高一数学《直线与平面垂直》

直线与平面垂直1.直线和平面垂直的定义

如果一条直线和平面

内任一条直线都垂直,则称直线和平面

垂直.记作l⊥

P

如果一条直线和平面

内任一条直线都垂直,则称直线和平面

垂直.记作l⊥

l1.直线和平面垂直的定义画法：

Pl称为平面

的垂线

如果一条直线和平面

内任一条直线都垂直,则称直线和平面

垂直.记作l⊥

l1.直线和平面垂直的定义画法：

P

称为直线l的垂面l称为平面

的垂线

如果一条直线和平面

内任一条直线都垂直,则称直线和平面

垂直.记作l⊥

l画法：1.直线和平面垂直的定义

P

称为直线l的垂面l称为平面

的垂线垂足

如果一条直线和平面

内任一条直线都垂直,则称直线和平面

垂直.记作l⊥

l画法：1.直线和平面垂直的定义

画法：画直线和平面垂直时，

通常要把直线画成和表示平面的平

行四边形的一边垂直.

画法：画直线和平面垂直时，

通常要把直线画成和表示平面的平

行四边形的一边垂直.说明：(1)“任何”表示所有；

若直线与平面内的无数条直线

垂直，则直线垂直于平面吗？若不

是，直线与平面的位置关系如何？

(2)直线与平面垂直是直线与平

面相交的一种特殊情况，在垂直时，

直线与平面的交点叫做垂足；

(2)直线与平面垂直是直线与平

面相交的一种特殊情况，在垂直时，

直线与平面的交点叫做垂足；

(3)a⊥

等价于对

内的任意直

线m都有a⊥m.2.直线和平面垂直的判定

定理如果一条直线和平面的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直这个平面.

已知:

m、n是

平面内的两条相交

直线，l∩

=B，

且l⊥m，l⊥n.

求证：l⊥

定理如果一条直线和平面的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直这个平面.2.直线和平面垂直的判定

已知:

m、n是

平面内的两条相交

直线，l∩

=B，

且l⊥m，l⊥n.

求证：l⊥

定理如果一条直线和平面的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直这个平面.B

nml2.直线和平面垂直的判定讲解范例讲解范例[例1]

求证：如果两条平行线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.讲解范例

ab[例1]

求证：如果两条平行线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.

abm[证明]

设m是

内的任意一条直线.课堂练习课堂练习1.填空题：

(1)过直线外一点作直线的垂线有

____条；垂面有____个；平行线有___

_条；平行平面有____个.(2)过平面外一点作该平面的垂线

有____条；垂面有____个；平行线有_

___条；平行平面有____个.2.空间中下列哪些命题是正确的()①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一直线的两个平面互相平行③垂直于同一平面的两条直线互相平行例2如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，M是圆周上异于A、B的一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.

如图，正方体棱长为1，说明：

(1)直线AC和B1D1的距离；(2)直线

B1D1和平面AC的

距离；(3)平面

B1D1和平面AC

的距离.

如图，正方体棱长为1，说明：

(1)直线AC和B1D1的距离；(2)直线

B1D1和平面AC的

距离；(3)平面

B1D1和平面AC

的距离.ABCDA1D1B1C11.平面的斜线的定义 一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足。斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段。

Al画法：1.平面的斜线的定义 一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足。斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段。

Al称为平面

的斜线l画法：1.平面的斜线的定义 一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足。斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段。

Al称为平面

的斜线斜足l画法：1.平面的斜线的定义 一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足。斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段。

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。

l

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。AO画法：

斜足l垂足

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。AO画法：

PlOA2.线面角的定义 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

问题1.线面角何时为90˚？ 问题2.线面角的范围？AVBCK练习：

如图,在三棱锥V-ABC中,

VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点。求证：AC⊥平面VKB．

⑴若E、F分别是AB、BC的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系．

AVBCEFK变式：⑵在⑴的条件下，有人说“VB⊥AC，VB⊥EF，VB⊥平面ABC”，对吗？A1B1C1D1ABCDO例2在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.分析：找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角关键就是如何作出平面A1B1CD的垂线解：连结BC1交B1C于点O，连结A1O，设正方体的棱长为a，∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，∴A1B1⊥平面BCC1B1∴A1B1⊥BC1又∵BC1⊥B1C，∴BC1⊥平面A1B1CD∴A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.一作二证三计算OABCDA1C1D1B1在Rt△A1BO中，A1B=aBO=a所以BO=A1B∠BAO=30°因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°例3

已知：正方体中，AC是面对角线，BD’是与AC

异面的体对角线。求证：AC⊥BD’ABDCA′B′CD′′证明：连接BD