基于柔度法的钢筋混凝土杆系结构非弹性分析

基于柔度法的钢筋混凝土杆系结构非弹性分析

1有限单元柔度法随着计算机性能的快速提高和结构分析理论和技术的发展，钢筋混凝土结构非弹性地震反应分析已进入详细、客观的方向。我们希望能够通过可靠的计算机模拟来代替一些结构试验，进一步研究结构和抗弯性能。在杆系结构众多的非弹性单元分析模型中,基于有限单元法的梁柱单元被广泛认为是适应求解问题类型最广、分析精度和分析效率综合性能较好的单元分析模型之一。其中最为常见的是基于刚度法的单元分析模型。该模型以假定的单元位移插值函数为出发点,在分析中单元内部的位移场分布总是满足该假定的位移分布形式,而对单元内部的截面力场的分布并未要求满足平衡条件。当单元实际位移场分布形式与假定位移场分布形式有较大差异时,计算效果便会受到影响,甚至不能反映问题的真实本质,因此往往通过加密计算网格(一根杆件离散为多个单元)的方法来逼近真实位移场。这种处理方式明显加大了求解问题的规模,牺牲了计算的效率,甚至会引起数值分析上的不稳定性及收敛性问题的发生。另外,空间杆系结构非弹性地震反应分析中,由于钢筋混凝土材料的力学性能十分复杂,如何确定梁柱单元在多轴加载状态下的截面恢复力模型,如加载曲面、后继加载面、破坏曲面以及软化效应等等,在应用中是比较困难的问题。目前比较实用有效的解决方法是采用纤维模型,其主要思路是将分析截面离散化为若干根纤维,假定每根纤维处于单轴应力状态,同时整个截面变形采用平截面假定,并根据相应纤维材料的单轴应力应变关系来计算整个截面的力与变形的非线性关系。针对上述问题,Mahasuverachai和Powell首次引入柔度对单元形函数进行修正;Zeris和Mahin更进一步提出了基于有限单元柔度法建立梁柱单元的思路,以单元截面力插值函数作为出发点,其特点在于,对于假定的内力分布,在不考虑单元分布荷载任意变化的前提下,无论杆件处于何种状态,即使是进入软化阶段,作为单元控制方程之一的平衡条件都是能严格满足的。如何将基于柔度法的有限单元并入现有的基于刚度法建立的有限元分析程序是实施这种思想的一个主要障碍。目前,通过Ciampi、Carlesimo、Taucer、Spacone等人的努力与改进已能实现将这种基于柔度法形成的单元并入基于直接刚度法编制的通用有限元分析程序,并成功地将柔度法与纤维模型梁柱单元结合起来,提出基于有限单元柔度法的纤维模型梁柱单元。由于有限单元柔度法纤维模型梁柱单元提出时间不长,而且在整体结构非线性分析中进行程序实现比较复杂,因此目前在国内还很少有人涉及。本文分别基于有限单元柔度法和有限单元刚度法的梁柱单元分析理论,采用纤维模型,编制了钢筋混凝土杆系结构非弹性分析程序,并通过算例对两种单元分析方法进行比较研究。2梁柱单元分析的基本理论2.1tinax面为截面,nx面元,u.nx,z方向的位移场矢量分别用{F}e和{d}e表示梁柱单元的杆端力和杆端位移矢量。若忽略杆件的剪切及扭转变形,则截面力矢量{F(x)}s和截面变形矢量{d(x)}s可分别表示为Nx(x)为截面轴力,My(x)、Mz(x)分别为绕截面y、z轴的弯矩,εx为截面轴向应变,ϕy(x)、ϕz(x)分别为绕截面y、z轴的曲率。单元位移场矢量u(x),v(x),w(x)分别为单元杆轴上任一点处的x,y,z方向的位移。以下讨论仅限于考虑材料非线性问题,暂不涉及几何非线性问题。2.2单元刚度矩阵基于Euler-Bernoulli梁柱理论,对于最为常见的两结点单元,其位移插值函数可采用横向位移三次埃米特多项式插值、轴向位移拉格朗日线性插值。单元位移场可采用下式描述:式中[Ns(x)]e为单元位移形函数矩阵。根据截面变形与位移的几何关系可得式中[B(x)]为几何变换矩阵,可由(4)式求导变换得到。引入一般化截面本构关系:式中[k(x)]s为截面切线刚度矩阵。应用虚位移原理及上述几何、本构关系(5)、(6)式,经推导后可得式中单元刚度矩阵L为单元长度。由式(8)可知,单元刚度矩阵[k]e除依赖于截面切线刚度矩阵[k(x)]s外,几何变换矩阵[B(x)]也对单元刚度矩阵有重要影响。几何变换矩阵[B(x)]的e准确性完全依赖于单元位移形函数矩阵[Ns(x)]e的准确性,因而在截面切线刚度矩阵准确的前提下,当单元位移形函数矩阵能较为准确描述单元实际位移分布时,便能得到较好的分析结果。当单元进入强非线性阶段后,由于此时单元位移场的实际分布十分复杂,采用通常的单元位移形函数矩阵将难于准确描述,因而此时一般只能采取加密网格的办法,即采取多个单元模拟一根杆件的方式,以提高问题求解精度。2.3截面刚度矩阵在柔度法中需首先给定单元截面力形函数矩阵,用以描述单元截面力场{F(x)}s。对于梁柱单元,其平衡的微分形式为(qx(x)、qy(x)、qz(x)为单元分别沿x、y、z方向分布荷载)。该平衡方程与单元处于何种状态无关,即使单元处于强非线性阶段仍能成立。根据上述平衡关系及单元力学边界条件可得到下式以描述单元截面力场矢量:式中[Nf(x)]为单元截面力形函数矩阵。例如当qx(x)、qy(x)、qz(x)为0时,即无单元荷载情形:其它单元荷载形式可作相应变动。值得注意的是,基于柔度法的梁柱单元推导时需在无刚体位移模式下进行,此时杆端力矢量为{F}e=[NxMyiMyjMziMzj]T,单元杆端位移矢量{d}e也需做相应调整。显然,当所分析问题与上述单元截面力形函数矩阵假定一致时,其平衡关系(9)式是准确的,与单元所处的非线性状态无关。若截面一般化本构关系采用柔度表述的形式:式中[f(x)]s为截面切线柔度矩阵。应用虚力原理及上述平衡、本构关系(9)、(11)式,经推导后可得式中单元柔度矩阵对单元柔度矩阵求逆便可得到单元刚度矩阵:与基于刚度法的梁柱单元本质上不同的是,单元刚度矩阵[k]e除同样依赖于截面切线刚度矩阵[k(x)]s([k(x)]s=[[f(x)]s]-1)外,单元刚度矩阵的准确性依赖于单元截面力形函数矩阵[Nf(x)]的准确性。由于单元截面力形函数矩阵[Nf(x)]的假定通常总是准确的,与单元所处的非线性状态无关,因而在对单元进入强非线性阶段的分析中基于柔度法的梁柱单元较之基于刚度法的梁柱单元具有明显的计算优势。3单元抗力-刚度矩阵基于柔度法的梁柱单元在实际应用中的主要难点在于如何将其在采用直接刚度法编制的通用有限单元分析程序中实施,如何确定在给定结点位移条件下的单元抗力和单元刚度矩阵,即单元状态确定问题。在基于刚度法形成的单元中这一问题是很容易解决的。在根据结点位移得到相应的单元杆端位移后,直接通过变形插值函数可求得截面的变形,再根据截面的本构关系可求得相应的截面抗力与切线刚度;然后通过对整个单元长度范围内的截面抗力与刚度的积分便分别得到单元的抗力与刚度矩阵,从而完成整个单元层次的状态确定工作。对于基于柔度法形成的单元这一过程要复杂得多。尽管单元刚度矩阵可由单元柔度矩阵求逆所得到,但是对于单元抗力则难以直接从截面抗力推导得到,通常只能通过迭代的方式获得。Spacone提出了一种类似于在结构层次求解平衡方程所用NR法(Newton-RaphsonMethod)的迭代方法运用于单元层次的状态确定。在结构层次,经过NR法迭代将每一加载步中的荷载与抗力间的不平衡力减小到足够小的程度,并由此得到相应的结构层次各单元端部结点处的位移增量。在单元状态确定阶段的迭代就是将单元的残余变形减小到足够小的过程。表1对比了两种方法在单元状态确定阶段步骤上的主要区别。图1和图2则用一维量的形式形象直观地表达了柔度法在结构层次NR迭代的第j步期间单元状态确定和截面状态确定之间的关系。4截面状态的确定纤维模型用于建立截面在多轴加载条件下的恢复力关系。纤维模型的主要思路是将分析截面离散化为若干个小单元,即纤维(图3),并在假定整个截面符合平截面的同时假定每根纤维处于单轴应力状态,并根据相应纤维材料的单轴应力应变关系来计算整个截面的力与变形的非线性关系。可通过对单轴应力应变关系的适当修正达到更好地考虑截面的实际受力的目的,如箍筋的约束效应等。与单元状态的确定相类似,截面状态的确定包括与截面变形{d(x)}s相应的截面抗力{FR(x)}s和切线刚度[k(x)]s的计算。从图3可知截面中任意点(x,y,z)的应变值为式中[l(y,z)]=1[z-y]根据应变所在位置处的材料本构关系便可得到相应的材料切线模量Etan(x,y,z)及应力值σ(x,y,z)。再根据虚位移原理便可推导截面切线刚度矩阵[k(x)]s及抗力{FR(x)}s如下式所示:式中yi、zi、Ai、Eitan、ói分别为纤维的几何中心坐标、面积、材料切线模量及应力。5比较分析的例子5.1计算结果对比悬臂梁如图4所示,讨论对于三种不同材料模型(图5),分别采用有限单元刚度法和柔度法两种不同方法分析。比较分析中无论是非线性方程组求解方法还是积分方法等均相同,以便考察仅由于单元分析方法的不同而导致的计算效率与精度的不同。图6、7、8中FM1表示采用柔度法1个单元进行计算,SM1、SM2、SM4表示采用刚度法将悬臂梁分别离散为1、2、4个单元进行计算。由图可看出,当结构处于线弹性阶段时,柔度法和刚度法的分析结果一致;当所用材料的非线性特征较突出时,刚度法要用4个单元才能较准确地模拟该悬臂梁的反应,对于软化阶段,刚度法如只采用1个单元则不能再现梁的软化性能。而柔度法只用1个单元就能取得很好的分析结果。5.2模拟结果及分析验证Takizawa试验系列主要模拟在双向水平地震作用下钢筋混凝土构件受到双向弯曲变形时的耦合作用。其中试件4在定轴力作用下,沿两水平位移方向采用了较为复杂的加载历史,如图10所示。尽管该试验由于采用人工加载方式,未能按原定意图准确实现加载控制,但试验结果仍很好地反映了双向弯曲间的耦合作用效应。图11是Takizawa试件4的反力—位移试验曲线和原文基于塑性理论直接采用截面恢复力—变形关系的模拟分析结果;不难看出这种方法对双向弯曲的模拟分析效果不是很好。图12和图13分别是本文基于刚度法和柔度法采用1个单元的模拟分析结果。从滞回曲线的形状看,两种方法的效果接近。基于有限元法的纤维模型明显优于文献中基于退化三线型扩展的塑性理论模型。定量地看,刚度法尽管较好地再现了在复杂加载历史下双向弯曲间的耦合作用关系,但明显高估了构件的实际抗力,其误差平均达到25%左右,初始时更是达到50%之多。这说明计算模型明显偏于刚硬,需采用更多单元才能解决这一问题。计算表明,通常需采用4个单元才能有较为理想的分析结果。基于柔度法的分析模型则表现出与试验结果良好的一致性。以上仅是构件层次的比较分析和验证。目前已完成了基于柔度法和刚度法纤维模型梁柱单元的钢筋混凝土框架结构三维非线性地震反应程序的编制工作,结构层次的非线性全过程分析及多维地震输入下的地震反应分析的比较研究,将另文讨论。6纤维模型梁柱单元本文通过对钢筋混凝土空间框架结构非弹性分析中两种有限元方法进行的比较研究,得出以下主要结论:对于结构处于强非线性阶段,尤其是对于处理下降段(软化)问题,基于柔度法的