人教版八年级数学上册全等三角形典型6类难题题型归类

人教版八年级数学上册全等三角形典型6类难题题型归类角平分线型角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。（1）构造全等三角形如图，在ΔABC中，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，连结DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求线段BC的长。思路：截取构造全等三角形思路：截取构造全等三角形已知：如图所示，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，判断PM与PN的关系．思路：构造全等三角形思路：构造全等三角形3.已知：如图E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC。(1)求证：∠ABE=∠C；(2)若∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，设AB=5，AC=8，求DC的长。思路：三角形内角和+等量代换思路：三角形内角和+等量代换构造全等三角形4、如图所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M，求证：2∠M=（∠ACB-∠B）思路：外角的性质+代数思想思路：外角的性质+代数思想5、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．思路：构造全等（角平分线添加辅助线）内角平分线形成的∠A0C=???思路：构造全等（角平分线添加辅助线）内角平分线形成的∠A0C=???6、如下图，已知在四边形ABCD中，BC＞AB,AD=CD,BD平分∠ABC.求证:∠A＋∠C=180°.（可转化为证明一个角是另一个角的邻补角）思路：构造全等（角平分线添加辅助线）向两边作垂线思路：构造全等（角平分线添加辅助线）向两边作垂线翻折(截取)构造全等思路：构造全等(角平分线添加辅助线)（3）“角平分线+垂直”构造等腰三角形思路：构造全等(角平分线添加辅助线)（3）“角平分线+垂直”构造等腰三角形二、中点型由中点应产生以下联想：1、利用中心对称图形构造8字型全等三角形2、想到中线，倍长中线1、如图,已知:AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．思路：构造8字型全等三角形思路：构造8字型全等三角形2、如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论。思路：倍长中线，构造全等思路：倍长中线，构造全等3、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF思路：倍长中线，构造全等思路：倍长中线，构造全等等腰三角形两底角相等三、多个直角型在多个直角的问题中很容易找的条件是直角相等以及边相等，而最难找的是锐角相等，所以“同角的余角相等”这个定理就显得非常重要，它是证明多个直角问题中锐角相等的有利工具。1、如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E．若BD平分∠ABC，求证CE=BD；思路：构造全等思路：构造全等(利用多个直角和角平分线添加辅助线)同角的余角相等2、如图,已知：AB⊥BC于B,EF⊥AC于G,DF⊥BC于D,BC=DF．求证：AC=EF．思路：构造全等（同角的余角相等）思路：构造全等（同角的余角相等）3、如图，∠ABC=90°，AB=BC，BP为一条射线，AD⊥BP，CE⊥PB，若AD=4，EC=2.求DE的长。思路：构造全等（同角的余角相等）思路：构造全等（同角的余角相等）4、如图∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm,求BE的长。思路：构造全等（同角的余角相等）思路：构造全等（同角的余角相等）6.如图(1),已知△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C在A、E的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E(1)试说明:BD=DE+CE.若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD<CE),其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何?为什么？若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE),其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果,不需说明.四、等腰三角形型由于等腰三角形是轴对称图形，所以很多时候利用其轴对称性进行构造全等三角形，另外等腰三角形又具有旋转对称性，所以经常利用旋转全等的知识进行解答1、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF2.在△ABC中，,AB=AC，在AB边上取点D，在AC延长线上取点E，使CE=BD，连接DE交BC于点F，求证DF=EF.3.如图所示,已知D是等腰△ABC底边BC上的一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF,CM⊥AB,垂足为M,请你探索一下线段DE、DF、CM三者之间的数量关系,并给予证明.五、等边三角形型由于等边三角形是轴对称图形，同时等边三角形具有丰富的边角相等的性质，因此当我们看到有60度的角的时候经常构造等边三角形解题。1、如图，已知为等边三角形，、、分别在边、、上，且也是等边三角形．求证：△AEF≌△CDE思路：60°的角+等量代换思路：60°的角+等量代换2、已知等边三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｐ，求∠ＡＰＥ的大小。思路：等边三角形三边相等思路：等边三角形三边相等等边三角形三个角相等，均为60°3、如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．思路：等边三角形三边相等思路：等边三角形三边相等等边三角形三个角相等，均为60°等角-等角思路：等边三角形三边相等思路：等边三角形三边相等等边三角形三个角相等，均为60°六、折叠型1、如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN