课件第5讲配对法

配

对

法高斯求和：1+2+3+。。。+100。引入聪明的高斯没有按常规的方法从左到右逐项求和，他将100个加数首尾两两配对：（1，100），（2，99），……，（50，51），共配成50对，每对中两数之和均为101，于是十分简便的得到所求之和为：101×50=5050。例1写出1—100000的所有自然数：1，2，3，。。。99999，100000，求写出的所有数字的总和。解：补进一个数0，它不影响所求的数字的总和，然后将0—99999两两配对：

（0，99999），（1，99998），（2，99997），…，（49999，50000）共配得50000对，每对中的两数所含数字之和均为45；又100000中各数字之和为1。由此可知，写出1—100000的所有自然数时，写出的所有数字的总和为45×50000+1=2250001将1，2，3，4，5，6用各种方法排成数字不重复的6位数，求所有可能排出的6位数之和。例2解:用1—6排成数字不重复的6位数，可先排个位，于1，2，3，4，5，6中任取一数，有6种取法；再排十位，于剩下的5数中任取一数，有5种取法；如此下去，排十万位仅剩下一数，仅有一种取法，由乘法原理，共可排出6×5×4×3×2×1=720个数字不重复的6位数。将此720个数两两配对，使每对的两数中，其同数位的两个数字之和为7（例如，123456与654321，136452与641325，。。。，分别配对），共配成360对，每对的两数之和均为777777，故所有各数之和为777777×360=279999720例3甲，乙两人做游戏：甲掷3枚硬币，若有2枚或2枚以上的硬币为正面朝上，则甲胜；否则乙胜。这个游戏公平吗？解：如果掷3枚硬币时有2枚或2枚以上的硬币为正面朝上因而甲胜，则将各枚硬币翻转时必有2枚或2枚以上反面朝上因而乙胜；反之亦然。例如，（正，正，反）时甲胜，而（反，反，正）时乙胜。所以，使甲胜的结果与使乙胜的结果可以两两配对，因而两类结果的个数相同，故甲，乙获胜的可能性相同,游戏是公平的。从1，2，3，……，100中任意取出51个数，则其中必有两数之差为50。请说明理由。例4解：用配对法制造50个抽屉如下：

（1，51），（2，52），…，（50，100）同抽屉的两数之差恰为50。任意取出51个数，由抽屉原理，必有两数取自同一抽屉，这两数之差即为50。

例5在黑板上随意地写下1，2，3，…，2008，2009这些数。甲，乙两人做游戏，两人轮流，每次擦去黑板上的一个数。如果谁擦去一个数后，黑板上只剩下两个互质的数，则他获胜；若剩下的两数不互质，则他失败。请找出一种策略，使先擦数的人一定获胜。解：先擦数的人首先擦去1，然后将其余的数配对，相邻的数配成一对：

（2，3），（4，5），…，(2008,2009),

以后每当对方擦去某对中的一数时，他都擦去同对中的另一数。如此反复，最后由他擦去一数后，黑板上留下一对相邻的数，而相邻两数必互质，故他获胜。例6如果M不是完全平方数，则M必有偶数个约数。试说明理由。解：若a为M的一个约数，则M/a也是M的约数；并且它们互不相等，若不然，则M/a=a,故M=a×a为平方数，与条件不符。所以，M的约数可两两配对，因而有偶数个。解法1：在1，2，3，…，2006中有1003个奇数，故进行加，减运算的结果必为奇数，故不可能等于0；若按下面的方法添加符号，可使运算结果为1：（1-2-3+4）+（5-6-7+8）+…+（2001-2002-2003）-2005=1

所以，可能得到的最小非负数是1。解法2：按下面的方法添加符号，也可使运算结果为1-1+2+（3-4-5+6）+（7-8-9+10）+。。。+（2003-2004