°＝12°． 8分20．（本题8分）（1）90，80，80． 6分（2）不合理，因为若将每位营销员月销售量定为90台，则多数营销员可能完不成任务． 8分21．（本题8分）解：（1）eq\f(1,3)． 2分（2）随机选两位同学打第一场比赛，可能出现的结果有12种，即（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，甲）、（乙，丙），（乙，丁）、（丙，甲）、（丙，乙）、（丙，丁）、（丁，甲）、（丁，乙），（丁，丙）、并且它们出现的可能性相等．恰好选中甲、乙两位同学（记为事件A）的结果有2种，即（甲，乙）、（乙，甲），所以P（A）＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)． 8分22．（本题7分）略 7分23．（本题8分）解：（1） 2分（2）设线段AD所表示的y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b．因为y＝kx＋b的图像过点（0，）与（eq\f(1,2)，），所以eq\b\lc\{(\a\al(b＝，,eq\f(1,2)k＋b＝．))解方程组，得eq\b\lc\{(\a\al(k＝－8，,b＝．))所以线段AD所表示的y与x之间的函数表达式为y＝－8x＋． 5分（3）根据题意，联络员出发eq\f(1,2)h后与第一次追上一班，此时，联络员与二班相距3km，折返后需要eq\f(3,12+6)＝eq\f(1,6)(h)，因为eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)，所以，联络员出发eq\f(2,3)h后与第一次后队相遇． 8分24．（本题8分）证明：（1）如图，连接BD，交AC于点F．∵∠BAD＝90°，∴BD是直径．∴∠BCD＝90°．∴∠DEC＋∠CDE＝90°．∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC＋∠CDE＝90°．∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC＋∠CDE＝90°．∴∠BDE＝90°，即BD⊥DE．∵点D在⊙O上，ABCDEO（第24题）F∴ABCDEO（第24题）F（2）∵DE∥AC，∠BDE＝90°，∴∠BFC＝90°．∴CB＝AB＝12，AF＝CF＝eq\f(1,2)AC，∵∠CDE＋∠BDC＝90°，∠BDC＋∠CBD＝90°．∴∠CDE＝∠CBD．∵∠DCE＝∠BCD＝90°，∴△BCD∽△DCE，∴eq\f(BC,CD)＝eq\f(CD,CE)，∴CD＝6．∴BD＝6eq\r(5)．同理：△CFD∽△BCD，∴eq\f(CF,BC)＝eq\f(CD,BD)，∴CF＝eq\f(12eq\r(5),5)．∴AC＝2AF＝eq\f(24eq\r(5),5)． 8分25．（本题8分）解：设货车、客车的速度分别为xkm/h、ykm/h，由题意，得AP＝PQ＝xkm，BM＝MN＝ykm.如图，过点M作ME⊥AB，垂足为E．A37°45°BPCA37°45°BPC北东MQN26°EF∵sinB＝中学自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）（第2题）1．下列计算结果是x（第2题）A．x2•x3B．x6－xC．x10÷x2D．(x3)22．如图，一个有盖的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的形状不可能是A．B．C．D．3．eq\r(258eq\f(1,256))的值等于A．15eq\f(1,16)B．±15eq\f(1,16)C．16eq\f(1,16)D．±16eq\f(1,16)4．点P（m，n）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标（m＋1，n－1）对应的点可能是A．AB．BC．CD．DABCABCDPOyx（第4题）（第6题）yxOABCMmn（第5题）5．完全相同的4个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为m，n的大长方形，则图中阴影部分的周长是A．4mB．4nC．2m＋nD．m＋2n6．如图，□OABC的周长为14，∠AOC＝60°，以O为原点，OC所在直线为x轴建立直角坐标系，函数y＝eq\f(k,x)（x＞0）的图像经过□OABC的顶点A和BC的中点M，则k的值为A．2eq\r(3)B．4eq\r(3)C．6D．12

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．已知某种纸一张的厚度为0.0087cm．用科学记数法表示0.0087是▲．8．分解因式2x2－4xy＋2y2的结果是▲．9．若式子eq\r(1－2x)在实数范围内有意义，则x的取值范围是▲．10．计算(EQ\R(,6)－eq\r(18))×eq\r(\f(1,3))＋2eq\r(6)的结果是▲．11．若x1，x2是一元二次方程x2－2x－4＝0的两个实数根，则x1＋x2－x1x2＝▲．12．如图，点I为△ABC的重心，过点I作PQ∥BC交AB于点P，交AC于点Q．若AB＝6，AC＝4，BC＝5，则PQ的长为▲．13．已知甲、乙两组数据的折线图如图所示，则甲的方差▲乙的方差（填“＞”、“＝”或“＜”）．序号序号（第13题）12345612345670数据甲组数据乙组数据甲、乙数据折线统计图ABCIPQ（第12题）14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，eq\o(\s\up5(⌒),AC)的长为π，则∠ADC的大小是15．如图，将边长为8正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M处，点D落在点D'处，MD'与AD交于点G，则△AMG的内切圆半径的长为▲．AADCBO（第14题）（第15题）ABCDEFGMD'O16．若关于x的不等式组eq\b\lc\{(\a\vs3\al(eq\f(2x＋1,2)＋3＞－1,x＜m))的所有整数解的和是－7，则m的取值范围是▲．

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）先化简，再求值：(eq\f(1,x2－4)＋eq\f(1,x＋2))÷eq\f(x－1,x－2)，其中－2≤x≤2，且x为整数，请你选一个合适的x值代入求值．18．（7分）解方程eq\f(2,3x－1)－1＝eq\f(3,6x－2)．19．（8分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF．BCDAEFP（第19题）BCDAEFP（第19题）（2）EF与AD交于点P，∠DPE＝48°，求∠CBE的度数．20．（8分）某品牌电脑销售公司有营销员14人，销售部为制定营销人员月销售电脑定额，统计了这14人某月的销售量如下（单位：台）：销售量200170130805040人数112532（1）该公司营销员销售该品牌电脑的月销售平均数是▲台，中位数是▲台，众数是▲台．（2）销售部经理把每位营销员月销售量定为90台，你认为是否合理？说明理由．21．（8分）甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打第一场比赛．（1）若由甲挑一名选手打第一场比赛，选中乙的概率是▲；（2）任选两名同学打第一场，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．ABCM（第22题）22．（7分）如图，已知M为△ABC的边BC上一点，请用圆规和直尺作出一条直线l，使直线l过点M，且B关于ABCM（第22题）23．（8分）某校学生步行到郊外春游．一班的学生组成前队，速度为4km/h，二班的学生组成后队，速度为6km/h．前队出发1h后，后队才出发，同时，后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为akm/h．若不计队伍的长度，如图，折线A﹣B﹣C、A﹣D﹣E分别表示后队、联络员在行进过程中，离前队的路程y(km)与后队行进时间x(h)之间的部分函数图像．（1）联络员骑车的速度a＝▲；（2）求线段AD对应的函数表达式；（3）求联络员折返后第一次与后队相遇时的时间？AABCDEO12x/heq\f(3,2)eq\f(1,2)y/km4（第23题）24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；ABCDEO（第24题）（2）若AC∥DE，当AB＝ABCDEO（第24题）25．（8分）如图，A、B、C三个城市位置如图所示，A城在B城正南方向180km处，C城在B城南偏东37°方向．已知一列货车从A城出发匀速驶往B城，同时一辆客车从B城出发匀速驶往C城，出发1小时后，货车到达P地，客车到达M地，此时测得∠BPM＝26°，两车又继续行驶1小时，货车到达Q地，客车到达N地，此时测得∠BNQ＝45°，求两车的速度．（参考数据：sin37°≈eq\f(3,5)，cos37°≈eq\f(4,5)，tan37°≈eq\f(3,4)，sin26°≈eq\f(2,5)，cos26°≈eq\f(9,10)，tan26°≈eq\f(1,2)）（第（第25题）A37°45°BPC北东MQN26°26．（8分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2＋mx＋n的图像上，当x1＝1、x2＝3时，y1＝y2．（1）若P（a，b1），Q（3，b2）是函数图象上的两点，b1＞b2，则实数a的取值范围是（▲）A．a＜1B．a＞3C．a＜1或a＞3D．1＜a＜3（2）若抛物线与x轴只有一个公共点，求二次函数的表达式．（3）若对于任意实数x1、x2都有y1＋y2≥2，则n的范围是▲．27．（11分）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BDC＝90°，AB＝AD，∠DCB＝60°，CD＝8．（1）若P是BD上一点，且PA＝CD，求∠PAB的度数．（2）①将图1中的△ABD绕点B顺时针旋转30°，点D落在边BC上的E处，AE交BD于点O，连接DE，如图2，求证：DE2＝DO•DB；②将图1中△ABD绕点B旋转α得到△A'BD'(A与A'，D与D'是对应点)，若CD'＝CD，则cosα的值为▲．ABABCD（图1）ABCDEO（图2）参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）题号123456答案ADCBBB二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．8.7×10－38．2(x－y)29．x≤eq\f(1,2)10．eq\r(2)＋eq\r(6)11．612．eq\f(10,3)13．＞14．135°15．eq\f(4,3)16．－3＜m≤－2或2＜m≤3三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（本题7分）解：(eq\f(1,x2－4)＋eq\f(1,x＋2))÷eq\f(x－1,x－2)＝eq\f(1＋x－2,(x＋2)(x－2))eq\f(x－2,x－1)＝eq\f(x－1,(x＋2)(x－2))eq\f(x－2,x－1)＝eq\f(1,x＋2)． 5分当x＝0时，原式＝eq\f(1,0＋2)＝eq\f(1,2)或当x＝－1时，原式=eq\f(1,－1+2)＝1． 7分18．（本题7分）解：eq\f(2,3x－1)－1＝eq\f(3,6x－2)两边同时乘以2(3x－1)，得4－2(3x－1)＝3 2分4－6x＋2＝3－6x＝－3x＝eq\f(1,2) 5分检验：当x＝eq\f(1,2)时，2(3x－1)＝2×(3×eq\f(1,2)－1)≠0．所以，x＝eq\f(1,2)是原方程的解． 7分19.（本题8分）（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC．∵△BEF是等边三角形，∴BF＝BE，∠FBE＝∠FEB＝60°．∵∠ABC＝60°，∴∠ABC＝∠FBE，∴∠ABC－∠ABE＝∠FBE－∠ABE，即∠EBC＝∠FBA．∴△EBC≌△FBC（SAS）．∴CE＝AF． 4分（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°．∴∠C＝180°－∠D＝120°．在△PDE中，∠D＋∠DPE＋∠PED＝180°，∴∠DEP＝72°．由（1）得，∠FEB＝60°，∴∠BED＝∠DEP＋∠BEP＝72°＋60°＝132°．∴∠CBE＝∠BED－∠C＝132°－120°＝12°． 8分20．（本题8分）（1）90，80，80． 6分（2）不合理，因为若将每位营销员月销售量定为90台，则多数营销员可能完不成任务． 8分21．（本题8分）解：（1）eq\f(1,3)． 2分（2）随机选两位同学打第一场比赛，可能出现的结果有12种，即（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，甲）、（乙，丙），（乙，丁）、（丙，甲）、（丙，乙）、（丙，丁）、（丁，甲）、（丁，乙），（丁，丙）、并且它们出现的可能性相等．恰好选中甲、乙两位同学（记为事件A）的结果有2种，即（甲，乙）、（乙，甲），所以P（A）＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)． 8分22．（本题7分）略 7分23．（本题8分）解：（1） 2分（2）设线段AD所表示的y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b．因为y＝kx＋b的图像过点（0，）与（eq\f(1,2)，），所以eq\b\lc\{(\a\al(b＝，,eq\f(1,2)k＋b＝．))解方程组，得eq\b\lc\{(\a\al(k＝－8，,b＝．))所以线段AD所表示的y与x之间的函数表达式为y＝－8x＋． 5分（3）根据题意，联络员出发eq\f(1,2)h后与第一次追上一班，此时，联络员与二班相距3km，折返后需要eq\f(3,12+6)＝eq\f(1,6)(h)，因为eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)，所以，联络员出发eq\f(2,3)h后与第一次后队相遇． 8分24．（本题8分）证明：（1）如图，连接BD，交AC于点F．∵∠BAD＝90°，∴BD是直径．∴∠BCD＝90°．∴∠DEC＋∠CDE＝90°．∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC＋∠CDE＝90°．∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC＋∠CDE＝90°．∴∠BDE＝90°，即BD⊥DE．∵点D在⊙O上，ABCDEO（第24题）F∴ABCDEO（第24题）F（2）∵DE∥AC，∠BDE＝90°，∴∠BFC＝90°．∴CB＝AB＝12，AF＝CF＝eq\f(1,2)AC，∵∠CDE＋∠BDC＝90°，∠BDC＋∠CBD＝90°．∴∠CDE＝∠CBD．∵∠DCE＝∠BCD＝90°，∴△BCD∽△DCE，∴eq\f(BC,CD)＝eq\f(CD,CE)，∴CD＝6．∴BD＝6eq\r(5)．同理：△CFD∽△BCD，∴eq\f(CF,BC)＝eq\f(CD,BD)，∴CF＝eq\f(12eq\r(5),5)．∴AC＝2AF＝eq\f(24eq\r(5),5)． 8分25．（本题8分）解：设货车、客车的速度分别为xkm/h、ykm/h，由题意，得AP＝PQ＝xkm，BM＝MN＝ykm.如图，过点M作ME⊥AB，垂足为E．A37°45°BPCA37°45°BPC北东MQN26°EF∵sinB＝中学自主招生数学试卷一．选择题（每小题3分，共30分1．（3分）﹣的绝对值是（）A．2 B． C．﹣ D．﹣22．（3分）俗话说：“水滴石穿”，水滴不断的落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，石头上形成了一个深度为0.000000039cm的小洞，则0.000000039用科学记数法可表示为（）A．3.9×10﹣8 B．﹣3.9×10﹣8 C．0.39×10﹣7 D．39×10﹣93．（3分）如图，将一个圆柱体放置在长方体上，其中圆柱体的底面直径与长方体的宽相平，则该几何体的左视图是（）A． B． C． D．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a2＝a4 B．a6÷a2＝a3 C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．（a+1）2＝a2+15．（3分）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°6．（3分）在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（）A．众数是90分 B．中位数是95分 C．平均数是95分 D．方差是157．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为（）A．65° B．130° C．50° D．100°8．（3分）若函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（）A．﹣2或3 B．﹣2或﹣3 C．1或﹣2或3 D．1或﹣2或﹣39．（3分）如图，点A在双曲线y═（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC＝1，则k的值为（）A．2 B． C． D．10．（3分）如图，点A在x轴上，点B，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上．有一个动点P从点A出发，沿A→B→C→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，设△POM的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A． B． C． D．二．填空题（每题3分，共15分）11．（3分）计算：+（﹣1）0﹣（）﹣2＝．12．（3分）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能够让灯泡发光的概率为．13．（3分）不等式组的解集是．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径作交AB于点E，以点B为圆心，BC的长为半径作交AB于点D，则阴影部分的面积为．15．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．三．解答题16．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0．17．（9分）某校在一次社会实践活动中，组织学生参观了虎园、烈士陵园、博物馆和植物园，为了解本次社会实践活动的效果，学校随机抽取了部分学生，对“最喜欢的景点”进行了问卷调查，并根据统计结果绘制了如下不完整的统计图．其中最喜欢烈士陵园的学生人数与最喜欢博物馆的学生人数之比为2：1，请结合统计图解答下列问题：（1）本次活动抽查了名学生；（2）请补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是度；（4）该校此次参加社会实践活动的学生有720人，请求出最喜欢烈士陵园的人数约有多少人？18．（9分）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC∥AB，点M是OP中点．（1）求证：四边形OBCP是平行四边形；（2）填空：①当∠BOP＝时，四边形AOCP是菱形；②连接BP，当∠ABP＝时，PC是⊙O的切线．19．（9分）某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东33°方向，求出这段河的宽度．（结果精确到1米，参考数据：sin33°＝0.54，cos33°≈0.84，tan33°＝0.65，≈1.41）20．（9分）如图，已知反比例函数y＝（m≠0）的图象经过